DM6 Exercice 1 : Partie A : QCM où il faut justifier soigneusement

DM6
Exercice 1 :
Partie A : QCM où il faut justifier soigneusement les réponses
1) Si deux événements A et B de probabilité non nulle sont incompatibles alors :
a) A ∪ B = ∅ . Faux car A et B sont de probabilité non nulle donc P( A ∪ B ) ≥ P(A) > 0
b) P(A∩B) = P(A)P(B)
Faux incompatibles ne veut pas dire indépendants
c) P(A ∪ B ) = P(A) + P(B)
Vraie car incompatible veut dire A ∩ B = ∅ donc P(A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P( A ∩ B ) = P(A) + P(B)
2) Si deux événements A et B de probabilité non nulle sont indépendants, alors P(A∪B) est égale à :
P(A∪B) = P (A )+P (B) –P (A)×P (B) = P (A )+P (B)(1−P( A)) = P (A )+P (B) P ( A ) = 1−P ( A ) +P (B)P ( A )
= 1−P ( A ) (1−P (B)) = 1−P ( A ) P ( B ) donc a et c sont fausses et b est vraie
a) P ( A ) P(B)
b) 1−P ( A ) P ( B )
c) P (A )P ( B )
3) Si A et B sont à la fois incompatibles et indépendants alors nécessairement :
indépendants donc P (A )×P (B) = P( A ∩ B ) et incompatibles P( A ∩ B ) = 0 d'où P (A )×P (B)=0 donc
réponse b)
a) P(A) = 0 et P(B) = 0 b) P(A) = 0 ou P(B) = 0
c) P(A) = 0 et P(B) ≠ 0
4) Si un événement A est indépendant de lui-même alors :
a) P(A) = 0
b) P(A)=0 ou P(A)=1
c) P(A) = 1
2
P(A ∩ A ) = (P( A)) or P( A ∩ A ) = P(A) donc P (A )(1−P( A))=0 donc réponse b
Partie B
Il s'agit de démontrer la propriété suivante :
« Soit E l'ensemble des éventualites d'une expérience aléatoire et P une loi de probabilité sur E. Si A et B sont des
événements indépendants pour la probabilité P alors leurs événements contraires le sont aussi »
1) Justifier que l'intersection des événements A∪B et A ∩ B est l'événement impossible
On peut faire des bulles pour illustrer la situation
2) a) Quelle est la réunion de ces deux événements ?
D'après les bulles, on constate que A∪B et A ∩ B recouvre tout l'univers donc comme ils sont
incompatibles, ils forment une partition de l'univers donc leur réunion est l'univers
b) En déduire que P(E) = P(A∪B )+ P( A ∩ B )
Evident
3) L'égalite précédente peut s'écrire : 1=P( A)+P (B)−P ( A ∩B) + P( A ∩ B )
Or A et B sont indépendants donc P(A∩B)= P (A )×P (B) d'où l'égalité précédente devient :
M. Philippe
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1=P( A)+P (B)−P ( A)×P (B) + P( A ∩ B ) c'est à dire :
P( A ∩ B ) = 1−P( A)–P (B)(1−P (A)) = P ( A ) – P (B)P ( A ) = P ( A ) (1−P(B)) = P ( A ) P ( B )
d'où la réponse
Exercice 2 :
x
1) Dresser le tableau de variation complet de la fonction f définie par f(x) =
x
3e −2
e x +1
x
e +1=0 ssi e =−1 ce qui est impossible donc par de valeurs interdites
f est un quotient de fonctions dérivables sur ℝ avec le dénominateur ne s'annulant pas sur ℝ donc f est
dérivable sur ℝ .
x
f '(x )=
x
x
3 e (e +1)−(3 e −2)e
(e x +1)2
x
x
=
5e
> 0 donc f est croissante sur ℝ .
(e +1)2
x
x
la limite en –∞ ne pose pas de problème, on trouve -2 et celle en +∞ donc 3 après avoir factorisé par e le
−x
numérateur et dénominateur ( f (x)=
x
–∞
f ' ( x)
f ( x)
3−2 e
1+e−x
)
+∞
+
3
–2
2) La courbe représentative de f admet un centre de symétrie. Conjectuer les coordonnées de ce centre de
symétrie puis démontrer votre conjecture
( ) semble répondre à la question : pour cela il faut démontrer que f(x)+f(-x)=1 ce
1
Le point C de coordonnées 0 ; 2
qui est facile à faire
M. Philippe
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