DM6 Exercice 1 : Partie A : QCM où il faut justifier soigneusement

DM6
Exercice 1 :
Partie A : QCM où il faut justifier soigneusement les réponses
1) Si deux événements A et B de probabilité non nulle sont incompatibles alors :
a) A ∪ B = ∅ . Faux car A et B sont de probabilité non nulle donc P( A ∪ B ) ≥ P(A) > 0
b) P(A∩B) = P(A)P(B) Faux incompatibles ne veut pas dire indépendants
c) P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)
Vraie car incompatible veut dire A ∩ B = ∅ donc P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B ) = P(A) + P(B)
2) Si deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants, alors P(A∪B) est égale à :
P(A∪B) =
P(A)+P(B)–P(A)×P(B)
=
P(A)+P(B)(1−P(A))
=
P(A)+P(B)P ( A )
=
1−P ( A ) +P(B)P ( A )
=
1−P ( A ) (1−P(B))
=
1−P
(
A
)
P
(
B
)
donc a et c sont fausses et b est vraie
a)
P ( A ) P(B)
b)
1−P
(
A
)
P
(
B
)
c)
P(A)P ( B )
3) Si A et B sont à la fois incompatibles et indépendants alors nécessairement :
indépendants donc
P(A)×P(B)
= P( A ∩ B ) et incompatibles P( A ∩ B ) = 0 d'où
P(A)×P(B)=0
donc
réponse b)
a) P(A) = 0 et P(B) = 0 b) P(A) = 0 ou P(B) = 0 c) P(A) = 0 et P(B) ≠ 0
4) Si un événement A est indépendant de lui-même alors :
a) P(A) = 0 b) P(A)=0 ou P(A)=1 c) P(A) = 1
P(A ∩ A ) =
(P(A))2
or P( A ∩ A ) = P(A) donc
P(A)(1−P(A))=0
donc réponse b
Partie B
Il s'agit de démontrer la propriété suivante :
« Soit E l'ensemble des éventualites d'une expérience aléatoire et P une loi de probabilité sur E. Si A et B sont des
événements indépendants pour la probabilité P alors leurs événements contraires le sont aussi »
1) Justifier que l'intersection des événements A∪B et
A
∩
B
est l'événement impossible
On peut faire des bulles pour illustrer la situation
2) a) Quelle est la réunion de ces deux événements ?
D'après les bulles, on constate que A∪B et
A
∩
B
recouvre tout l'univers donc comme ils sont
incompatibles, ils forment une partition de l'univers donc leur réunion est l'univers
b) En déduire que P(E) = P(A∪B )+ P(
A
∩
B
)
Evident
3) L'égalite précédente peut s'écrire :
1=P(A)+P(B)−P(A∩B)
+ P(
A
∩
B
)
Or A et B sont indépendants donc P(A∩B)=
P(A)×P(B)
d'où l'égalité précédente devient :
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1=P(A)+P(B)−P(A)×P(B)
+ P(
A
∩
B
) c'est à dire :
P(
A
∩
B
) =
1−P(A)–P(B)(1−P(A))
=
P
(
A
)
–
P(B)P ( A )
=
P ( A ) (1−P(B))
=
P
(
A
)
P
(
B
)
d'où la réponse
Exercice 2 :
1) Dresser le tableau de variation complet de la fonction f définie par f(x) =
3ex−2
ex+1
ex+1=0
ssi
ex=−1
ce qui est impossible donc par de valeurs interdites
f est un quotient de fonctions dérivables sur ℝ avec le dénominateur ne s'annulant pas sur ℝ donc f est
dérivable sur ℝ .
f '(x)=3ex(ex+1)−(3 ex−2)ex
(ex+1)2
=
5ex
(ex+1)2
> 0 donc f est croissante sur ℝ .
la limite en –∞ ne pose pas de problème, on trouve -2 et celle en +∞ donc 3 après avoir factorisé par
ex
le
numérateur et dénominateur (
f(x)=3−2 e−x
1+e−x
)
x
–∞ +∞
f ' (x)
+
f(x)
–2
3
2) La courbe représentative de f admet un centre de symétrie. Conjectuer les coordonnées de ce centre de
symétrie puis démontrer votre conjecture
Le point C de coordonnées
(
0 ; 1
2
)
semble répondre à la question : pour cela il faut démontrer que f(x)+f(-x)=1 ce
qui est facile à faire
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