Champ magnétique tournant

CHAMP MAGNETIQUE TOURNANT
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Sommaire
1 Généralités ............................................................................................................................... 1
2 Expression mathématique d'un champ tournant ...................................................................... 1
2.1 Notion de répartition spatiale sinusoïdale......................................................................... 1
2.2 Expression du champ compte tenu de la rotation du rotor ............................................... 2
2.3 Remarque .......................................................................................................................... 3
3 Création d'un champ tournant .................................................................................................. 3
3.1 Armature fixe alimentée par un courant sinusoïdal monophasé....................................... 3
3.2 Armature fixe alimentée par des courants triphasés ......................................................... 4
3.3 Armature mobile alimentée par un réseau alternatif......................................................... 6
3.4 Armature alimentée par des courants périodiques non sinusoïdaux ................................ 6
4 Action d'un champ tournant sur un bobinage .......................................................................... 6
4.1 Remarque préliminaire...................................................................................................... 6
4.2 Force électromotrice induite dans une spire diamétrale ................................................... 7
4.3 Force électromotrice induite dans le bobinage ................................................................. 8
4.4 Interaction électromagnétique........................................................................................... 9
CT 1
CHAMP MAGNETIQUE TOURNANT
1 Généralités
Les machines tournantes sont formées habituellement de deux armatures magnétiques
coaxiales séparées par un entrefer:
− le stator, fixe, qui présente une surface interne cylindrique et pour lequel les enroulements
sont placés dans des encoches
− le rotor, mobile, qui peut être soit à pôles lisses, avec une structure analogue à celle du
stator, soit à pôles saillants, les conducteurs étant alors enroulés autour des "cornes
polaires".
En régime de fonctionnement, les courants circulant dans les différents enroulements créent
dans l'entrefer un champ magnétique variable dans le temps et dans l'espace. On dit de ce
champ qu'il est tournant s'il présente les mêmes caractéristiques que celui créé par un bobinage
alimenté en courant continu ( ou par un aimant permanent ) animé d'un mouvement circulaire
autour d'un axe perpendiculaire à la direction d'une paire de pôles.
Dans ce qui suit, on ne s'intéressera qu'aux machines hétéropolaires, qui présentent une
alternance de pôles Nord et Sud en rappelant qu'on appelle pas polaire la distance angulaire qui
sépare deux pôles consécutifs et que ce pas vaut π/p, où p désigne le nombre de paires de pôles
de la machine.
Etant donné que l'on étudiera essentiellement les champs tournants créés par des courants,
→
on caractérisera ces champs à l'aide du vecteur H , directement lié aux courants par le
théorème d'Ampère. Si nécessaire, on utilisera le fait que l'entrefer est un milieu amagnétique
→
→
pour déterminer l'induction magnétique à l'aide de la relation B = µ 0 H .
2 Expression mathématique d'un champ tournant
La définition du champ tournant faisant référence à un bobinage mobile parcouru par un
courant constant, nous allons nous placer dans ce cas en considérant le champ créé par un rotor
alimenté en courant continu. Le stator, lui, n'est pas alimenté et ne sert, ici, qu'à refermer les
lignes de champ.
2.1 Notion de répartition spatiale sinusoïdale
Supposons pour le moment que le rotor est immobile. Le courant circulant dans les enroulements crée en tout point de l'entrefer un champ magnétique qui possède en particulier la
CT 2
propriété suivante: l'épaisseur de l'entrefer étant faible devant les dimensions de la machine,
les lignes d'induction sont radiales et la valeur h du champ en un point ne dépend que de la
position angulaire θ de ce point par rapport à un axe, choisi arbitrairement, perpendiculaire à
l'axe du rotor ( figure 1 ).
De par la construction du dispositif, l'alternance des 2p pôles
stator
Nord et Sud est parfaitement régulière. Quelle que soit la répartition
h
entrefer
des conducteurs, la fonction h(θ) est donc périodique, de période
θ
2π/p. Cependant, pour diverses raisons qui apparaîtront
axe ultérieurement dans l'étude des machines, le fonctionnement optimal
rotor
de celles-ci implique que les harmoniques de h(θ) soient les plus
faibles possibles. Ceci est également réalisé au moment de la
construction ( du moins pour les machines de puissance élevée ),
figure 1
l'idéal correspondant au cas où h(θ) se réduit à son fondamental. S'il
en est ainsi, on dira que le champ est à répartition spatiale
h
sinusoïdale et on mettra la fonction h(θ) sous la forme
pôle
θ
h = HM·cos[ p(θ − θ0) ]
θ0 Nord
avec θ0, position angulaire d'un pôle Nord pris comme référence et
axe
HM, valeur maximale de h ( ou, ce qui revient au même, valeur du
figure 2
champ sur l'axe d'un pôle Nord ).
2.2 Expression du champ compte tenu de la rotation du rotor
Le mouvement du rotor peut se traduire en écrivant que la position de l'axe du pôle Nord de
référence évolue avec le temps. Nous ne considérerons ici que le cas du mouvement uniforme.
En posant Ω la vitesse de rotation angulaire, et en choisissant convenablement l'origine des
temps, nous aurons θ0 = Ω·t, d'où
h = HM·cos[ p(θ − Ωt) ].
Cette grandeur étant alors également une fonction sinusoïdale du temps, on dit que le champ
est à répartition spatiale et temporelle sinusoïdale.
Nous avons représenté sur les figures 3 et 4 la répartition du champ dans l'entrefer d'une
machine tétrapolaire à deux instants différents, chaque vecteur ayant pour longueur la valeur
de h au point considéré.
Ultérieurement, par souci de simplification, on caractérisera, si nécessaire, le champ
tournant uniquement par la position spatiale à l'instant considéré du maximum correspondant
au pôle Nord de référence. Il faudra cependant toujours garder à l'esprit qu'il ne s'agit là que
d'une représentation symbolique, le champ magnétique réel existant en tout point de l'entrefer.
CT 3
Pôle Nord
de référence
Pôle Nord
de référence
axe
rotor
rotor
stator
axe
stator
 2π 
figure 3: t = 0  
Ω
figure 4: t =
π  2π 
2Ω  Ω 
2.3 Remarque
On peut aussi mettre l'équation de h sous la forme h = HM·cos(pθ − pΩt), soit, en posant
ω = pΩ, HM·cos(pθ − ωt). Réciproquement, nous admettrons sans démonstration que, chaque
fois qu'une répartition de champ sera caractérisée par une fonction du type HM·cos(pθ − ωt),
nous serons en présence d'un champ tournant dans le sens trigonométrique direct avec la
vitesse de rotation ω/p.
3 Création d'un champ tournant
L'étude des machines tournantes montre que la conversion électromagnétique d'énergie n'est
possible que s'il y a interaction entre deux champs tournants, l'un créé par le stator, l'autre par
le rotor. Si on peut toujours générer le deuxième en faisant tourner une armature alimentée en
courant continu, ceci n'est évidemment pas possible pour le stator, fixe par définition. Il faudra
donc utiliser d'autres moyens pour créer ce champ. Dans ce qui va suivre, nous allons décrire
quelques-unes des possibilités existantes.
3.1 Armature fixe alimentée par un courant sinusoïdal monophasé
On suppose que la répartition spatiale du champ est sinusoïdale. L'armature étant immobile,
rien ne s'oppose à faire coïncider l'origine des angles avec l'axe de référence pour la répartition
des champs ( qui correspondait à l'axe du pôle Nord dans le cas d'une alimentation en
CT 4
courant continu ). Ceci permet d'écrire h = H·cospθ, où H est ici une fonction du temps,
puisque le champ est créé par un courant variable.
En première approximation, on peut négliger la réluctance de la partie ferromagnétique du
circuit devant celle de l'entrefer. Le champ H le long de l'axe du pôle est donc proportionnel au
courant i circulant dans l'enroulement. Moyennant un choix convenable de l'origine des temps,
et en notant ω sa pulsation, ce dernier a pour expression i = IM·cosωt. Du fait de la proportionnalité, le champ H se met donc sous la forme HM·cosωt, avec HM = k·IM, où k est une constante
qui ne dépend que de la géométrie du système. Au total, le champ aura donc pour expression:
h = HM·cosωt·cospθ
Cette expression ne correspond visiblement pas à celle d'un champ tournant ( en particulier,
certains points de l'entrefer voient un champ toujours nul − on parle quelquefois de "champ
pulsant" ). Cependant, en développant h sous la forme
h1
ω
p
cos( pθ − ωt ) + cos( pθ + ωt )
h = HM
2
axe
figure 5
−ω
p
h2
HM
H
cos( pθ − ωt ) + M cos( pθ + ωt )
2
2
on constate, en utilisant la remarque faite au paragraphe 2.3, que
l'on est en présence de deux champs tournants h1 et h2, de même
amplitude HM/2, l'un tournant à la vitesse ω/p, l'autre à la vitesse
−ω/p ( donc à la même vitesse arithmétique, mais en sens inverse ). Ceci constitue le théorème de Leblanc.
soit
h=
3.2 Armature fixe alimentée par des courants triphasés
axe de la
bobine 3
2π
3p
axe de la
bobine 2
2π
3p
figure 6
axe de la
bobine 1
Le dispositif comporte trois enroulements identiques,
créant chacun une répartition sinusoïdale de champ. Ces
enroulements sont décalés l'un par rapport à l'autre d'un angle
égal à 2π/3p, et alimentés par un système de courants
sinusoïdaux triphasés, que nous supposerons équilibrés pour
le moment. Les origines d'angle et de temps sont choisies
comme pour le courant monophasé en prenant comme
référence supplémentaire l'enroulement alimenté par la phase
1. Si l'ordre des phases est celui représenté sur la figure 6, et
si le réseau d'alimentation est direct, les champs créés par
chaque enroulement auront pour expression
pour la bobine 1:
h1 = H1 cos pθ avec H1 = H M cos ωt
[ proportionnel à i1 = I M cos ωt ]
CT 5
pour la bobine 2:
 
2π  
2π  
2π  


h 2 = H 2 cos  p  θ −   avec H 2 = H M cos  ωt −   proportionnel à i 2 = I M cos  ωt −  


3p  
3 
3 
 
pour la bobine 3:
 
4π  
4π  
4π  


h 3 = H 3 cos  p  θ −   avec H 3 = H M cos  ωt −   proportionnel à i3 = I M cos  ωt −  


3p  
3 
3 
 
Le champ résultant en un point de l'entrefer, égal à h1 + h2 + h3, aura donc pour expression
 
 
2π   
2π 
4π   
4π 
h = H M cos pθ cos ωt + H M cos  p  θ −   cos  ωt −  + H M cos  p  θ −   cos  ωt − 
3p   
3
3p   
3
 
 
qui peut encore s'écrire, en décomposant chaque produit de cosinus en somme de deux termes,
h=
soit
h=
HM
H 
4π  

⋅ [cos ( pθ − ωt ) + cos ( pθ + ωt ) ] + M ⋅ cos ( pθ − ωt ) + cos  pθ + ωt −  

2
2 
3 
H 
8π  

+ M ⋅ cos( pθ − ωt ) + cos  pθ + ωt −  

2 
3 
3
H 
4π 
8π  


H M ⋅ cos ( pθ − ωt ) + M ⋅ cos ( pθ + ωt ) + cos  pθ + ωt −  + cos  pθ + ωt −  


2
2 
3
3 
ω
p
h
On vérifiera facilement que la somme entre les crochets est
nulle. Il ne reste donc que
3
h = H M ⋅ cos ( pθ − ωt )
2
axe
qui correspond à un champ tournant dans le sens direct avec la
vitesse ω/p ( figure 7 ). Ce résultat, avec la variante décrite dans
la première remarque, constitue le théorème de Ferraris.
figure 7
Remarque 1: Si l'ordre de succession des bobinages est inversé, ou si, ce qui revient au même,
on permute deux phases du réseau d'alimentation, le résultat du calcul précédent devient
3
h = H M ⋅ cos ( pθ + ωt ) , ce qui correspond à un champ tournant en sens inverse.
2
Remarque 2: Si les courants ne sont pas équilibrés, on raisonne sur leurs composantes symétriques I0, Id et Ii. Les valeurs instantanées des courants par phase correspondant à la composante
homopolaire étant identiques pour les trois enroulements, un calcul analogue à celui effectué
ci-dessus montre que le champ résultant est nul en tout point de l'entrefer. Les composantes Id
et
Ii,
CT 6
ω
p
hd
axe
−ω
p
hi
correspondant respectivement à un réseau direct et à un réseau
inverse créent, en vertu duthéorème de Ferraris, des champs hd
et hi tournant en sens inverse l'un de l'autre avec la même
vitesse arithmétique ω/p ( mais contrairement au cas du
bobinage monophasé, leur amplitude est, sauf cas exceptionnel,
différente, il y aura donc toujours un champ tournant
prépondérant ). Cette combinaison de deux champs tournants
d'amplitude différente est appelée champ elliptique.
3.3 Armature mobile alimentée par un réseau alternatif
Que le bobinage soit monophasé ou polyphasé, on commence par se placer dans un référentiel lié à l'armature. Dans celui-ci, tout se passe comme si l'armature était fixe. On peut donc
utiliser les théorèmes de Leblanc ou de Ferraris qui permettent en particulier de déterminer la
vitesse de rotation Ω du champ tournant par rapport à l'armature. Pour obtenir la vitesse de
rotation par rapport au référentiel fixe habituel, il suffit d'ajouter algébriquement à Ω la vitesse
de rotation de l'armature. Ainsi, par exemple, une armature monophasée tournant à la vitesse
Ω0 et alimentée par un courant de pulsation ω crée deux champs tournants, l'un à la vitesse
Ω0 + ω/p, l'autre à la vitesse Ω0 − ω/p.
3.4 Armature alimentée par des courants périodiques non sinusoïdaux
Le principe de base est de décomposer chaque courant en sa série de Fourier et d'étudier les
champs créés par les courants sinusoïdaux correspondants. Dans les cas usuels, les harmoniques de même rang n constituent des réseaux équilibrés directs ou inverses, qui génèrent donc
des champs tournants dans un sens ou dans l'autre, avec la vitesse nω/p, où ω désigne la pulsation du fondamental, correspondant à la période commune T des trois courants. La
composition de ces différents champs ne donne évidemment pas un champ tournant, mais,
dans la plupart des cas, seul le champ correspondant au fondamental possède une importance
significative. On peut donc considérer que, moyennant certaines hypothèses qu'il serait trop
long de détailler ici, mais qui sont généralement vérifiées, un système de courants périodiques
non sinusoïdaux, de période T, crée un champ tournant à la vitesse 2π/Tp.
4 Action d'un champ tournant sur un bobinage
4.1 Remarque préliminaire
Pour toute cette étude, nous nous placerons dans un repère lié au bobinage. Son état, fixe ou
mobile, n'a donc pas d'importance. Cependant, il faut bien noter que toutes les grandeurs angu
CT 7
laires, en particulier la vitesse de rotation du champ, sont relatives à ce repère. Dans le cas d'un
bobinage fixe, cela ne porte pas à conséquence, par contre, pour un bobinage mobile, il faudra
exprimer les grandeurs relatives en fonction des grandeurs absolues si on veut faire intervenir
ces dernières. Nous y reviendrons dans le cadre d'une application.
4.2 Force électromotrice induite dans une spire diamétrale
Nous nous limiterons dans ce paragraphe au seul cas du champ à répartition spatiale et
temporelle sinusoïdale. Par définition, une spire diamétrale est composée de deux brins actifs
distants angulairement d'un pas polaire et des liaisons correspondantes. D'après la loi de Lenz,
la f.é.m. induite est égale à −dΦ/dt, où Φ désigne le
axe
flux instantané à travers cette spire. Pour déterminer
brin
celui-ci, on choisit comme origine des angles l'axe
brin
actif
actif
ds
de symétrie de la spire ( Cf figure 9 où R et l
désignent respectivement le rayon interne et la
longueur de l'armature ). On suppose pour le
θ dθ
l
π
π
moment qu'il n'y a pas de contrainte en ce qui
2p 2p
concerne l'origine des temps, qui sera donc choisie
de telle sorte que le pôle Nord de référence coïncide
R
avec l'axe de la spire au temps t = 0, ce qui permet
figure 9
d'utiliser l'équation de base du champ tournant
h = HM·cos[ p(θ − Ωt) ].
Les lignes de champ étant radiales, le flux se calcule simplement par
Φ=
π
2p
π
−
2p
∫
b ⋅ ds
avec b = µ0h et ds = Rdθ⋅l
En remplaçant h par son expression, il vient
Φ=
soit
π
2p
π µ 0 H M cos( pθ −
−
2p
∫
Φ=
µ 0 H M Rl
p
pΩt ) ⋅ Rldθ = µ 0 H M ⋅ Rl
π
2p
π cos( pθ −
−
2p
∫
pΩt )dθ
 π

 π
  2µ 0 H M Rl
sin
−
Ω
−
sin
−
−
Ω
cos pΩt
p
t
p
t


 =

 2

 2

p

que l'on peut mettre sous la forme Φ = ΦM·cospΩt avec ΦM = 2µ0HMRl/p, terme appelé flux
sous un pôle. Il ne reste alors plus qu'à dériver le flux par rapport au temps pour obtenir l'expression de la f.é.m. induite dans une spire. Il vient immédiatement e = pΩΦM·sinpΩt, que l'on
peut encore écrire sous la forme e = ωΦM·sinωt, en faisant apparaître la pulsation ω des grandeurs électriques, égale à pΩ.
CT 8
Pôle Nord
pour t=0
axe
θ0
figure 10
Remarque: Dans le cas général, l'origine des temps ne peut
être choisie librement. Il faut donc modifier l'expression du
champ tournant pour en tenir compte. Ceci peut par exemple
se faire en écrivant h sous la forme HM·cos[ p(θ − θ0 − Ωt) ],
où θ0 est la position angulaire du pôle Nord de référence au
temps t = 0 ( Cf figure 10 ). Tous calculs faits, on obtient
alors e = ωΦM·sin(ωt + pθ0), résultat qui met en évidence le
fait qu'un décalage angulaire θ0 se traduit par un déphasage
électrique pθ0.
4.3 Force électromotrice induite dans le bobinage
Soit N le nombre total de brins actifs du bobinage. En supposant dans un premier temps que
les brins sont logés dans deux encoches distantes d'un pas polaire, ceux-ci formeront N/2
spires voyant toutes le même flux. La f.é.m. totale sera donc égale à N/2 fois la f.é.m. par
spire, ce qui, avec une répartition spatiale et temporelle sinusoïdale, conduit à une valeur
efficace, que l'on peut qualifier de théorique, donnée par la relation
E=
NωΦ M
π
=
NfΦ M
2 2
2
Pour un bobinage réel, les conditions sont loin d'être aussi idéales. En particulier, les conducteurs sont répartis dans plusieurs encoches consécutives. Il s'ensuit que les f.é.m. par spires
ne sont plus en phase ( le pôle Nord du champ occupant des positions différentes par rapport
aux axes des spires − Cf remarque du paragraphe précédent ), et que leur somme, vectorielle,
est forcément inférieure à leur somme arithmétique. On peut également citer le fait que les spires ne sont pas toujours diamétrales, ce qui conduit à une diminution de la f.é.m. par spire.
Pour tenir compte de l'ensemble des phénomènes liés à la structure physique de l'enroulement,
on écrit la valeur efficace de la tension à ses bornes sous la forme
π
NfΦ M
2
le terme Kb étant appelé coefficient de bobinage.
E = Kb
Si, de plus, le champ n'est pas à répartition spatiale et temporelle sinusoïdale, la f.é.m. induite comporte également des harmoniques, ce qui vient, là encore, modifier sa valeur efficace.
Pour tenir compte de l'ensemble de ces perturbations, on écrit généralement cette valeur efficace sous la forme E = KNfΦM, en faisant apparaître le coefficient de Kapp K, qui regroupe le
coefficient de bobinage, les effets des harmoniques et la constante π / 2 .
Application: f.é.m. induite dans le rotor d'une machine asynchrone
Cet exemple est traité à titre de cas particulier de tension induite dans un bobinage mobile.
Le stator, alimenté par un réseau de pulsation ω, crée un champ tournant à la vitesse Ωs = ω/p.
CT 9
Le rotor tourne à la vitesse Ωr, que l'on met comme habituellement sous la forme (1 − g)·Ωs.
Dans le repère du rotor, la vitesse de rotation du champ tournant est égale à Ωs − Ωr, soit gΩs.
La pulsation de la f.é.m. induite vaut donc p·gΩs, soit encore gω. Cette pulsation intervenant
également dans l'expression de la valeur efficace de la tension, il s'ensuit que celle-ci est, de
même, proportionnelle à g.
4.4 Interaction électromagnétique
Celle-ci n'existe bien sûr que si le bobinage est parcouru par un courant ( Cf par exemple la
loi de Laplace ). Nous ferons ici les hypothèses suivantes:
− Le courant dans le bobinage est sinusoïdal et a pour expression i = I 2 cosωt.
− Le champ tourne à la vitesse Ω. Il induit dans le bobinage une f.é.m. e de pulsation pΩ que
nous mettrons sous la forme e = E 2 cos(pΩt+ψ) pour tenir compte du fait que e n'est pas
forcément maximal au temps t = 0.
Signalons, avant de poursuivre, que ces hypothèses supposent implicitement que le
bobinage est alimenté par une source de courant qui, en empêchant la circulation des courants
de pulsation pΩ créés par e, permet effectivement de ne prendre en compte que les termes e et
i.
L'interaction peut se traduire en écrivant que l'énergie électromagnétique échangée est aussi
celle disponible sous forme électrique au niveau du bobinage. Nous raisonnerons ici en termes
de puissance instantanée p = e·i en rappelant que seule la valeur moyenne de cette grandeur est
représentative des échanges d'énergie. Notons également que, dans le cadre de l'étude des machines tournantes, on désigne cette valeur moyenne sous le nom de puissance
électromagnétique ( ou transmise ) Pem et qu'on lui associe le couple électromagnétique Cem,
égal à Pem/Ω.
En remplaçant e et i par leurs expressions, on obtient alors
p = E 2 cos( pΩt + ψ ) ⋅ I 2 cos ωt
que l'on peut mettre sous la forme
{
}
p = EI cos[( pΩ − ω ) t + ψ ] + cos[( pΩ + ω ) t + ψ ]
Vu la présence des termes en cosinus, on voit que la valeur moyenne de p n'est différente de
zéro que si pΩ = ω ou pΩ = −ω. L'interaction n'existe donc que si le champ tourne à l'une des
deux vitesses ±ω/p. Cette condition étant réalisée, on a Pem = EIcosψ et Cem = EIcosψ/Ω.
Remarque 1: Conformément au théorème de Leblanc, on peut associer deux champs tournants
au courant circulant dans le bobinage. En admettant que ce dernier possède le même nombre
de pôles que le champ induisant e, les vitesses de rotation correspondantes sont égales à ω/p et
CT 10
à −ω/p. La condition d'existence de l'interaction peut donc également se traduire de la façon
suivante: il n'y a échange de puissance que si le champ tournant tourne au synchronisme d'un
des champs créés par le bobinage. Cette condition est tout à fait générale et s'applique à toutes
les configurations possibles de machines électriques.
Remarque 2: Toujours dans le cadre de l'interprétation par les champs tournants, on peut déterminer le décalage angulaire existant entre eux. Pour l'obtenir, il suffit d'écrire les expressions
des champs dans un même repère.
En prenant l'axe du bobinage comme origine des angles, le champ h1 créé par le courant, du
moins la composante tournant dans le bon sens, peut se mettre sous la forme
H1M cos[ p ( θ − Ωt ) ]
en remplaçant ω par pΩ ( Cf paragraphe 3.1, les origines de temps et d'angle étant les mêmes ).
Le champ tournant h2 induisant e s'obtient en faisant le raisonnement inverse de celui effectué au paragraphe 4.2: à la tension E 2 cos( pΩt + ψ ) , que l'on peut aussi écrire sous la forme
π

E 2 sin  pΩt + ψ +  , correspond le champ tournant

2
π
 

ψ
+


2 − Ωt  
H 2 M cos  p  θ −

p

 

 
l'angle pθ0 étant ici égal à ψ + π/2.
De ces expressions de h1 et de h2, on déduit que le décalage angulaire vaut (ψ + π/2)/p. L'angle ψ pouvant varier entre −π/2 et π/2, ce décalage évoluera entre 0 et un pas polaire. On peut
signaler que si les deux positions extrêmes correspondent effectivement à une interaction
nulle, la position médiane, champs en "quadrature", n'est pas forcément celle pour laquelle le
couple est maximal. En effet, contrairement au cas des aimants permanents, les amplitudes des
champs, en particulier celui créé par le courant, ne sont pas forcément fixes, mais peuvent
évoluer avec le couple demandé. On retrouvera ceci dans le cadre de l'étude de la machine
synchrone.