Probabilités - Normalesup.org

Année 2015-2016
Probabilités
Denis Villemonais
Première Année FICM
Semestre 2
École des Mines de Nancy - Département Génie Industriel - Campus ARTEM - CS 14234 - 54 042 Nancy Cedex
Email : [email protected]

Avant propos
Comme pour le premier semestre, vous devez lire le chapitre concernant la séance avant de venir en cours.
Les feuilles d’exercices vous seront distribuées au fur et à mesure en séance de travaux dirigés. Après chaque
séance, vous trouverez sur la page web
http://www.normalesup.org/~villemonais/Prob1A2016.html
les transparents du cours pour cette séance ainsi que la feuille d’exercices et son corrigé. Vous trouverez aussi
sur cette page web la version pdf du polycopié.
Ce polycopié est le fruit d’une collaboration avec Céline Lacaux, aujourd’hui professeur à l’université d’Avi-
gnon.
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Table des matières
1 Tribus et mesures 3
1.1 Tribusetmesures............................................ 3
1.1.1 Tribus.............................................. 3
1.1.2 Mesures ............................................. 4
1.1.3 EnsemblesNégligeables .................................... 6
1.2 Premiersexemples ........................................... 6
1.2.1 Lesmesuresdiscrètes...................................... 6
1.2.2 LamesuredeLebesgue .................................... 7
1.2.3 Les mesures à densité par rapport à la mesure de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3 Probabilité conditionnelle et événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.2 Événementsindépendants ................................... 9
1.3.3 LemmedeBorel-Cantelli.................................... 10
2 Fonctions mesurables et variables aléatoires
Intégrale de Lebesgue et espérance 13
2.1 Fonctions mesurables et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.1.1 Fonctionsmesurables...................................... 13
2.1.2 Variablesaléatoires....................................... 14
2.2 IntégraledeLebesgue ......................................... 15
2.2.1 Construction de l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Propriétésgénérales ...................................... 17
2.2.3 Calcul dans des cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Espérance d’une variable aléatoire et théorème du transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Théorèmes d’intégration 27
3.1 Théorèmesdeconvergence....................................... 27
3.1.1 Théorème de convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1.2 Théorème de convergence dominée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.1.3 LemmedeFatou ........................................ 31
3.2 Applications des théorèmes de convergence aux intégrales paramétrées . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Théorème de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4 Fonction de répartition et fonction caractéristique 39
4.1 Fonctionderépartition......................................... 39
4.1.1 Définition pour une v.a.r. et propriétés générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.1.2 Variables aléatoires réelles discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1.3 Variables aléatoires réelles absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.1.4 Mélange de lois discrètes et absolument continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.1.5 Généralisation aux vecteurs aléatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2 Fonctioncaractéristique ........................................ 47
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