SYSTEME D` EQUATIONS

SYSTEMES D’ EQUATIONS
I.
SYSTEMES LINEAIRES :
Un système est linéaire si les inconnues sont toutes du 1 er degré.
2 x  3 y  z  1
3x  4 y  z  5
Exemple : 
1. Une équation à deux inconnues :
C’est une équation de la forme ax  by  c où x et y sont les inconnues
Résoudre une telle équation c’est chercher tous les couples (x ;y) de réels
vérifiant cette égalité
Pour résoudre l’équation, on prend l’une des inconnues comme paramètre et on
exprime l’autre en fonction de ce paramètre.
Exemple : Résoudre l’équation 2 x  y  3
Posons x  
y  2  3
Les solutions de l’équation sont les couples ( ;2  3)   R
S  ;2  3,   R
L’équation admet donc une infinité de solution (mais l’ensemble des solutions
n’est pas R²)
Géométriquement, les solutions de telle équation sont les coordonnées des
x  
points de la droite équation cartésienne y  2 x  3 et le système 
est
 y  2  3
une équation paramétrique de la droite
2. Système de deux équations à deux inconnues :
ax  by  c
C’est un système de la forme 
a' x  b' y  c'
Méthode de résolution :
1er méthode : Déterminant
Soit à résoudre le système :
ax  by  c (1)

a' x  b' y  c' (2)
b' (1) donne ab' x  bb' y  cb'
b  ( 2) donne a' bx  bb' y  c' b
Par soustraction membre à membre on a :
(ab'a ' b) x  cb'bc'
a ' (1) donne aa' x  ba' y  ca'
a  ( 2) donne a' ax  ab' y  c' a
Par soustraction membre à membre on a :
(ab'a' b) y  a' c  ac'
-
Si a' b  ab'  0 on a une solution unique (x ;y) avec x 
cb'bc'
et
ab'a' b
a ' c  ac '
ab'ba '
Si a' b  ab'  0
o
Si a' c  ac'  0 ou cb'c' b  0  S  
o
Si a' c  ac'  0 et cb'c' b  0
Le système admet une infinité de solution car il est équivalent à l’une des 2
équations (qui sont proportionnelles), et on revient au cas a)
y
Récapitulation :
On pose  
x 
-
a b
 ab'a' b
a ' b'
c b
a c
 cb'c' b et  y 
 ac'a' c
c ' b'
a' c'
  y 
Si   0, S   x ; 
 
Si   0,  x  0 ou  y  0
S   Si   0,  x   y  0 le système est
équivalent à ax  by  c
En posant x   , ( si b  0)  y 
c  a
b
 c  a 

S    ;
   R
b 


Interprétation géométrique :
Les solutions d’un tel système sont les coordonnées des points d’intersection
des deux droites (D) et (D’) d’équations respectives ax  by  c et a' x  b' y  c
Si   0 les 2 droites se coupent en un point de coordonnées (x ;y )
solution du système
Si ,   0,  x  0 ou  y  0 (D) et (D’) sont parallèles non
confondues
Si   0,  x   y  0 les 2 droites sont confondues
2e méthode : Substitution
On isole l’une des inconnues dans l’une des équations et on la « porte » dans
l’autre équation
3e méthode : Elimination
ax  by  c ( L1 )
Soit à résoudre le système 
a' x  b' y  c' ( L2 )
a' L1 donne aa' x  a' by  a' c
a L2 donne aa' x  ab' y  ac'
Par soustraction on a (a' b  ab' ) y  a' c  ac' ( L' 2 )
ax  by  c ( L1 )
Le système est équivalent à 
(a' b  ab' ) y  a' c  ac' ( L' 2 )
Exemple : Résoudre le système (S)
x  y  3

x  y  1
En remplaçant la deuxième équation par la somme des deux équations ,
nous obtenons le système :
x  y  3
équivalent à (S). Ce qui donne,

 2x  4
en simplifiant :
x  y  3

x  2
On a alors :
S  ( 2;1)
ax  by  c
- Si la méthode aboutit à un système de la forme 
, le système
 0 x  0
 c   
est équivalent à (L1) et on a une infinité de solution S    ;

a 

ax  by  c 
- Si on a
 avec c' '  0  S  
0  x  c' '
3. Système de 3 équations à 3 inconnues :
Soit à résoudre le système :
ax  by  cz  d ( L1 )

(S1) a' x  b' y  c' z  d ' ( L2 )
a' ' x  b' ' y  c' ' z  d ' ' ( L )
3

La meilleure méthode ( et c’est celle du programme) est celle dite de Gauss
Description (simplifiée) de la méthode :
1ère étape : Elimination
On élimine à l’aide de (L1) une des inconnues, par exemple x dans L2 et L3
On obtient alors un système (S2) équivalent à (S1), de la forme
ax  by  cz  d (L1 )

'
'
'
b1
y  c1
 d1
(L'2 )


''
''
''
b1
y  c1
z  d1
(L'3 )

2e étape :
A l’aide de (L’2) on élimine dans (L’3) l’une des inconnues. On obtient alors
un système de la forme :
ax  by  cz  d

' y  c '  d'
b1

1
1

'
'

c 2 z  d'2'
équivalent à (S1)
(L"3 )
3e étape : substitution remontante
On détermine z à partir de (L"3), puis on substitue dans (L"2)
On refait les mêmes opérations pour y et x.
Exemple : Résoudre
 x  y  z  3 ( L1 )

 x  y  2 z  2 ( L2 )
 x  2 y  z  2 ( L )
3

x  y  z  3

( L1  L2 )   2 y  z  1 ( L'2 )
( L1  L3 )  
 3 y  2 z  5 ( L'3 )
( L1 ) 
x  y  z  3

 2y  z  1
( 2 L' 2  L' 3 )  
 7y  7
y 1
2 z 1

ce qui donne 
 z 1
 x  1
d ' où S  1 ,1 ,1
Remarques :
o
o
ax  by  cz  d

Si la méthode conduit à un système de la forme  b'1 y  c'1 z  d1 avec

0  z  d ' '2

d " 2  0, alors S  
Et si on obtient un système de la forme
ax  by  cz  d

 b'1 y  c'1 z  d1 , le

0 z 0

système admet une infinité de solutions ; on prend l’une des inconnues
comme paramètre et on exprime les autre en fonctions de ce paramètre.
Un tel système est dit lié, l’une des équations est une combinaison linéaire
des 2 autres.