Le BABA des fonctions

LE B.A. BA DES ETUDES DE FONCTIONS
I. Définition :
On définit souvent une fonction f par son expression f ( x) . On écrit alors :
« Soit f la fonction définie par f ( x) = ln( x) », ou :« Soit f la fonction qui à x associe
ln x », ou
encore :« Soit f : x ֏ ln x ».
On ne doit pas confondre :
La fonction f, et les qualités qu’elle possède (croissante, monotone, dérivable, continue, périodique,….), et :
L’expression f ( x) , qui est un réel, complexe, etc… dépendant d’une variable x .
On peut écrire : « La fonction x ֏ x 2 est paire », mais pas « la fonction x 2 est paire » , puisque x 2 ne désigne pas
une fonction.
Opérations sur les fonctions :
Lorsqu’on étudie une fonction, celle-ci est souvent définie à partir de fonctions plus simples et d’opérations sur les
fonctions (voir programme de 1ère S).
Somme de deux fonctions : la fonction f + g : x ֏ f ( x) + g ( x) .
Le produit de deux fonctions : la fonction fg : x ֏ f ( x) × g ( x)
Le produit d’une fonction par une constante : la fonction λ f : x ֏ λ × f ( x)
f
f ( x)
:x֏
g
g ( x)
La composée de deux fonctions : la fonction g f : x ֏ g [ f ( x)] .
Le quotient de deux fonctions : la fonction
II. Ensemble de définition d’une fonction :
L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles f ( x) existe.
x est [ 0; +∞[ , celui de v : x ֏ ln x est ]0; +∞[ .
L’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est ℝ , celui d’une fonction rationnelle est l’ensemble des
Ainsi, l’ensemble de définition de u : x ֏
valeurs qui n’annulent pas son dénominateur.
L’ensemble de définition d’une somme ou d’un produit de fonctions fg est l’intersection des ensembles de
définition de f et de g .
Exemple :
Soit f : x ֏
x +1 +
x +1 ≥ 0
1
. x ∈ Df ⇔ 
, et donc : D f = ℝ* ∩ [ −1; +∞[ = [ −1; 0[ ∪ ]0; +∞[
x
x ≠ 0
L’ensemble de définition d’une composée de deux fonctions s’obtient de la manière suivante :
L’expression v [u ( x)] est calculable si et seulement si x appartient à l’ensemble de définition de u et si u ( x)
appartient à l’ensemble de définition de v .
 x ∈ Du
.
u ( x) ∈ Dv
On écrit : x ∈ Dvu ⇔ 
x > 0
⇔ x ≥ 1.
ln x ≥ 0
Exemple : Soit f la fonction définie par f ( x) = ln( x) . x ∈ D f ⇔ 
III. Courbe représentative d’une fonction :
Lorsque f est une fonction numérique d’une variable réelle x , on lui associe sa courbe représentative C f , qui est
l’ensemble des points M ( x, y ) du plan tels que y = f ( x) . Cette équation est une équation cartésienne de la
courbe C f .
On peut parfois, réciproquement, associer une équation cartésienne à certaines courbes.
Par exemple le demi cercle de centre O (0, 0) et de rayon 4, situé au dessus de l’axe des abscisses, a pour équation :
y = 4 − x2 .
IV. Continuité, dérivabilité d’une fonction :
Ces deux notions seront étudiées dans la partie « Analyse » du programme. Elles ont toutefois été définies en 1ère S
et en TS. Ce sont des notions locales , car on dit « f est continue en un point », ou « f est dérivable en un point ».
Lorsqu’une fonction f est continue , ou dérivable, en tout point d’un intervalle I , on dit que f est continue sur I , ou
dérivable sur I.
On appelle ensemble de continuité d’une fonction l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles f est continue en a .
On appelle ensemble de dérivabilité d’une fonction l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles f est dérivable en a .
Définitions :
a ∈ D f
1. f est continue en a ⇔ 
f ( x) = f (a)
lim
x→a
a ∈ D f

2. f est dérivable en a ⇔ 
f ( x) − f (a)
existe et est finie.
lim
x−a
 x→a
Les implications à retenir !!!!
1. Pour qu’une fonction soit continue en a, il est nécessaire qu’elle soit définie en a .
2. Pour qu’une fonction soit dérivable en a , il est nécessaire qu’elle soit définie en a .
3. Pour qu’une fonction soit dérivable en a , il est nécessaire qu’elle soit continue en a .
On résume, schématiquement, par : f est dérivable en a ⇒ f est continue en a ⇒ f est définie en a .
Les implications réciproques sont fausses !!!
La fonction partie entière x ֏ E ( x) est définie en 1 , mais pas continue en 1.
Graphiquement , sa courbe possède une « cassure » au point d’abscisse 1.
La fonction x ֏ x est continue en 0, mais pas dérivable en 0.
Graphiquement, sa courbe possède un point « anguleux » d’abscisse 0.
Rédaction :
On peut écrire, à juste titre :
« f est continue en a , car elle est dérivable en a », ou « f est dérivable en a , donc continue en a », car ces deux
phrases sont des écritures de l’implication 3.
Par contre, il est formellement interdit, sous peine d’amende, d’écrire :
« f est continue en a , donc elle est dérivable en a », ou « f est dérivable en a , car continue en a », car ces deux
phrases sont des écritures de la réciproque de l’implication 3 , qui est fausse !!
Exercice : tester la validité des phrases obtenues en permutant « continue, dérivable, définie »…
Règles de dérivation :
Nous y reviendrons en détail dans le chapitre « Dérivation ».Néanmoins, il faut retenir que :
1. Lorsque f et g sont dérivables en a , alors f + g et fg aussi, et on a :
( f + g ) '(a ) = f '(a ) + g '(a ) et ( fg ) '(a ) = f '(a ) g (a ) + f (a ) g '(a ) .
2. Lorsque f et g sont dérivables en a , et que de plus g (a ) ≠ 0 , alors
f
aussi, et :
g
'
f '(a ) g (a ) − f (a ) g '(a )
f
.
 g  (a ) =
 
[ g (a)]2
3. Lorsque f est dérivable en a et g est dérivable en f (a ) , g f est dérivable en a et :
( g f ) '(a ) = g ' [ f (a )] × f '(a ) .
4. Lorsque f est bijective, si f est dérivable en f −1 (a ) et si f '( f −1 (a )) ≠ 0 , alors f −1 est dérivable en a , et :
1
( f −1 ) '(a ) =
.
f '  f −1 ( a ) 
On écrit alors les égalités fonctionnelles :
f
f ' g − fg '
( f + g ) ' = f '+ g ' ; ( ) ' =
; ( g f ) ' = ( g ' f ) × f ' ,....
g
g2
Exemple : soit f : x ֏ ( x + 1) 1 − x 2 .
Le fait que x ֏
x soit dérivable sur ]0; +∞[ permet d’affirmer que f st dérivable si 1 − x 2 > 0 , c'est-à-dire sur
l’intervalle ]−1;1[ (règle de dérivation 3. sur les composées de fonctions).
On a alors : ∀x ∈ ]−1;1[ , f '( x) = 1 − x 2 + ( x + 1) ×
−x
1 − x2
=
1 − x − 2x2
1 − x2
.
Mais à priori on ne peut rien conclure sur la dérivabilité , ou non dérivabilité, de f en 1 ou en −1 ; il faut alors
entreprendre un calcul spécifique pour ces deux valeurs, en revenant par exemple à l définition de la dérivabilité en
un point. Faites ce calcul…..On trouve que f est dérivable en -1,mais pas en 1.
V. Propriétés algébriques / Propriétés graphiques :
Nous parlons ici de propriétés globales d’une fonction, comme la parité, la périodicité, la monotonie sur un
intervalle, etc…. et des conséquences graphiques.
Parité, périodicité :
1. Une fonction f , définie sur un ensemble D symétrique par rapport à zéro, est paire lorsque :
∀x ∈ D, f (− x) = f ( x) , et impaire lorsque : ∀x ∈ D, f (− x) = − f ( x) .
2. Une fonction f , définie sur D est dite T − périodique, lorsque : ∀x ∈ D, f ( x + T ) = f ( x) .
La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à (Oy ) .
La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à O .
La courbe représentative d’une fonction T − périodique est invariante par la translation de vecteur 2π i .
Monotonie :
Une fonction f , définie sur un ensemble D , est :
1. croissante sur D lorsque : ∀( a, b) ∈ D 2 , a < b ⇒ f ( a ) ≤ f (b)
2. décroissante sur D lorsque : ∀( a, b) ∈ D 2 , a < b ⇒ f ( a ) ≥ f (b)
3. constante sur D lorsque : ∀( a, b) ∈ D 2 , f ( a ) = f (b) .
4. strictement croissante sur D lorsque : ∀( a, b) ∈ D 2 , a < b ⇒ f ( a ) < f (b)
5. strictement décroissante sur D lorsque : ∀( a, b) ∈ D 2 , a < b ⇒ f ( a ) > f (b)
Une fonction est monotone (respectivement strictement monotone) sur D lorsqu’elle est croissante (resp.
strictement croissante) sur D , ou décroissante (resp. strictement décroissante) sur D .
Monotonie et dérivabilité :
Les propriétés suivantes sont valides sur des intervalles uniquement !!!
Soit I un intervalle , et f une fonction dérivable sur I .
1. Si f ' ≥ 0 sur I , alors f est croissante sur I . Si f ' ≤ 0 sur I , alors f est décroissante sur I .
2. Si f ' > 0 sur I , sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs, alors f est strictement croissante sur I .
Si f ' < 0 sur I , sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs, alors f est strictement décroissante sur I .
3. Si f ' = 0 sur I , alors f est constante sur I .
Branches infinies et asymptotes :
Une courbe possède une branche infinie lorsque la longueur OM peut prendre des valeurs arbitrairement grandes.
Cela arrive donc lorsque x tend vers +∞ ou vers −∞ , ou encore lorsque f ( x) devient arbitrairement grand au
voisinage d’un réel a .
1. Lorsque lim f ( x) = +∞, ou − ∞ , la courbe C f possède une asymptote d’équation : x = a .
x →a
2. Lorsque lim [ f ( x) − (ax + b) ] = 0 , la courbe C f possède une asymptote d’équation : y = ax + b au voisinage
de +∞
x →+∞
f ( x)
= a (réel), et lorsque lim ( f ( x) − ax) = b (réel), alors la courbe C f possède au
x →+∞
x →+∞
x
voisinage de +∞ l’asymptote d’équation : y = ax + b .
Propriété : lorsque lim