Colles de mathématiques en PC*1 : mode d`emploi

Lycée Janson de Sailly
PC*1
Année 2007-08
Programme de colle n°2
Du 17 au 22 septembre 2007
Suites et séries de nombres réels ou complexes:
Suites :
Rappel des notions vues en première année (en particulier théorèmes sur les limites, de
comparaison, des suites monotones, des suites adjacentes, d’encadrement par deux suites de
même limite). Théorème de Césaro.
Exemples d’étude de suites de nombres réels ou complexes définies par une relation de
récurrence un+1 = f(un) et d’emploi d’une telle suite pour l’approximation d’un point
fixe a de f.
Séries :
Série associée à une suite (un) de nombres réels ou complexes, suite (Sp) des sommes
partielles de cette série. Définition d’une série convergente et de sa somme. Espace vectoriel
des séries convergentes. Caractérisation de la convergence d’une série de nombres
complexes à l’aide des parties réelle et imaginaire. Si la série ∑un converge, un tend vers 0 ;
la réciproque est fausse.
Théorème des séries alternées : convergence d’une série réelle alternée dont la valeur absolue
du terme général décroît et tend vers zéro et majoration du reste.
.
Séries de nombres réels positifs
Pour qu’une série ∑un de nombres positifs converge, il faut et il suffit que la suite (Sp) des
sommes partielles soit majorée. Convergence des séries géométriques de nombres
réels positifs, convergence des séries de Riemann.
Théorème de comparaison des séries de nombres réels positifs : soient (un) et (vn) des suites
de nombres réels positifs telles que un ≤vn ( ou un=O(vn) ou un=o(vn)), alors la convergence
de ∑vn _n implique la convergence de ∑un . si un équivaut à vn, les deux séries associées
sont de même nature. Comparaison d’une série de nombres réels positifs à une série
géométrique (règle de d’Alembert), à une série de Riemann.
Comparaison d’une série de nombres réels positifs à une intégrale : étant donnée une fonction
f continue par morceaux sur ]0,+∞[ à valeurs réelles positives et décroissante sur ]a,+∞[ , la
série de terme général wn =∫[n-1,n] f(t) dt − f(n) est convergente. En particulier la série ∑f(n)
converge si et seulement si la suite de terme général ∫[a+1,n]f(t) dt converge.
►Séries absolument convergentes
Toute série absolument convergente est convergente. En outre, |∑un |≤∑|un |
Série géométrique : la série ∑zn où z appartient à C, est absolument convergente si, et
seulement si, |z| < 1 ; sa somme est alors égale à 1/1-z.
Série exponentielle : pour tout nombre complexe z, la série ∑zn /n ! est absolument
convergente : sa somme définit l’exponentielle complexe. Coïncidence avec x-> ex sur R.
Définition du produit de Cauchy. Le produit de Cauchy de deux séries absolument
convergentes est absolument convergente et la somme du produit des séries ∑un et ∑vn est
le produit des sommes de ces deux séries. Application à exp(z+z’)=exp(z)exp(z’)
La colle commencera par une question de cours.
Lycée Janson de Sailly
PC*1
Année 2007-08
IL ne sera pas posé d’exercice à un élève ne répondant pas de
façon satisfaisante au cours. L’interrogation s’arrêtera avec une
note en conséquence (<5).
Prévision pour le programme suivant :
Programme précédent depuis ► et début de l’algèbre linéaire.