"une loi" -qui -university "en fonction"

Fonction génératrice des moments
Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. On pose,
[
]
(
)
,.
k
kPXkp∀∈ = =N
On lui associe la fonction suivante, dite fonction génératrice des moments de X :
[]
11,t −∈∀ ,
()
()
()
0
kX
Xk
k
Gt pt Et
+∞
=
==
∑.
Justifier l'existence de
X
G.
a. Déterminer la fonction génératrice de la loi de Bernoulli, d'une loi binomiale, d'une loi de Poisson.
b. Vérifier ()
(0)
,.
!
k
X
kG
kp k ∀∈ =N En déduire que deux variables aléatoires ont une même fonction
génératrice si et seulement si elles ont même loi.
c. Soit n
XX ,,
1… des variables aléatoires indépendantes discrètes à valeurs dans N. Exprimer la
fonction génératrice de la variable aléatoire 1n
YX X…=++ en fonction des fonctions
génératrices de 1,,
n
X
X….
d. Retrouver, à l'aide des fonctions génératrices, les résultats concernant la somme de deux v.a.r.
indépendantes de loi binomiale (resp. de loi de Poisson).
e. On peut montrer aussi que, si X est d'ordre n, GX admet une dérivée nème à gauche en 1 et
(
)
()
(1) ( 1)...( 1) ( 1)...( 1)
n
Xk
kn
GkkknpEXXXn
≥
=−−+=−−+
∑
(ce nombre est appelé moment factoriel d'ordre n).
Solution
Si
(
)
[
]
(
)
avec pour Ω= = = ∈
k
XPXkpkNN , la fonction génératrice des moments est définie
par :
[]
()
(
)
1,1
∈
∀∈− = =∑
Xk
Xk
k
tGtEtpt
N
.
Comme 1
∈
=
∑k
kp
N
, la série entière converge au moins sur l’intervalle
[
]
1,1−
a)
(
)
(
)
{
}
01
1, 0,1 1~Ω= =− =
X
pX p p ppB
(
)
(
)
1=− +
X
Gt p pt
() (){ }
(
)
()
, 0,1,..., 1~
−
Ω= = − nk
nk
kk
XnpX np ppB
()
()
()( ) ( )
011
−
=
=−=−+
∑
nknk n
n
Xk
k
G t pt p p pt
() ( )
!
~
λ
λ
λ
−
Ω= = k
k
XX pe
k
NP
() ()
()
1
!
λ
λλλ
λ
−
−−
∈
===
∑kt
t
Xk
t
Gt e ee e
k
N
b)
[]
1,1
∈
∀∈− ∑k
k
k
tpt
N
est le développement en série entière de X
G au voisinage de 0.
X
G est indéfiniment dérivable sur ]
[
11,
−
et
∀
∈kN
(
)
()
!0 k
G
pk
X
k=. La loi de probabilité de X est
donc définie de façon unique à partir de X
G

c)
()
()
()
1
11 1
=
== =
⎛⎞
∑⎛⎞
⎜⎟
== = =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
∏∏ ∏
n
i
iii
i
Xnn n
XX
YX
ii i
Gt Et E t Et G t car les variables
(
)
1,,…n
X
Xétant
indépendantes, les variables
(
)
1,,n
X
X
tt… sont indépendantes.
Si de plus les v.a.r. 1,,…n
X
X sont de même loi que X, on a :
() ()
⎡
⎤
=
⎣
⎦n
YX
Gt Gt
d)
(
)
(
)
11 2 2
,,~~
X
np X npBB 12 etXX indépendantes 12
=
+YX X
()()()()
12 12
11 1
+
=−+ −+ =−+
nn nn
Y
Gt ppt ppt ppt
d'après b)
()
12
,~+YnnpB
(
)
(
)
112 2
~~
λ
λ XXPP 12 et
X
X indépendantes 12
=
+YX X
()
(
)
(
)
(
)
(
)
12 12
11 1 λλ λλ −− +−
==
tt t
Y
Gt e e e
d'après b)
(
)
12
~
λ
λ +YP