series

SERIES
Séries numériques (ΣUn)
n-ième somme partielle
Soit (an )n une suite de réels ou de complexes
 a  est ‘sa’ série
Sn 
n
a
Reste partiel d’ordre n (si série converge)
Somme de la série (=limite)
n
S  lim Sn 
k
n  
k 0

a

Rn  S  S n 
n
a
k
k  n 1
n 0
Méthode d’étude de (ΣUn)
Je cherche un équivalent le plus simple possible : U n ~ Vn


Si U n ↛ 0 alors U n GrDV
Si Un  0
Si U n ~ Vn  0
► Elle est connue
Si q  1 alors
(
q
n
(
) CV
 n ) DV
1
(1) n 1
(
) CV
n
S  ln 2

1
~ ln n
k 1 k

1
qn 
1

q
k 1
(

n

Si Un ~ Vn de signe non constant
n
1
S
 f (t ).dt  (U
► On étudie ( Vn ) (puis cf. à gauche)
(1) n 1
) CV
n2
► Critère Spécial
des Séries
Alternées
(CSSA) sur
( U n )
2
12
 n ) CV    1
1
(
Si ( U n ) suite décroissante
Alors (
U
n)
CV
et Rn  U n 1
► On écrit un développement généralisé de U n en
k
n)

 f (t ).dt
commençant par le factoriser par Vn
k 1
k
► Si il y a des factorielles : Règle de
d’Alembert :

S
6
Vn
k 1
► Comparaison avec une intégrale :
(
2
 1/ n )
► Je compare à une série de Riemann : ln(
) CV
2
Si   1 alors ( U n )
U
Si   lim n 1
Un
ACV
Si   1 on ne sait pas
Si   1 alors ( U n )
GrDV
Séries entières (Σan.zn)
Rayon de convergence


Rayon de convergence (réel ou infini) : R  sup r  0, la suite (an .r n ) est bornée
Sur ℝ, l’intervalle ouvert de convergence est : ]-R;R[
GrDV
Absolue convergence pour z  R
Grossière divergence pour z  R
ACV
Pour z  R on n’en sait fichtre rien a priori
Sur ℝ, S ( x) 

 a .x
n
n
est défini sur –R;R ouvert et/ou fermé à gauche et/ou à droite
n 0
Calcul de R
S’il existe z0 pour lequel la série CV R  z0
 a .z  et  a
n
n
n
S’il existe z0 pour lequel la série DV R  z0

.z n ont le même rayon de convergence
Si n, an  bn alors Ra  Rb
Règle de d’Alembert : On suppose que n, an  0 et que   lim
n  
Séries à trous : Si
 a .z  ,  P(n).a .z  et   Pa(n) .z

Si an ~ bn alors Ra  Rb
 a .z  a pour rayon R, alors  a .z
n
n
n  
n
n
n
n
a n 1
an
ALORS : le rayon de
 a pour rayon

n
n
n

 ont même rayon (P polynôme)


 a .z  vaut R  1
n
n
R
Propriétés de la somme
 a .z  a pour somme : S ( z)   a .z

La série entière
n
n
n
n
qui est continue là où elle converge (donc a priori sur ]-R;R[
n0
Pour les séries entières seulement :
d
a
dx
n
.x n 
 dx  a
d
n
.x n

Pour les séries entières seulement :
  a
n
   a .x .dx
.x n dx 
n
n
Séries de Fourier
Pour f une fonction T-périodique, continue par morceaux, de pulsation   2 T
La somme partielle de Fourier de f de degré n est le polynôme trigonométrique : Sn ( f )(x)  a0 ( f ) 
n
 (a ( f ).coskx  b ( f ).sin kx)
k
k
k 0
a0 ( f ) 
1
T
T
 f (t )dt
an ( f ) 
0
2
T
T
 f (t ) cosnt dt
bn ( f ) 
0
 a ²( f ) et  b ²( f ) convergent
1
f ²
T
T

0



n 1
(an ²( f )  bn ²( f ))
 f (t ) sin nt dt
0

f ( x )  f ( x )
 a0 ( f )  (ak ( f ).coskx  bk ( f ).sin kx)
2
k 0
n
1
f (t )²dt  a0 ²( f ) 
2
T
Théorème de Dirichlet : pour f CM T et C1M T
Théorème de Parseval : pour f CM T
n
2
T
Si f continue :

f ( x)  a0 ( f ) 

 (a ( f ).coskx  b ( f ).sin kx)
k
k
k 0
 a ( f ) et  b ( f ) convergent
n
n
Intégrable
terme à terme