Partitions d`un entier en parts fixées
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Partitions d’un entier en parts fixées Références : Francinou, Gianella, Nicolas, Oraux X-ENS - Analyse 2, p199 Théorème. Soient a1 , ..., ak des entiers naturels non nuls premiers entre eux. On note un le nombre de k-uplets ÿ 1 nk´1 pxi qiPr1,ks tels que ai xi “ n. Alors un „ . nÑ8 a1 ...ak pk ´ 1q! Démonstration. ‚ On commence par étudier les séries ÿ z ai xi . Elles sont définies de rayon de convergence 1 xi PN (par le lemme d’Abel). ¨ On peut faire le produit de Cauchy de ces séries pour obtenir la série 8 ˚ ÿ ˚ ˚ ˝ n“0 ˛ ÿ k řpxi qPN ai xi “n ‹ ‹ 1‹ z n de rayon de conver‚ gence supérieur ou égal à 1. 1 On remarque que le terme général de ¸ cette série est un . ˜ 8 k k ÿ ź ÿ ź 1 On pose donc la série génératrice f pzq :“ un z n “ z ai xi “ . 1 ´ z ai n“0 i“1 x PN i“1 i ‚ Étudions les pôles de f . Les pôles sont les racines ai -èmes de l’unité. Le pôle 1 est évidemment de multiplicité k. Montrons que les autres pôles sont de multiplicité strictement inférieure à k. ÿ Par le théorème de Bézout, il existe u1 , ..., uk tels que ui ai “ 1. 2 k ź ř Si ω est une racine de l’unité de multiplicité k, alors ω ai “ 1 donc ω “ ω ui ai “ pω ai qui “ 1. i“1 ‚ Décomposons en éléments simples f : On note P “ tω1 , ..., ωp u les pôles de f avec ω1 “ 1. α Alors il existe α P C˚ et ci,j P C tels que f pzq “ ` p1 ´ zqk ÿ iPr1,ps jPr1,k´1s ci,j . pωi ´ zqj 1 est développable en série entière pour |z| ă 1. pω ´ zqj 8 ÿ 1 1 1 zn “ On a déjà pour |z| ă 1, “ . ω´z ω 1 ´ ωz ω n`1 n“0 8 ÿ z n´j`1 pj ´ 1q! n! Donc en dérivant : “ . j pω ´ zq pn ´ j ` 1q! ω n`1 n“j´1 ˙ 8 ˆ ÿ 1 n ` j ´ 1 zn “ . Donc pω ´ zqj ω n`j n n“0 ‚ Pour ω P P , ‚ Conclusion : On déduit en identifiant les coefficients que un “ α ˆ ˙ n`k´1 ` n ci,j ÿ iPr1,ps jPr1,k´1s ωin`j ˆ ˙ n`j´1 . n ˙ ˆ ˙ n`j´1 1 nj´1 n`k´1 nk´1 “ pn ` j ´ 1q...pn ` 1q „ , donc un “ α ` opnk´1 q „ α . n pj ´ 1q! pj ´ 1q! n pk ´ 1q! Puis on a lim p1 ´ zqk f pzq “ α. ˆ Or zÑ1 ză1 1. Le rayon de convergence du produit de Cauchy est supérieur ou égal au minimum des rayons de convergence des séries entières étudiées. ÿ 2. ai Z est un idéal de Z qui est principal, donc il est engendré par un élément m. Or m divise ai pour tout i et ils sont premiers entre eux donc m “ 1. Adrien LAURENT 1 ENS Rennes - Université de Rennes 1 k k ź ź 1 1 1´z “ , donc α “ . a a ´1 i i 1´z 1 ` z ` ... ` z a1 ...ak i“1 i“1 1 nk´1 On en déduit un „ . a1 ...ak pk ´ 1q! Et p1 ´ zqk f pzq “ Remarques : ‚ On adapte la preuve avec des séries formelles et des fractions rationnelles selon la leçon. J’ai préféré l’écrire avec les séries entières pour bien faire apparaître où intervient l’étude des convergences. ‚ En faisant cette preuve, on a aussi trouvé une méthode de calcul de un ! Il suffit de trouver la décomposition en éléments simples de f , puis un avec la formule ˆ d’en déduire ˙ ˆ ˙ explicite ÿ n`k´1 ci,j n ` j ´ 1 . un “ α ` n n ωin`j iPr1,ps jPr1,k´1s Par exemple, si on veut décomposer 100 euros en pièces de 1 ou 2 euros, on écrit la décomposition en éléments 1 n ` 1 1 ` p´1qn simples de et on trouve un “ ` . En particulier, u100 “ 51. C’est logique, on 2 p1 ´ xqp1 ´ x q 2 4 peut choisir entre 0 et 50 pièces de 2 euros, et on compense comme on veut avec les pièces de un euro. Adrien LAURENT 2 ENS Rennes - Université de Rennes 1
