Comparaison des fonctions : Développements limités

Comparaison des fonctions : Développements limités
1
Fonctions négligeables
1.1
En maths, le terme ”négligeable” a un sens bien précis.
1.2
Soient f et g 2 fonctions définies sur I, x0 ∈ I ou x0 = borne de I. On dit que f est négligeable devant g en
x0 si :
•
f (x)
−−−→ 0
g(x) x→x0
ou
• il existe ε(x), fonction inconnue telle que ε(x) −−−→ 0, telle que f (x) = g(x)ε(x) (au voisinage de x0 )
x→x0
1.3
Si f est négligeable devant g en x0 , on note f (x)
1.4
Exemples :
=
o(g(x)) ou f
x → x0
= o(g)
x0
• En 0, si 0 < a < b, alors xb = o(xa )
• En +∞, c’est l’inverse, xa = o(xb )
• En +∞ ,
• En +∞ ,
ln(x)
x → 0, donc
a
x = o(ex )
ln(x) = o(x)
1.5
Si on a une somme de fonctions f + g, et que f est négligeable devant g en x0 , alors on peut ”oublier” f
dans le calcul de la limite.
1.6
Si en x0 , f = o(g) et h = o(i), f h = o(gi)
1.7
Soit λ ∈ R. Si en x0 , f = o(g), alors λf = o(g). Ainsi, on peut écrire λo(g) = o(g)
1.8
Si en x0 , f = o(g), alors f a = o(g a )
1.9
Par contre , si en x0 , f = o(g), alors on a pas forcément H(f ) = o(H(g))
Exemple:
En 0, x2 = o(x + x2 ) car
Mais
2
2.1
2
ex
6=
2
o(ex+x
1
x2
=
2
x+x
1+
1
x
−−−→ 0
x→0
car
Fonctions équivalentes
Deux fonctions f et g sont dites équivalentes en x0 si :
•
f (x)
−−−→ 1
g(x) x→x0
ou
• f (x) = g(x) + o(g(x)) (au voisinage de x0 )
ou
• il existe ε(x), fonction inconnue telle que ε(x) −−−→ 0, telle que f (x) = g(x)(1 + ε(x)) (au voisinage de
x→x0
x0 )
2.2
On note f ∼ g
x0
2.3
Equivalents à connaitre : en 0,
sin(x) ∼ x
tan(x) ∼ x (1 + x)a − 1 ∼ ax
ln(1 + x) ∼ x ex − 1 ∼ x
2.4
Si on a une fonction h qui s’écrit comme une somme h = f + g, que g = o(f ), alors h ∼ f
2.5
Ce qu’on ne peut pas faire :
• Une fonction n’est jamais équivalente à 0, sauf si elle est nulle au voisinage de x0 (ce qui n’arrive
jamais). Autrement dit, on n’écrit jamais f ∼ 0
• On n’ajoute pas des équivalents : Si f ∼ g, si j ∼ h, alors f + j n’est pas équivalent à g + h
Exemple:
En +∞, on a x + x2 ∼ x2 et −x2 ∼ −x2 . Pourtant, x n’est pas équivalent à 0.
• Ce qu’on peut faire. Si f ∼ g en x0 , alors :
→
→
→
→
→
λf ∼ λg
1
1
f ∼ g (si tout existe)
f a ∼ ga
Si h ∼ i, si alors f h ∼ gi
Si f (x) −−−→ l 6= 0, alors f (x) ∼ l
x→x0
• Deux résultats justifient l’importance des fonctions équivalentes :
→ Si 2 fonctions sont équivalentes en x0 , alors elles sont la même limite en x0 .
→ Si 2 fonctions sont équivalentes en x0 , alors elles ont le même signe au voisinage de x0
• Ainsi, lorsqu’on cherche une limite, il est souvent rapide de chercher un équivalent plus simple de
f . Il est particulièrement intéressant de chercher les équivalents sous la même forme ( des polynômes
le plus souvent ) car ainsi des simplifications s’opérent.
Exemple:
Calculer lim
x→0
2.6
tan(x)ln(1 + x)
√
sin(x)( 1 + x − 1)
Malheureusement, les équivalents sont impuissants dans beaucoup de cas :
Exemple:
Calculer lim
x→0
sin(x) − x
cos(x) − 1
2
3
3.1
Développements limités
On
 dit que f possède un développement limité en x0 à l’ordre n si il existe :
 une fonction ε(x) tq ε(x) −−−→ 0
x→x0
tels que, au voisinage de x0 ,
 des nombres ai
f (x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + . . . + (x − x0 )n ε(x)
3.2
Le terme (x − x0 )n ε(x) désigne une fonction négligeable devant (x − x0 )n . Autrement dit, on peut écrire à
sa place o((x − x0 )n )
3.3
Un DL permet, en un point, de connaitre la limite en x0 ou un équivalent de la fonction. ( un équivalent de
f en x0 est le premier terme non nul du DL en x0 )
3.4
Théorème de Taylor-Young : Si f est de classe C n au voisinage de x0 , alors f possède un DL à l’ordre
n. De plus, on peut calculer les coefficients de ce DL :
f (x) = f (x0 ) +
f 0 (x0 )
f 00 (x0 )
(x − x0 ) +
(x − x0 )2 + . . . + o(x − x0 )n
1!
2!
3.5
Le théorème de Taylor Young permet de calculer des DL classiques ( voir formulaire ). Néammoins, dans la
pratique il est d’usage plutôt difficile ( les dérivées multiples ne sont pas toujours faciles à calculer )
3.6
Pour calculer un DL en 0, on utilise le formulaire en faisant des changements de variable, etc...
3.7
Si on doit calculer un DL en x0 6= 0, on pose X = x − x0 , et on fait un DL en 0 avec X.
3.8
On peut calculer un DL en +∞ en posant X =
4
1
x
Exercices
Exercice 1 (Savoir maı̂triser les ordres de grandeurs)
Pour les fonctions f et g suivantes, établir des comparaison d’ordre de grandeur: sont elles équivalentes ?
l’une des fonctions est elle négligeable devant l’autre ?
1) en +∞,
3) en +∞,
5) en +∞,
7) en 0,
f (x) = xn (n > 0)
g(x) = x ln(x)
f (x) = xn
g(x) = ex
(n > 0)
f (x) = xn (n > 0)
g(x) = xn + 2x + 6
f (x) = sin(x)
g(x) = x3
f (x) = xn (n > 0)
g(x) = xn sin(x)
f (x) = xx
g(x) = ex
2) en +∞,
4) en +∞,
f (x) = x
g(x) = x ln(x)
f (x) = cos(x) − 1
g(x) = x
6) en 0,
8) en 0,
Exercice 2 Calculer un DL des fonctions suivantes :
p
3
(a) en 0, x
1 + sin(x) à l’ordre 3
(b) en 0,
1
1+cos(x)
à l’ordre 2
(c) en 0,
sin(x)−x
ln(1+x)3
à l’ordre 2
(d) en 1,
sin(πx)
x−1
à l’ordre 3
Exercice 3 (Utilisation de la formule de Taylor-Young)
A l’aide du théorème de Taylor Young, calculer des DL des fonction suivantes:
1) en 0, à l’ordre 3, tan(x)
2) en 2, à l’ordre 4,
3
ex
x
3) en 0, à l’ordre 3 x
3
1 + sin(x)
p
Exercice 4 (Savoir utiliser un DL pour calculer des limites)
Calculer:
sin(x) − sh(x)
x→0 x(cos(x) − ch(x))
1) lim
2) lim
x→0
√
ex
−1
x+1
1
x
Exercice 5 (Savoir utiliser un DL pour trouver un équivalent)
Calculer des équivalents des fonctions suivantes:
2
1 x
ex − cos(x) − x
−2
2) en +∞: g(x) = x sin( )
1) en 0: f (x) =
x − ln(1 + x)
x
3) en 0: f (x) =
1
1
−
tan(x) x
4