DM 13 - Classe de PC du lycée Camille Vernet (Valence

Mathématiques - Lycée Camille Vernet
A rendre le 20-01-2017
PC
DM 13
Traiter l’exercice 4 (type E3A) du DS 4 si celui-ci a été traité avec difficultés, ou ce problème ci-dessous (type
Centrale-Mines).
Dans ce problème, nous étudions le processus de Galton-Watson qui permet entre autres de modéliser le
développement dune population. Ce processus est par exemple utilisé en biologie ou en physique nucléaire.
Dans tout le problème, on se place dans un espace probabilisé (Ω, A , P ).
Si X est une variable aléatoire entière et positive sur cet espace, on notera G X , série entière de rayon de convergence au moins 1, la fonction génératrice de X . On rappelle que la fonction génératrice de X est la somme de
∞
la série entière :
X
∀t ∈ [−1, 1], G X (t ) =
P (X = n)t n
n=0
La fonction génératrice dune variable aléatoire caractérise sa loi. Plus précisément, si X est une variable aléa∞
X
toire à valeurs dans N et si (a n ) est une suite de réels positifs tels que, pour tout t ∈ [0, 1[, G X (t ) =
an t n ,
n=0
alors, pour tout n ∈ N, a n = P (X = n).
1 Formule de Wald
Soient (X n )n∈N∗ une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, de même loi à valeurs
dans N, et T une variable aléatoire à valeurs dans N indépendante des précédentes. (T, X n )n∈N∗ est une famille
de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
On note G X la fonction génératrice commune à toutes les X n .
n
X
Pour n ∈ N et ω ∈ Ω, on pose S n (ω) =
X k (ω) et S 0 (ω) = 0, puis S(ω) = S T (ω) (ω).
k=1
A On souhaite démontrer l’égalité G S = G T ◦ G X .
1. Montrer que, si X et Y sont deux variables aléatoires à valeurs dans N indépendantes, alors G X +Y =
G X GY .
2. En admettant que, pour tout k ∈ N, S k est indépendante de X k+1 , prouver que, pour tout k ∈ N,
G S k = (G X )k .
3. En admettant que, pour tout n ∈ N, T et S n sont indépendantes, montrer que
Ã
!
K
∞
∞
X
X
X
∀t ∈ [−1, 1], ∀K ∈ N, G S (t ) =
G X (t )k P (T = k) +
P (S k = n)P (T = k)t n
n=0 k=K +1
k=0
4. Pour K ∈ N et t ∈ [0, 1[, on pose R K =
∞
X
Ã
∞
X
!
P (S k = n)P (T = k)t n . Montrer que
n=0 k=K +1
0 ≤ RK ≤
1
1−t
∞
X
P (T = k)
k=K +1
5. Conclure.
B En déduire que, si T et les X n sont d’espérance finie, alors S aussi et E(S) = E(T )E(X 1 ).
C Lors dune ponte, un insecte pond un nombre aléatoire d’oeufs suivant la loi de Poisson de paramètre
λ > 0. Ensuite, la probabilité qu’un oeuf donné devienne un nouvel insecte est α ∈]0, 1[.
1. Rappeler la fonction génératrice dune variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre λ.
2. En utilisant la relation de composition ci-dessus, déterminer la loi du nombre d’insectes issus de
la ponte.
1
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PC
2 Processus de Galton-Watson
Soit µ une loi de probabilité caractérisée par la suite (p k )k∈N de nombre réels entre 0 et 1 telle que
∞
X
pk =
k=0
1. Dire qu’une variable aléatoire X sur (Ω, A , P ) suit la loi µ signifie que X (Ω) ⊂ N et, pour tout k ∈ N P (X =
k) = p k .
On suppose que p 0 + p 1 < 1 (ce qui signifie qu’il existe au moins un entier k supérieur ou égal à 2 tel que
p k 6= 0).
On étudie un individu qui a un certain nombre de fils. Ces fils ont également chacun (indépendamment les
uns des autres) un certain nombre de fils et ainsi de suite. Afin de modéliser la situation, on se donne des
variables aléatoires (X n,i )(n,i )∈N×N∗ , indépendantes qui suivent toutes la loi µ, on pose Y0 la variable certaine
égale à 1 et, pour n ∈ N et ω ∈ Ω,

si Yn (ω) = 0

 0
YX
n (ω)
Yn+1 (ω) =

X n,i (ω) si Yn (ω) 6= 0

i =1
Yn représente le nombre d’individus à la génération n.
Sil n’y a pas d’individu à la génération n, il ny en a pas plus à la génération suivante et sinon, le nombre de fils
du i -ème élément de la génération n est égal à X n,i .
On dit qu’il y a extinction lorsqu’il existe un entier n tel que Yn = 0.
On note f la fonction génératrice de la loi µ (et donc de chacune des variables X n,i ) et, pour n ∈ N, ϕn la
fonction génératrice de la variable aléatoire Yn .
On a donc en particulier, pour t ∈ [0, 1], ϕ0 (t ) = t .
On suppose que toute variable aléatoire suivant la loi µ possède une espérance égale à m et une variance.
A Probabilité d’extinction
1. Montrer que pour tout n ∈ N, ϕn+1 = ϕn ◦ f .
2. Exprimer, pour n ∈ N, l’espérance de Yn en fonction de m et de n.
3.
a) Vérifier que la probabilité d’extinction est égale a la limite de la suite (ϕn (0))n≥0 .
B FIN DU DM
b) Vérifier qu’on peut appliquer les résultats de la partie 1 à la suite (ϕn (0))n≥0 . Pas traitable la partie
1. du sujet ayant été supprimé
4. Si m ≤ 1, montrer que la probabilité d’extinction est égale à 1.
On définit alors le temps T d’extinction par
∀ω ∈ Ω, T (ω) =
½
min{n ∈ N/ Yn (ω) = 0} s’il existe n ∈ N tel que Yn (ω) = 0
−1
sinon
On admettra que T est une variable aléatoire.
B Cas sous-critique m < 1
On suppose dans cette question que m < 1.
1. Vérifier que T admet une espérance.
2.
a) Montrer que, pour tout entier n, P (Yn ≥ 1) ≤ m n .
P
b) Montrer que E(T ) = ∞
P (T > k).
k=0
c) En déduire une majoration de E(T ).
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