Test probabilités ( 20 minutes)

2nd
Exemple d'évaluation
Thèmes abordés :
Transformation d'écritures, résolution d'équation de degré 2 par factorisation.
Probabilités sur un ensemble fini: événements, réunion intersection, calcul de probabilités.
EXERCICE 1 :
Résoudre les équations suivantes :
a)
x
(
x+6
)
=3
(
x+6
)
b)
x
(
1−2x
)
−4x
(
x+6
)
=0
c)
(
x2−1
)
+2
(
x−1
)
2=6x−6
EXERCICE 2 :
Un établissement scolaire compte 500 élèves.
80% des élèves pratiquent l'anglais.
150 élèves pratiquent l'allemand ( On dit qu'ils sont germanistes).
70 d’entre eux ne pratiquent aucune des deux langues.
1°) Justifier qu'il y a 400 élèves qui font de l'anglais dans cet établissement.
2°) Compléter le tableau ci-dessous :
Pratique l'anglais Ne pratique pas l'anglais total
Pratique l'allemand
Ne pratique pas l'allemand
total 500
On choisit un élève au hasard. On note A l’événement l'élève fait de l'anglais et G l’événement l'élève est germaniste. ( on
donnera les valeurs exactes des probabilités ).
3°) En justifiant votre réponse, calculer
p ( G )
puis
p ( A )
4°) Exprimer à l’aide d'une phrase les événements suivants, puis calculer leur probabilité:
a) A
∩
Gb)
A∩G
c) A
∪
G d)
A∪G
5°) On choisit une élève qui pratique l'anglais. Quelle est alors la probabilité qu'il ne pratique pas l'allemand ?
EXERCICE 3 :
Entourer toutes les bonnes réponses et justifier.
A et B sont deux événements associés à une même expérience aléatoire :
1°) Si A et B sont incompatibles alors :
a)
p ( A ) =1−p ( B )
b)
p ( A∪B ) =p ( A ) +p ( B )
c)
A∩B
=
∅
2°) Si B est le contraire de A alors :
a)
p ( A ) =− p ( B )
b)
p ( A ) =1−p ( B )
c)
p ( A∪B ) =1
3°) si
p ( A ) =0,7
;
p ( B ) =0 , 1
et
p ( A∩B ) =0,05
alors
p ( A∪B )
est égal à :
a)
p ( A∪B ) =0,95
b)
p ( A∪B ) =0,80
c)
p ( A∪B ) =0,75
Exercice 4 :
Une urne contient quatre cartes marqués des lettres : E ; T ; O ; M.
1°) On prend au hasard et sans remise un premier carton puis un second dans l'urne pour former un mot de deux lettres
qui n'a pas nécessairement un sens.
On note A l’événement : "le mot commence par une voyelle", B l’événement : "le mot comporte la lettre T",
C l’événement : le mot comporte deux voyelles.
a) Déterminer à l'aide d'un arbre l'ensemble des issues possibles.
b) Donner la liste des issues qui réalisent A et calculer p(A).
c) Donner la liste des issues qui réalisent B.
d) A et B sont-il incompatibles ? ( justifier) donner la liste des issues de A
∪
B et A
∩
B.
e) C et B sont-il incompatibles ? ( justifier)
2°) On prend les quatre cartes les unes après les autres et on les dispose dans l'ordre d'apparition. Calculer la probabilité de
former le mot TOME.

Correction :
Exercice 1 :
rappels de la méthode : on ramène tout au premier membre en utilisant la règle
a=b
⇔
a−b=0
puis on factorise le
premier membre pour obtenir une équation produit.
a)
x
(
x+6
)
=3
(
x+6
)
⇔
x ( x+6 ) −3 ( x+6 ) =0
⇔
( x+6 ) ( x−3 ) =0
donc
x+6=0
ou
x−3=0
et S={-6;3}
b)
x
(
1−2x
)
−4x
(
x+6
)
=0
⇔
x
[ (
1−2x
)
−4
(
x+6
) ]
=0
⇔
x ( 1−2x−4x−24 ) =0
⇔
x ( −6x−23 ) =0
x=0
ou
−6x−23=0
donc
x=0
ou
x=− 23
6
et enfin S= {0;
−23
6
}
c)
(
x2−1
)
+2
(
x−1
)
2=6x−6
⇔
(
x2−1
)
+2
(
x−1
)
2−6
(
x−1
)
=0
⇔
( x−1 )( x+1 ) +2 ( x−1 ) ( x−1 ) −6 ( x−1 ) =0
⇔
(
x−1
) [ (
x+1
)
+2
(
x−1
)
−6
]
=0
⇔
( x−1 )[ x+1+2x−2−6 ] =0
⇔
( x−1 )( 3x−7 ) =0
donc
x−1=0
ou
3x−7=0
et S={1;
7
3
}
Exercice 2:
1°) 80% de 500 :
500×80
100 =400
donc il y a bien 400 élèves qui pratiquent l'anglais.
2°)
Pratique l'anglais Ne pratique pas l'anglais total
Pratique l'allemand 120 (=400-280) 30 (=100-70) 150
Ne pratique pas l'allemand 280 (=350-70) 70 350 (=500-150)
total 400 100 (=500-400) 500
3°) Le choix se fait au hasard donc nous sommes en situation d'équiprobabilité :
P
(
A
)
=400
500 =4 5
P
(
G
)
=150
500 =3 10
4°) a) A
∩
G :"l'élève pratique l'anglais et l'allemand"
p
(
A∩G
)
=120
500 =6 25
b)
A∩G
:" l'élève pratique l'anglais et ne pratique pas l'allemand "
P
(
A∩G
)
=280
500 =14 25
c)A
∪
G : " l'élève pratique l'anglais ou l'allemand" :
P
(
A∪G
)
=P
(
A
)
+P
(
G
)
−P
(
A∩G
)
=400
500 +150 500 −120 500 =430 500 =43 50
d)
A∪G
:" l'élève pratique l'anglais ou ne pratique pas l'allemand " :
P
(
A∪G
)
=P
(
A
)
+P
(
G
)
−P
(
A∩G
)
=400
500 +350 500 −280 500 =470 500 =47 50
5°) L'univers est alors l'ensemble des élèves qui pratiquent l'anglais, il comporte 400 issues et il y a toujours
équiprobabilité
p=280
400 =7 10
Exercice3:
1°)Si A et B sont incompatibles alors d'après le cours b) et c) sont justes. B n'est pas nécessairement le contraire de A
donc a) est fausse
2°) a) est fausse car
p ( A )
serait alors négatif ce qui est impossible.
Si B est le contraire de A alors
B=A
donc d'après le cours b) est juste.
P ( A∪B ) =P ( A ) +P ( B ) =P ( A ) +1−P ( A ) =1
donc c) est aussi juste.
3°) Le contraire de A
∩
B est
A∪B
donc
P ( A∪B ) =1−p ( A∩B ) =1−0, 05=0,95
et a) est juste
P ( A∪B ) =P ( A ) +P ( B ) −P ( A∩B ) =0 ,7+0, 1−0 , 05=0 , 75
donc b) est fausse et c) est juste.
Exercice 4:
1°) a) L'univers est constitué des 12 issues qui sont aux extrémités de l'arbre et
il y a équiprobabilité.
b) A={ET;EO;EM;OE;OT;OM} et
P
(
A
)
=6
12 =1 2
c) B={ET;TE;TO;TM;OT;MT}
d) A et B ne sont pas incompatibles car OT et à la fois dans A et B. A
∩
B={ET;OT}
A
∪
B={ ET;EO;EM;OE;OT;OM;TE;TO;TM;MT;}
e) C et B sont incompatibles car si comporte le lettre T il ne peut pas
comporter deux voyelles.
2°) Il y a équiprobabilité et l'univers est constitué de 4
×
3
×
2
×
1=24
éléments donc la probabilité est
1
24