series

SERIES
Séries numériques (ΣUn)
Soit
nn
a)(
une suite de réels ou de complexes
n
a
est ‘sa’ série
n-ième somme partielle
Somme de la série (=limite)
Reste partiel d’ordre n (si série converge)
n
kkn aS 0
0
lim
nnn
naSS
1nk knn aSSR
Méthode d’étude de (ΣUn)
Je cherche un équivalent le plus simple possible :
nn VU ~
Si
n
U
↛
GrDV alors 0 n U
Si
0
n
U
Si
0~ 
nn VU
Si
nn VU ~
de signe non constant
► Elle est connue
► On étudie
)(n V
(puis cf. à gauche)
► Critère Spécial
des Séries
Alternées
(CSSA) sur
)(n U
1
n
et
CV )( Alors
tedécroissan suite )U( Si
nn
n
UR
U
► On écrit un développement généralisé de
n
U
en
commençant par le factoriser par
n
V
q
q
q
q
k
n
n
11
CV )(
alors 1 Si
1
n
k
n
n
k
ln~
1
DV )
1
(
1
2ln
CV )
)1(
(1
Sn
n
6
CV )
1
(
2
2
S
n
12
CV )
)1(
(
2
2
1
S
n
n
► Je compare à une série de Riemann :
)
/1
ln(
n
Vn
1 CV )
1
(
n
► Comparaison avec une intégrale :
k
k
n
k
k
dttfUdttf
1
1).()().(
► Si il y a des factorielles : Règle de
d’Alembert :
Si
n
n
U
U1
lim 
Si
1
alors
)(n U
ACV
Si
1
on ne sait pas
Si
1
alors
)(n U
GrDV
Séries entières (Σan.zn)
Rayon de convergence
Rayon de convergence (réel ou infini) :
bornéeest ).( suite la ,0sup n
nrarR 
Sur ℝ, l’intervalle ouvert de convergence est : ]-R;R[
Absolue convergence pour
Rz 
Grossière divergence pour
Rz 
Pour
Rz 
on n’en sait fichtre rien a priori
Sur ℝ,
0
.)(
n
n
nxaxS
est défini sur –R;R ouvert et/ou fermé à gauche et/ou à droite
Calcul de R
S’il existe z0 pour lequel la série CV
0
zR 
S’il existe z0 pour lequel la série DV
0
zR 
n
nza .
et
n
nza .
ont le même rayon de convergence
bann RRban  alors , Si
ba RRa  alors b~ Si nn
n
nza .
,
n
nzanP .).(
et
n
nz
nP
a.
)(
ont même rayon (P polynôme)
Règle de d’Alembert : On suppose que
0,  n an
et que
n
n
na
a1
lim 
ALORS : le rayon de
n
nza .
vaut
1
R
Séries à trous : Si
n
nza .
a pour rayon R, alors
n
nza .
a pour rayon
R
Propriétés de la somme
La série entière
n
nza .
a pour somme :
0
.)(
n
n
nzazS
qui est continue là où elle converge (donc a priori sur ]-R;R[
Pour les séries entières seulement :
  n
n
n
nxa
dx
d
xa
dx
d..
Pour les séries entières seulement :
 dxdx ..xa.xan
n
n
n
Séries de Fourier
Pour
f
une fonction T-périodique, continue par morceaux, de pulsation
T 2
La somme partielle de Fourier de
f
de degré n est le polynôme trigonométrique :
 n
kkkn xkfbxkfafaxfS 0
0)sin).(cos).(()())((
Tdttf
T
fa
0
0)(
1
)(
T
ndttntf
T
fa
0
cos)(
2
)(
T
ndttntf
T
fb
0
sin)(
2
)(
Théorème de Parseval : pour
f
T
CM
Théorème de Dirichlet : pour
f
T
CM
et
T
MC1
)²( fan
et
)²( fbn
convergent
0
0)sin).(cos).(()(
2)()(
kkk xkfbxkfafa
xfxf
T
nnn fbfafadttf
T
f
01
0))²()²((
2
1
)²()²(
1
²
Si f continue :
0
0)sin).(cos).(()()(
kkk xkfbxkfafaxf
Intégrable
terme à terme
)( fan
et
)( fbn
convergent
GrDV
ACV