DM 13 - Classe de PC du lycée Camille Vernet (Valence

Mathématiques - Lycée Camille Vernet A rendre le 20-01-2017 PC
DM 13
Traiter l’exercice 4 (type E3A) du DS 4 si celui-ci a été traité avec difficultés, ou ce problème ci-dessous (type
Centrale-Mines).
Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton-Watson qui permet entre autres de modéliser le
développement dune population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou en physique nucléaire.
Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé (Ω,A,P).
Si Xest une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera GX, série entière de rayon de conver-
gence au moins 1, la fonction génératrice de X. On rappelle que la fonction génératrice de Xest la somme de
la série entière :
∀t∈[−1,1], GX(t)=
∞
X
n=0
P(X=n)tn
La fonction génératrice dune variable aléatoire caractérise sa loi. Plus précisément, si Xest une variable aléa-
toire à valeurs dans Net si (an) est une suite de réels positifs tels que, pour tout t∈[0, 1[, GX(t)=
∞
X
n=0
antn,
alors, pour tout n∈N,an=P(X=n).
1 Formule de Wald
Soient (Xn)n∈N∗une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, de même loi à valeurs
dans N, et Tune variable aléatoire à valeurs dans Nindépendante des précédentes. (T,Xn)n∈N∗est une famille
de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
On note GXla fonction génératrice commune à toutes les Xn.
Pour n∈Net ω∈Ω, on pose Sn(ω)=
n
X
k=1
Xk(ω) et S0(ω)=0, puis S(ω)=ST(ω)(ω).
AOn souhaite démontrer l’égalité GS=GT◦GX.
1. Montrer que, si Xet Ysont deux variables aléatoires à valeurs dans Nindépendantes, alors GX+Y=
GXGY.
2. En admettant que, pour tout k∈N,Skest indépendante de Xk+1, prouver que, pour tout k∈N,
GSk=(GX)k.
3. En admettant que, pour tout n∈N,Tet Snsont indépendantes, montrer que
∀t∈[−1,1], ∀K∈N,GS(t)=
K
X
k=0
GX(t)kP(T=k)+
∞
X
n=0̰
X
k=K+1
P(Sk=n)P(T=k)tn!
4. Pour K∈Net t∈[0,1[, on pose RK=
∞
X
n=0̰
X
k=K+1
P(Sk=n)P(T=k)tn!. Montrer que
0≤RK≤1
1−t
∞
X
k=K+1
P(T=k)
5. Conclure.
BEn déduire que, si Tet les Xnsont d’espérance finie, alors Saussi et E(S)=E(T)E(X1).
CLors dune ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d’oeufs suivant la loi de Poisson de paramètre
λ>0. Ensuite, la probabilité qu’un oeuf donné devienne un nouvel insecte est α∈]0,1[.
1. Rappeler la fonction génératrice dune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ.
2. En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d’insectes issus de
la ponte.
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2 Processus de Galton-Watson
Soit µune loi de probabilité caractérisée par la suite (pk)k∈Nde nombre réels entre 0 et 1 telle que
∞
X
k=0
pk=
1. Dire qu’une variable aléatoire Xsur (Ω,A,P) suit la loi µsignifie que X(Ω)⊂Net, pour tout k∈NP(X=
k)=pk.
On suppose que p0+p1<1 (ce qui signifie qu’il existe au moins un entier ksupérieur ou égal à 2 tel que
pk6= 0).
On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les
uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des
variables aléatoires (Xn,i)(n,i)∈N×N∗, indépendantes qui suivent toutes la loi µ, on pose Y0la variable certaine
égale à 1 et, pour n∈Net ω∈Ω,
Yn+1(ω)=
0 si Yn(ω)=0
Yn(ω)
X
i=1
Xn,i(ω) si Yn(ω)6= 0
Ynreprésente le nombre d’individus à la génération n.
Sil n’y a pas d’individu à la génération n, il ny en a pas plus à la génération suivante et sinon, le nombre de fils
du i-ème élément de la génération nest égal à Xn,i.
On dit qu’il y a extinction lorsqu’il existe un entier ntel que Yn=0.
On note fla fonction génératrice de la loi µ(et donc de chacune des variables Xn,i) et, pour n∈N,ϕnla
fonction génératrice de la variable aléatoire Yn.
On a donc en particulier, pour t∈[0,1], ϕ0(t)=t.
On suppose que toute variable aléatoire suivant la loi µpossède une espérance égale à met une variance.
A Probabilité d’extinction
1. Montrer que pour tout n∈N,ϕn+1=ϕn◦f.
2. Exprimer, pour n∈N, l’espérance de Ynen fonction de met de n.
3.
a) Vérifier que la probabilité d’extinction est égale a la limite de la suite (ϕn(0))n≥0.
BFIN DU DM
b) Vérifier qu’on peut appliquer les résultats de la partie 1à la suite (ϕn(0))n≥0.Pas traitable la partie
1. du sujet ayant été supprimé
4. Si m≤1, montrer que la probabilité d’extinction est égale à 1.
On définit alors le temps Td’extinction par
∀ω∈Ω,T(ω)=½min{n∈N/Yn(ω)=0} s’il existe n∈Ntel que Yn(ω)=0
−1 sinon
On admettra que Test une variable aléatoire.
B Cas sous-critique m<1
On suppose dans cette question que m<1.
1. Vérifier que Tadmet une espérance.
2.
a) Montrer que, pour tout entier n,P(Yn≥1) ≤mn.
b) Montrer que E(T)=P∞
k=0P(T>k).
c) En déduire une majoration de E(T).
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