Comparaison des fonctions : Développements limités 1 Fonctions négligeables 1.1 En maths, le terme ”négligeable” a un sens bien précis. 1.2 Soient f et g 2 fonctions définies sur I, x0 ∈ I ou x0 = borne de I. On dit que f est négligeable devant g en x0 si : • f (x) −−−→ 0 g(x) x→x0 ou • il existe ε(x), fonction inconnue telle que ε(x) −−−→ 0, telle que f (x) = g(x)ε(x) (au voisinage de x0 ) x→x0 1.3 Si f est négligeable devant g en x0 , on note f (x) 1.4 Exemples : = o(g(x)) ou f x → x0 = o(g) x0 • En 0, si 0 < a < b, alors xb = o(xa ) • En +∞, c’est l’inverse, xa = o(xb ) • En +∞ , • En +∞ , ln(x) x → 0, donc a x = o(ex ) ln(x) = o(x) 1.5 Si on a une somme de fonctions f + g, et que f est négligeable devant g en x0 , alors on peut ”oublier” f dans le calcul de la limite. 1.6 Si en x0 , f = o(g) et h = o(i), f h = o(gi) 1.7 Soit λ ∈ R. Si en x0 , f = o(g), alors λf = o(g). Ainsi, on peut écrire λo(g) = o(g) 1.8 Si en x0 , f = o(g), alors f a = o(g a ) 1.9 Par contre , si en x0 , f = o(g), alors on a pas forcément H(f ) = o(H(g)) Exemple: En 0, x2 = o(x + x2 ) car Mais 2 2.1 2 ex 6= 2 o(ex+x 1 x2 = 2 x+x 1+ 1 x −−−→ 0 x→0 car Fonctions équivalentes Deux fonctions f et g sont dites équivalentes en x0 si : • f (x) −−−→ 1 g(x) x→x0 ou • f (x) = g(x) + o(g(x)) (au voisinage de x0 ) ou • il existe ε(x), fonction inconnue telle que ε(x) −−−→ 0, telle que f (x) = g(x)(1 + ε(x)) (au voisinage de x→x0 x0 ) 2.2 On note f ∼ g x0 2.3 Equivalents à connaitre : en 0, sin(x) ∼ x tan(x) ∼ x (1 + x)a − 1 ∼ ax ln(1 + x) ∼ x ex − 1 ∼ x 2.4 Si on a une fonction h qui s’écrit comme une somme h = f + g, que g = o(f ), alors h ∼ f 2.5 Ce qu’on ne peut pas faire : • Une fonction n’est jamais équivalente à 0, sauf si elle est nulle au voisinage de x0 (ce qui n’arrive jamais). Autrement dit, on n’écrit jamais f ∼ 0 • On n’ajoute pas des équivalents : Si f ∼ g, si j ∼ h, alors f + j n’est pas équivalent à g + h Exemple: En +∞, on a x + x2 ∼ x2 et −x2 ∼ −x2 . Pourtant, x n’est pas équivalent à 0. • Ce qu’on peut faire. Si f ∼ g en x0 , alors : → → → → → λf ∼ λg 1 1 f ∼ g (si tout existe) f a ∼ ga Si h ∼ i, si alors f h ∼ gi Si f (x) −−−→ l 6= 0, alors f (x) ∼ l x→x0 • Deux résultats justifient l’importance des fonctions équivalentes : → Si 2 fonctions sont équivalentes en x0 , alors elles sont la même limite en x0 . → Si 2 fonctions sont équivalentes en x0 , alors elles ont le même signe au voisinage de x0 • Ainsi, lorsqu’on cherche une limite, il est souvent rapide de chercher un équivalent plus simple de f . Il est particulièrement intéressant de chercher les équivalents sous la même forme ( des polynômes le plus souvent ) car ainsi des simplifications s’opérent. Exemple: Calculer lim x→0 2.6 tan(x)ln(1 + x) √ sin(x)( 1 + x − 1) Malheureusement, les équivalents sont impuissants dans beaucoup de cas : Exemple: Calculer lim x→0 sin(x) − x cos(x) − 1 2 3 3.1 Développements limités On dit que f possède un développement limité en x0 à l’ordre n si il existe : une fonction ε(x) tq ε(x) −−−→ 0 x→x0 tels que, au voisinage de x0 , des nombres ai f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n ε(x) 3.2 Le terme (x − x0 )n ε(x) désigne une fonction négligeable devant (x − x0 )n . Autrement dit, on peut écrire à sa place o((x − x0 )n ) 3.3 Un DL permet, en un point, de connaitre la limite en x0 ou un équivalent de la fonction. ( un équivalent de f en x0 est le premier terme non nul du DL en x0 ) 3.4 Théorème de Taylor-Young : Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors f possède un DL à l’ordre n. De plus, on peut calculer les coefficients de ce DL : f (x) = f (x0 ) + f 0 (x0 ) f 00 (x0 ) (x − x0 ) + (x − x0 )2 + . . . + o(x − x0 )n 1! 2! 3.5 Le théorème de Taylor Young permet de calculer des DL classiques ( voir formulaire ). Néammoins, dans la pratique il est d’usage plutôt difficile ( les dérivées multiples ne sont pas toujours faciles à calculer ) 3.6 Pour calculer un DL en 0, on utilise le formulaire en faisant des changements de variable, etc... 3.7 Si on doit calculer un DL en x0 6= 0, on pose X = x − x0 , et on fait un DL en 0 avec X. 3.8 On peut calculer un DL en +∞ en posant X = 4 1 x Exercices Exercice 1 (Savoir maı̂triser les ordres de grandeurs) Pour les fonctions f et g suivantes, établir des comparaison d’ordre de grandeur: sont elles équivalentes ? l’une des fonctions est elle négligeable devant l’autre ? 1) en +∞, 3) en +∞, 5) en +∞, 7) en 0, f (x) = xn (n > 0) g(x) = x ln(x) f (x) = xn g(x) = ex (n > 0) f (x) = xn (n > 0) g(x) = xn + 2x + 6 f (x) = sin(x) g(x) = x3 f (x) = xn (n > 0) g(x) = xn sin(x) f (x) = xx g(x) = ex 2) en +∞, 4) en +∞, f (x) = x g(x) = x ln(x) f (x) = cos(x) − 1 g(x) = x 6) en 0, 8) en 0, Exercice 2 Calculer un DL des fonctions suivantes : p 3 (a) en 0, x 1 + sin(x) à l’ordre 3 (b) en 0, 1 1+cos(x) à l’ordre 2 (c) en 0, sin(x)−x ln(1+x)3 à l’ordre 2 (d) en 1, sin(πx) x−1 à l’ordre 3 Exercice 3 (Utilisation de la formule de Taylor-Young) A l’aide du théorème de Taylor Young, calculer des DL des fonction suivantes: 1) en 0, à l’ordre 3, tan(x) 2) en 2, à l’ordre 4, 3 ex x 3) en 0, à l’ordre 3 x 3 1 + sin(x) p Exercice 4 (Savoir utiliser un DL pour calculer des limites) Calculer: sin(x) − sh(x) x→0 x(cos(x) − ch(x)) 1) lim 2) lim x→0 √ ex −1 x+1 1 x Exercice 5 (Savoir utiliser un DL pour trouver un équivalent) Calculer des équivalents des fonctions suivantes: 2 1 x ex − cos(x) − x −2 2) en +∞: g(x) = x sin( ) 1) en 0: f (x) = x − ln(1 + x) x 3) en 0: f (x) = 1 1 − tan(x) x 4