Terminale ST2S 2 011 – 2 012 PROBABILITES

Terminale ST2S
2 011 – 2 012
PROBABILITES - Rappels
Page n° 1
1. Vocabulaire des probabilités
 L'univers Ω est l'ensemble de toutes les issues de l'expérience.
 Un événement est une partie de l'univers.
 Un événement élémentaire contient une seule issue.
 L'événement certain est Ω. L'événement impossible est { } ou ∅.
 La réunion A ∪ B est l'événement constitué des issues qui sont dans A ou dans B.
 L'intersection A ∩ B est l'événement constitué des issues qui sont dans A et dans B.
 Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils n'ont aucune issue commune : A ∩ B = ∅.
 L'événement A contraire d'un événement A, est constitué de toutes les issues de Ω qui ne sont pas dans A.
Exemple :
Un sac contient 7 jetons numérotés : quatre bleus b1, b2, b3, b4 et trois rouges r3, r4 et r5.
L'expérience aléatoire consiste à tirer un jeton du sac au hasard.
L'univers Ω s'écrit : Ω ={ b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; r3 ; r4 ; r5 }
L'événement A : « obtenir un numéro pair » s'écrit : A = { b2 ; b4 ; r4 }
Ā = { b1 ; b3 ; r3 ; r5 }
Ā est l'événement contraire de A
L'événement B : « obtenir un jeton bleu » s'écrit B = { b1 ; b2 ; b3 ; b4 }
L'événement C : « obtenir le numéro cinq » s'écrit C = { r5 }
On dit que C est un événement élémentaire (il n'a qu'une seule issue)
Ω
B
A
r4
b2
r3
b1
b4
r4
b2
b3
b1
b4
r3
r5
A∪ B = { b1 ; b2 ; b3 ; b4 ; r4 }
A∩B = { b2 ; b4 }
A∪B est l'événement « obtenir un numéro pair ou un jeton bleu"
A∩B est l'événement « obtenir un numéro pair et un jeton bleu"
Les événements B et C sont incompatibles (leur intersection est vide)
2. Notion de probabilité
 Probabilité d'un événement
Chaque issue a une probabilité comprise entre 0 et 1.
La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités de toutes ses issues.
La probabilité d'un événement est comprise entre 0 et 1.
En particulier : p(Ω) = 1
B
A
Ω
p(∅) = 0
b3
r5
Terminale ST2S
2 011 – 2 012
PROBABILITES - Rappels
Page n° 2
Exemple :
Les gains possibles pour chaque ticket d'une loterie sont :
50 € avec 1 chance sur 10, 20 € avec 2 chances sur 10 et 0 € avec 7 chances sur 10.
L'ensemble des issues est Ω = { 0 € ; 20 € ; 50 € }
p(50) =
1
10
= 0,1
p(20) =
2
= 0,2
10
p(0) =
7
= 0,7
10
p(50) + p(20) + p(0) = 1
G est l'événement « gagner au moins 20 € avec un ticket »
p(G) = p(20) + p(50) = 0,2 + 0,1 = 0,3
R est l'événement « gagner au moins 150 € avec un ticket »
p(R) = 0
 Equiprobabilité
Toutes les issues ont la même probabilité
p=
p A=
La probabilité d'un événement A est
1
nombre d ' issues del ' univers
nombre d ' issues de A
nombre d ' issues del ' univers
Exemple : Dans un jeu de 32 cartes, on en tire une au hasard.
La probabilité d' « obtenir le valet de coeur » est
La probabilité d' « obtenir un as » est
4
=
32
1
32
1
8
3. Propriétés
 Probabilité de la réunion de deux événements : p( A ∪ B ) = p (A) + p (B) - p( A ∩ B )
Si A et B sont incompatibles alors p( A ∪ B ) = p (A) + p (B)
 Probabilité de l'événement contraire :
p  A = 1 - p(A)
Exemple :
Dans un centre de loisirs, toutes les personnes inscrites pratiquent au moins un sport.
30 d'entre elles pratiquent le tennis, 20 le volley, 5 pratiquent à la fois le tennis et le volley et 50 pratiquent un sport autre que le
tennis et le volley.
T ∩ V est l'événement "la personne pratique le tennis et le volley"
p( T ∩ V ) =
Ω
5
95
1
19
=
V
T
25
5
p(T) =
30
=
95
15
p( T ∪ V ) =
50
6
19
45
=
95
p(V) =
9
19
T est l'événement contraire de T
p  T  = 1 - p(T) = 1 -
6
19
=
13
19
20
95
=
4
19