Fonction génératrice des moments Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On pose, ∀k ∈ N, P ([ X = k ]) = p . k On lui associe la fonction suivante, dite fonction génératrice des moments de X : ( = E (t )) . +∞ ∀t ∈ [− 1,1] , GX ( t ) = ∑ pk t k X k =0 Justifier l'existence de G X . a. Déterminer la fonction génératrice de la loi de Bernoulli, d'une loi binomiale, d'une loi de Poisson. GX( k ) (0) . En déduire que deux variables aléatoires ont une même fonction k! génératrice si et seulement si elles ont même loi. c. Soit X 1 , …, X n des variables aléatoires indépendantes discrètes à valeurs dans N. Exprimer la b. Vérifier ∀k ∈ N, pk = fonction génératrice de la variable aléatoire Y = X 1 + … + X n en fonction des fonctions génératrices de X 1 , …, X n . d. Retrouver, à l'aide des fonctions génératrices, les résultats concernant la somme de deux v.a.r. indépendantes de loi binomiale (resp. de loi de Poisson). e. On peut montrer aussi que, si X est d'ordre n, GX admet une dérivée nème à gauche en 1 et G X( n ) (1) = ∑ k ≥ n k (k − 1)...(k − n + 1) pk = E ( X ( X − 1)...( X − n + 1) ) (ce nombre est appelé moment factoriel d'ordre n). Solution Si X ( Ω ) = N avec P ([ X = k ]) = pk pour k ∈ N , la fonction génératrice des moments est définie par : ∀t ∈ [ −1,1] Comme (t ) = ∑ p GX ( t ) = E X k ∈N k tk . ∑ pk = 1 , la série entière converge au moins sur l’intervalle [ −1,1] k ∈N a) X ~ B (1, p ) X ( Ω ) = {0,1} p0 = 1 − p p1 = p G X ( t ) = (1 − p ) + p t X ~ B ( n, p ) n GX ( t ) = ∑ k =0 X ~ P (λ ) X ( Ω ) = {0,1,..., n} ( ) ( pt ) n k (1 − p ) X (Ω) = N GX ( t ) = ∑ e−λ ( λt ) k ∈N b) ∀t ∈ [ −1,1] k k! k n−k pk = ( )p n k = (1 − p + pt ) pk = e − λ k (1 − p ) n−k n λk k! λ t −1 = e − λ eλ t = e ( ) ∑ pk t k est le développement en série entière de GX au voisinage de 0. k ∈N GX est indéfiniment dérivable sur ]− 1,1[ et ∀k ∈ N pk = donc définie de façon unique à partir de GX (k ) GX (0 ) . La loi de probabilité de X est k! ⎛ ∑n X i c) GY ( t ) = E ⎜ t i =1 ⎜⎜ ⎝ ⎞ n ⎟ = E ⎛ t Xi ⎜∏ ⎟⎟ ⎝ i =1 ⎠ n ⎞ n Xi E t = = ⎟ ∏ ∏ GX i ( t ) i =1 ⎠ i =1 ( ) ( car les variables ) indépendantes, les variables t X1 ,…, t X n sont indépendantes. Si de plus les v.a.r. X 1 ,…, X n sont de même loi que X, on a : GY ( t ) = ⎡⎣GX ( t ) ⎤⎦ d) X 1 ~ B ( n1 , p ) X 2 ~ B ( n2 , p ) X 1 et X 2 indépendantes Y = X1 + X 2 GY ( t ) = (1 − p + pt ) 1 (1 − p + pt ) 2 = (1 − p + pt ) 1 n d'après b) Y X 1 ~ P ( λ1 ) n n + n2 ~ B ( n1 + n2 , p ) X 2 ~ P ( λ2 ) X1 et X 2 indépendantes Y = X1 + X 2 λ t −1 λ t −1 λ + λ t −1 GY ( t ) = e 1 ( )e 2 ( ) = e( 1 2 )( ) d'après b) Y ~ P ( λ1 + λ2 ) n ( X1 ,…, X n ) étant