Colle de Mathématiques : Semaine du 26 / 09 / 2016 Les séries

Colle de Mathématiques : Semaine du 26 / 09 / 2016
Les séries.
1. Rappels.
Dénitions.
Séries exponentielles.
Séries géométriques. Séries géométriques
dérivées une et deux fois.
P
Séries télescopiques : La série (u − u ) converge si, et seulement si la suite u converge. (Preuve)
k+1
k
k>0
Théorème 1.
Soit α un réel.
La série
P 1
converge ssi α > 1
α
k>1 k
Théorème 2.
P
Si la série
uk converge, alors la suite (un ) converge vers 0.
(Preuve)
Opérations sur les séries : combinaison linéaire de séries convergentes.
2. Séries à termes positifs
I Proposition 1.
Soit
P
un
une série à termes positifs c'est-à-dire pour tout
n
dans
N, un > 0.
n>0
- La suite des sommes partielles est une suite croissante.
- La série
P
un
converge si et seulement si la suite des sommes partielles est majorée.
n>0
- Si la série diverge alors elle diverge vers
+∞.
(Preuve)
Théorèmes de comparaison des séries à termes positifs
3. Séries à termes quelconques
Absolue convergence. Lien avec la convergence
(3 énoncés : u
n
,
6 vn un ∼ vn
+∞
Espace vectoriel - Famille de vecteurs.
1. Généralités sur les Espaces Vectoriels.
Structure d'espace vectoriel.
Exemples d'espaces vectoriels : R, M (R), R , R[X], R , R .
Calculs dans un R-espace vectoriel.
Combinaison linéaire.
Sous-espaces vectoriels d'un R-espace vectoriel. Caractérisation par la stabilité des opérations.
n,p
n
N
I
(
est convergente.
Exemples à maîtriser
99K
Montrer que la série
P
n>0
1
n! + 4
ils pourront faire l'objet de la question de cours
):
et u
n
= o(vn )
+∞
).
Montrer que : ne = o n1 . Montrer que la série la a série P ne est convergente.
P
1
ln 1 +
99K Étudier la convergence des séries
et P n +8 4 .
n
P (−1)
99K Montrer que la série
est convergente.
n +n
−n
99K
−n
2
+∞
n>0
n>1
2
k>0
n
n>1
2
4


4
−1
2
99K Y =  1  X1 =  0  X2 =  1 
−10
3
−4
3
99K
F1 = (x, y, z) ∈ R /x − y + z = 0 et x + y = 0
a+b
b
(a, b) ∈ R2
99K
F2 =
a
a−b
99K
F = P ∈ R[X], P (X) − XP 0 (X) = 0R[X]


Soit
Montrer que
On note


,
. Montrer que Y est une combinaison linéaire de X et X .
. Montrer que F est un R−espace vectoriel .
avec
est un espace vectoriel sur R.
. Montrer que F est un R−espace vectoriel .
1
2
1
La colle commencera systématiquement par une question de cours dont l'exposé ne devra pas excéder 10 minutes.
Un élève qui ne connaît pas son cours n'a pas la moyenne.
Une question de cours peut être une dénition, un théorème (ou une propriété) avec ou sans sa démonstration dans le cas où celle-ci a été
étudiée, des formules à énoncer etc...
Question de cours :