Nombres premiers

TS JAURES 2012 O de MUIZON
3. PRIME NUMBERS
1. Nombres premiers (dans IN)
D1. Un naturel n est premier s'il n'admet que 2 diviseurs distincts (1 et n).
Sinon il est composé et admet au moins un diviseur strict d. (1 < d < n)
T1. Tout entier non premier admet au moins un diviseur premier.
(le plus petit de ses diviseurs stricts, d0).
T2. Tout entier non premier n admet au moins un diviseur premier p
tel que p  n (sinon n = d0q > n car q > d0 > n).
T3. Soit p premier et n IN, si p ne divise pas n alors p n = 1.
T4. Soit p premier ; si p | ab alors p | a ou p | b.
T5. Soit p, a, b premiers ; si p | ab alors p = a ou p = b.
T6. Il existe une infinité de nombres premiers.
T7. Tout entier non premier n se décompose de manière unique en un
produit de nombres premiers. n = p1 1 p2 2 … pk k =  pi i
T8. Si n = p1 1 p2 2 … pk k est la décomposition de n en facteurs premiers
alors les diviseurs de n sont les nombres : p1 1 p2 2 … pk k
avec i, 1  i  k, 0  i  i
Homework
1. ExReso A : 1 à 4 + 24-30-33-37-38-39-42-51
2. ExReso B : 8-9 + 52-55-59-62-66-70-71
3. ExReso C : 11-13-16-79-82-83-84-85-90
2. Code Riverst – Shamir - Adleman
Soit m = pq, p, q premiers ; n = (p – 1)(q – 1)
Soit e, 2 < e < m et e m = 1 :
! d, 2 < d < m : b ae [n]  a bd [n]
On code a (0  a  n)  b (0  b  n) par b ae [n]
On décode b (0  b  n)  a (0  a  n) par a bd [n]
n et e sont publiques, tout le monde peut donc écrire un message codé.
pour le décoder il faut d (donc m) : connus du seul destinataire.
Preuve :
Bezout : e m = 1  !d, v, 2 < d < m et ed + mv = 1
donc ed 1 [m] soit ed – 1 = km = k(p – 1)(q – 1), k > 0 .
Fermat : 
 p non| a  ap-1 1 [p]
q non| a  aq-1 1 [q]  
 a(p-1)(q-1) 1 [p]
a(p-1)(q-1) 1 [q]
donc a(p-1)(q-1) 1 [pq]  ak(p-1)(q-1) 1 [pq]
d'où aed – 1 1 [pq]  aed a [pq]