2nd Exemple d'évaluation Thèmes abordés : Transformation d'écritures, résolution d'équation de degré 2 par factorisation. Probabilités sur un ensemble fini: événements, réunion intersection, calcul de probabilités. EXERCICE 1 : Résoudre les équations suivantes : a) x ( x +6 ) =3 ( x+6 ) b) x ( 1−2 x )−4 x ( x +6 )=0 c) ( x 2−1 ) +2 ( x−1 )2=6 x−6 EXERCICE 2 : Un établissement scolaire compte 500 élèves. 80% des élèves pratiquent l'anglais. 150 élèves pratiquent l'allemand ( On dit qu'ils sont germanistes). 70 d’entre eux ne pratiquent aucune des deux langues. 1°) Justifier qu'il y a 400 élèves qui font de l'anglais dans cet établissement. 2°) Compléter le tableau ci-dessous : Pratique l'anglais Ne pratique pas l'anglais Pratique l'allemand total Ne pratique pas l'allemand total 500 On choisit un élève au hasard. On note A l’événement l'élève fait de l'anglais et G l’événement l'élève est germaniste. ( on donnera les valeurs exactes des probabilités ). 3°) En justifiant votre réponse, calculer p ( G ) puis p ( A ) 4°) Exprimer à l’aide d'une phrase les événements suivants, puis calculer leur probabilité: a) A ∩ G b) A∩G c) A ∪ G d) A∪G 5°) On choisit une élève qui pratique l'anglais. Quelle est alors la probabilité qu'il ne pratique pas l'allemand ? EXERCICE 3 : Entourer toutes les bonnes réponses et justifier. A et B sont deux événements associés à une même expérience aléatoire : 1°) Si A et B sont incompatibles alors : a) p ( A ) =1− p ( B ) b) p ( A∪B ) = p ( A ) + p ( B ) c) A∩ B = ∅ 2°) Si B est le contraire de A alors : a) p ( A ) =− p ( B ) c) p ( A∪B ) =1 b) p ( A ) =1− p ( B ) 3°) si p ( A ) =0 , 7 ; p ( B ) =0 , 1 et p ( A∩B ) =0,05 alors p ( A∪ B ) est égal à : a) p ( A∪B ) =0,95 b) p ( A∪B ) =0,80 c) p ( A∪B ) =0,75 Exercice 4 : Une urne contient quatre cartes marqués des lettres : E ; T ; O ; M. 1°) On prend au hasard et sans remise un premier carton puis un second dans l'urne pour former un mot de deux lettres qui n'a pas nécessairement un sens. On note A l’événement : "le mot commence par une voyelle", B l’événement : "le mot comporte la lettre T", C l’événement : le mot comporte deux voyelles. a) Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des issues possibles. b) Donner la liste des issues qui réalisent A et calculer p(A). c) Donner la liste des issues qui réalisent B. d) A et B sont-il incompatibles ? ( justifier) donner la liste des issues de A ∪ B et A ∩ B. e) C et B sont-il incompatibles ? ( justifier) 2°) On prend les quatre cartes les unes après les autres et on les dispose dans l'ordre d'apparition. Calculer la probabilité de former le mot TOME. Correction : Exercice 1 : rappels de la méthode : on ramène tout au premier membre en utilisant la règle a=b ⇔ a−b=0 puis on factorise le premier membre pour obtenir une équation produit. a) x ( x +6 ) =3 ( x+6 ) ⇔ x ( x+6 ) −3 ( x+6 )=0 ⇔ ( x +6 ) ( x −3 )=0 donc x +6=0 ou x −3=0 et S={-6;3} b) x ( 1−2 x )−4 x ( x +6 )=0 ⇔ x [ ( 1−2 x ) −4 ( x+6 ) ] =0 ⇔ x ( 1−2 x−4 x−24 )=0 ⇔ x (−6 x−23 )=0 23 23 x =0 ou −6 x−23=0 donc x =0 ou x =− et enfin S= {0; − } 6 6 2 2 c) ( x 2−1 ) +2 ( x−1 ) =6 x−6 ⇔ ( x 2−1 ) +2 ( x−1 ) −6 ( x−1 ) =0 ⇔ ( x −1 )( x+1 ) +2 ( x−1 ) ( x −1 )−6 ( x−1 )=0 ( x −1 ) [ ( x+1 )+2 ( x −1 )−6 ] =0 ⇔ ( x −1 ) [ x+1+2 x−2−6 ]=0 ⇔ ( x −1 )( 3 x−7 )=0 7 donc x −1=0 ou 3 x −7=0 et S={1; } 3 Exercice 2: 80 =400 donc il y a bien 400 élèves qui pratiquent l'anglais. 1°) 80% de 500 : 500× 100 2°) Pratique l'anglais Ne pratique pas l'anglais total Pratique l'allemand 120 (=400-280) 30 (=100-70) 150 Ne pratique pas l'allemand 280 (=350-70) 70 total 400 100 (=500-400) 350 (=500-150) 500 3°) Le choix se fait au hasard donc nous sommes en situation d'équiprobabilité : P ( A ) = 4°) a) A ∩ G :"l'élève pratique l'anglais et l'allemand" p ( A∩G )= ⇔ 120 6 = 500 25 b) A∩G :" l'élève pratique l'anglais et ne pratique pas l'allemand " P ( A∩G )= 400 4 150 3 = P ( G )= = 500 5 500 10 280 14 = 500 25 c)A ∪ G : " l'élève pratique l'anglais ou l'allemand" : P ( A∪G )=P ( A )+P ( G )−P ( A∩G )= 400 150 120 430 43 + − = = 500 500 500 500 50 d) A∪G :" l'élève pratique l'anglais ou ne pratique pas l'allemand " : 400 350 280 470 47 P ( A∪G )=P ( A )+P ( G )−P ( A∩G )= + − = = 500 500 500 500 50 5°) L'univers est alors l'ensemble des élèves qui pratiquent l'anglais, il comporte 400 issues et il y a toujours 280 7 = équiprobabilité p= 400 10 Exercice3: 1°)Si A et B sont incompatibles alors d'après le cours b) et c) sont justes. B n'est pas nécessairement le contraire de A donc a) est fausse 2°) a) est fausse car p ( A ) serait alors négatif ce qui est impossible. Si B est le contraire de A alors B=A donc d'après le cours b) est juste. P ( A∪B ) =P ( A )+P ( B )=P ( A )+1−P ( A )=1 donc c) est aussi juste. 3°) Le contraire de A ∩ B est A∪B donc P ( A∪B ) =1− p ( A∩B )=1−0, 05=0,95 et a) est juste P ( A∪B ) =P ( A )+P ( B )−P ( A∩B )=0 ,7+0, 1−0, 05=0 , 75 donc b) est fausse et c) est juste. Exercice 4: 1°) a) L'univers est constitué des 12 issues qui sont aux extrémités de l'arbre et il y a équiprobabilité. 6 1 b) A={ET;EO;EM;OE;OT;OM} et P ( A ) = = 12 2 c) B={ET;TE;TO;TM;OT;MT} d) A et B ne sont pas incompatibles car OT et à la fois dans A et B. A ∩ B={ET;OT} A ∪ B={ ET;EO;EM;OE;OT;OM;TE;TO;TM;MT;} e) C et B sont incompatibles car si comporte le lettre T il ne peut pas comporter deux voyelles. 2°) Il y a équiprobabilité et l'univers est constitué de 4 × 3 × 2 × 1=24 1 éléments donc la probabilité est 24