Comparaison des fonctions : Développements limités

Comparaison des fonctions : D´eveloppements limit´es
1 Fonctions n´egligeables
1.1 En maths, le terme ”n´egligeable” a un sens bien pr´ecis.
1.2 Soient fet g2 fonctions d´efinies sur I,x0∈Iou x0= borne de I. On dit que fest n´egligeable devant gen
x0si :
•f(x)
g(x)−−−→
x→x0
0
ou
•il existe ε(x), fonction inconnue telle que ε(x)−−−→
x→x0
0, telle que f(x) = g(x)ε(x) (au voisinage de x0)
1.3 Si fest n´egligeable devant gen x0, on note f(x) = o(g(x))
x→x0
ou f=o(g)
x0
1.4 Exemples :
•En 0, si 0 < a < b, alors xb=o(xa)
•En +∞, c’est l’inverse, xa=o(xb)
•En +∞,ln(x)
x→0, donc ln(x) = o(x)
•En +∞,xa=o(ex)
1.5 Si on a une somme de fonctions f+g, et que fest n´egligeable devant gen x0, alors on peut ”oublier” f
dans le calcul de la limite.
1.6 Si en x0,f=o(g) et h=o(i), fh =o(gi)
1.7 Soit λ∈R. Si en x0,f=o(g), alors λf =o(g). Ainsi, on peut ´ecrire λo(g) = o(g)
1.8 Si en x0,f=o(g), alors fa=o(ga)
1.9 Par contre , si en x0,f=o(g), alors on a pas forc´ement H(f) = o(H(g))
Exemple:
En 0,x2=o(x+x2)car x2
x+x2=1
1 + 1
x−−−→
x→00
Mais ex26=o(ex+x2car
2 Fonctions ´equivalentes
2.1 Deux fonctions fet gsont dites ´equivalentes en x0si :
•f(x)
g(x)−−−→
x→x0
1
ou
•f(x) = g(x) + o(g(x)) (au voisinage de x0)
ou

•il existe ε(x), fonction inconnue telle que ε(x)−−−→
x→x0
0, telle que f(x) = g(x)(1 + ε(x)) (au voisinage de
x0)
2.2 On note f∼g
x0
2.3 Equivalents `a connaitre : en 0,
sin(x)∼xtan(x)∼x(1 + x)a−1∼ax
ln(1 + x)∼x ex−1∼x
2.4 Si on a une fonction hqui s’´ecrit comme une somme h=f+g, que g=o(f), alors h∼f
2.5 Ce qu’on ne peut pas faire :
•Une fonction n’est jamais ´equivalente `a 0, sauf si elle est nulle au voisinage de x0(ce qui n’arrive
jamais). Autrement dit, on n’´ecrit jamais f∼0
•On n’ajoute pas des ´equivalents : Si f∼g, si j∼h, alors f+jn’est pas ´equivalent `a g+h
Exemple:
En +∞, on a x+x2∼x2et −x2∼ −x2. Pourtant, xn’est pas ´equivalent `a 0.
•Ce qu’on peut faire. Si f∼gen x0, alors :
→λf ∼λg
→1
f∼1 g(si tout existe)
→fa∼ga
→Si h∼i, si alors fh ∼gi
→Si f(x)−−−→
x→x0
l6= 0, alors f(x)∼l
•Deux r´esultats justifient l’importance des fonctions ´equivalentes :
→Si 2 fonctions sont ´equivalentes en x0, alors elles sont la mˆeme limite en x0.
→Si 2 fonctions sont ´equivalentes en x0, alors elles ont le mˆeme signe au voisinage de x0
•Ainsi, lorsqu’on cherche une limite, il est souvent rapide de chercher un ´equivalent plus simple de
f. Il est particuli`erement int´eressant de chercher les ´equivalents sous la mˆeme forme ( des polynˆomes
le plus souvent ) car ainsi des simplifications s’op´erent.
Exemple:
Calculer lim
x→0
tan(x)ln(1 + x)
sin(x)(√1 + x−1)
2.6 Malheureusement, les ´equivalents sont impuissants dans beaucoup de cas :
Exemple:
Calculer lim
x→0
sin(x)−x
cos(x)−1
2

3 D´eveloppements limit´es
3.1 On dit que fposs`ede un d´eveloppement limit´e en x0`a l’ordre nsi il existe :
une fonction ε(x) tq ε(x)−−−→
x→x0
0
des nombres ai
tels que, au voisinage de x0,
f(x) = a0+a1(x−x0) + a2(x−x0)2+. . . + (x−x0)nε(x)
3.2 Le terme (x−x0)nε(x) d´esigne une fonction n´egligeable devant (x−x0)n. Autrement dit, on peut ´ecrire `a
sa place o((x−x0)n)
3.3 Un DL permet, en un point, de connaitre la limite en x0ou un ´equivalent de la fonction. ( un ´equivalent de
fen x0est le premier terme non nul du DL en x0)
3.4 Th´eor`eme de Taylor-Young : Si fest de classe Cnau voisinage de x0, alors fposs`ede un DL `a l’ordre
n. De plus, on peut calculer les coefficients de ce DL :
f(x) = f(x0) + f0(x0)
1! (x−x0) + f00(x0) 2! (x−x0)2+. . . +o(x−x0)n
3.5 Le th´eor`eme de Taylor Young permet de calculer des DL classiques ( voir formulaire ). N´eammoins, dans la
pratique il est d’usage plutˆot difficile ( les d´eriv´ees multiples ne sont pas toujours faciles `a calculer )
3.6 Pour calculer un DL en 0, on utilise le formulaire en faisant des changements de variable, etc...
3.7 Si on doit calculer un DL en x06= 0, on pose X=x−x0, et on fait un DL en 0 avec X.
3.8 On peut calculer un DL en +∞en posant X=1
x
4 Exercices
Exercice 1 (Savoir maˆıtriser les ordres de grandeurs)
Pour les fonctions fet gsuivantes, ´etablir des comparaison d’ordre de grandeur: sont elles ´equivalentes ?
l’une des fonctions est elle n´egligeable devant l’autre ?
1) en +∞,f(x) = xn(n > 0)
g(x) = xln(x)2) en +∞,f(x) = xn(n > 0) g(x) = xnsin(x)
3) en +∞,f(x) = xn(n > 0)
g(x) = ex4) en +∞,f(x) = xx g(x) = ex
5) en +∞,f(x) = xn(n > 0)
g(x) = xn+ 2x+ 6 6) en 0, f(x) = x g(x) = xln(x)
7) en 0, f(x) = sin(x)
g(x) = x38) en 0, f(x) = cos(x)−1 g(x) = x
Exercice 2 Calculer un DL des fonctions suivantes :
(a) en 0, xp1 + sin(x)3`a l’ordre 3
(b) en 0, 1
1+cos(x)`a l’ordre 2
(c) en 0, sin(x)−x
ln(1+x)3`a l’ordre 2
(d) en 1, sin(πx)
x−1`a l’ordre 3
Exercice 3 (Utilisation de la formule de Taylor-Young)
A l’aide du th´eor`eme de Taylor Young, calculer des DL des fonction suivantes:
1) en 0, `a l’ordre 3, tan(x) 2) en 2, `a l’ordre 4, ex
x3) en 0, `a l’ordre 3 xp1 + sin(x)3
3

Exercice 4 (Savoir utiliser un DL pour calculer des limites)
Calculer:
1) lim
x→0
sin(x)−sh(x)
x(cos(x)−ch(x)) 2) lim
x→0ex
√x+ 1 −11
x
Exercice 5 (Savoir utiliser un DL pour trouver un ´equivalent)
Calculer des ´equivalents des fonctions suivantes:
1) en 0: f(x) = ex−cos(x)−x
x−ln(1 + x)−2 2) en +∞:g(x) = xsin( 1 x)x2
3) en 0: f(x) = 1
tan(x)−1 x
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