Le BABA des fonctions

LE B.A. BA DES ETUDES DE FONCTIONS
I. Définition :
On définit souvent une fonction f par son expression
( )
f x
. On écrit alors :
« Soit f la fonction définie par
( ) ln( )
f x x
= », ou :« Soit
f
la fonction qui à
x
associe
ln
x
», ou
encore :« Soit
: ln
f x x
֏
».
On ne doit pas confondre :
La fonction f, et les qualités qu’elle possède (croissante, monotone, dérivable, continue, périodique,….), et :
L’expression
( )
f x
, qui est un réel, complexe, etc… dépendant d’une variable
x
.
On peut écrire : « La fonction
2
x x
֏
est paire », mais pas « la fonction
2
x
est paire » , puisque
2
x
ne désigne pas
une fonction.
Opérations sur les fonctions :
Lorsqu’on étudie une fonction, celle-ci est souvent définie à partir de fonctions plus simples et d’opérations sur les
fonctions (voir programme de 1
ère
S).
Somme de deux fonctions : la fonction
: ( ) ( )
f g x f x g x
+ +
֏
.
Le produit de deux fonctions : la fonction
: ( ) ( )
fg x f x g x
×
֏
Le produit d’une fonction par une constante : la fonction
: ( )
f x f x
λ λ
×
֏
Le quotient de deux fonctions : la fonction
( )
:
( )
f f x
x
g g x
֏
La composée de deux fonctions : la fonction
[
]
: ( )
g f x g f x
 ֏
.
II. Ensemble de définition d’une fonction :
L’ensemble de définition d’une fonction f est l’ensemble des valeurs de
x
pour lesquelles
( )
f x
existe.
Ainsi, l’ensemble de définition de :
u x x
֏
est
[
[
0;
+∞
, celui de
: ln
v x x
֏
est
]
[
0;
+∞
.
L’ensemble de définition d’une fonction polynomiale est
ℝ
, celui d’une fonction rationnelle est l’ensemble des
valeurs qui n’annulent pas son dénominateur.
L’ensemble de définition d’une somme ou d’un produit de fonctions
fg
est l’intersection des ensembles de
définition de
f
et de
g
.
Exemple :
Soit
1
: 1f x x
x
+ +
֏ .
1 0
0
f
x
x D x
+ ≥
∈ ⇔ ≠ , et donc :
[
[
[
[
]
[
*
1; 1;0 0;
f
D
= ∩ − +∞ = − ∪ +∞
ℝ
L’ensemble de définition d’une composée de deux fonctions s’obtient de la manière suivante :
L’expression
[
]
( )
v u x
est calculable si et seulement si
x
appartient à l’ensemble de définition de
u
et si
( )
u x
appartient à l’ensemble de définition de
v
.
On écrit :
( )
u
v u
v
x D
x D
u x D
∈
∈ ⇔ ∈ .
Exemple : Soit f la fonction définie par
( ) ln( )
f x x
= .
0
1
ln 0
f
x
x D x
x
>
∈ ⇔ ⇔ ≥
≥
.
III. Courbe représentative d’une fonction :
Lorsque f est une fonction numérique d’une variable réelle x , on lui associe sa courbe représentative
f
C
, qui est
l’ensemble des points
( , )
M x y
du plan tels que
( )
y f x
=
. Cette équation est une équation cartésienne de la
courbe
f
C
.
On peut parfois, réciproquement, associer une équation cartésienne à certaines courbes.
Par exemple le demi cercle de centre
(0,0)
O et de rayon 4, situé au dessus de l’axe des abscisses, a pour équation :
2
4
y x
= −
.

IV. Continuité, dérivabilité d’une fonction :
Ces deux notions seront étudiées dans la partie « Analyse » du programme. Elles ont toutefois été définies en 1
ère
S
et en TS. Ce sont des notions locales , car on dit « f est continue en un point », ou « f est dérivable en un point ».
Lorsqu’une fonction f est continue , ou dérivable, en tout point d’un intervalle I , on dit que f est continue sur I , ou
dérivable sur I.
On appelle ensemble de continuité d’une fonction l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles f est continue en a .
On appelle ensemble de dérivabilité d’une fonction l’ensemble des valeurs de a pour lesquelles f est dérivable en a .
Définitions :
1.
f
est continue en a
lim ( ) ( )
f
x a
a D
f x f a
→
∈
⇔= 2.
f
est dérivable en a
( ) ( )
lim existe et est finie.
f
x a
a D
f x f a
x a
→
∈
⇔−
−
Les implications à retenir !!!!
1. Pour qu’une fonction soit continue en a, il est nécessaire qu’elle soit définie en a .
2. Pour qu’une fonction soit dérivable en a , il est nécessaire qu’elle soit définie en a .
3. Pour qu’une fonction soit dérivable en a , il est nécessaire qu’elle soit continue en a .
On résume, schématiquement, par :
f
est dérivable en a
⇒
f est continue en a
⇒
f est définie en a .
Les implications réciproques sont fausses !!!
La fonction partie entière
( )
x E x
֏
est définie en 1 , mais pas continue en 1.
Graphiquement , sa courbe possède une « cassure » au point d’abscisse 1.
La fonction
x x
֏
est continue en 0, mais pas dérivable en 0.
Graphiquement, sa courbe possède un point « anguleux » d’abscisse 0.
Rédaction :
On peut écrire, à juste titre :
«
f
est continue en a , car elle est dérivable en a », ou « f est dérivable en a , donc continue en a », car ces deux
phrases sont des écritures de l’implication 3.
Par contre, il est formellement interdit, sous peine d’amende, d’écrire :
«
f
est continue en a , donc elle est dérivable en a », ou « f est dérivable en a , car continue en a », car ces deux
phrases sont des écritures de la réciproque de l’implication 3 , qui est fausse !!
Exercice : tester la validité des phrases obtenues en permutant « continue, dérivable, définie »…
Règles de dérivation :
Nous y reviendrons en détail dans le chapitre « Dérivation ».Néanmoins, il faut retenir que :
1. Lorsque f et g sont dérivables en a , alors
f g
+
et
fg
aussi, et on a :
( )'( ) '( ) '( )
f g a f a g a
+ = +
et
( )'( ) '( ) ( ) ( ) '( )
fg a f a g a f a g a
= +
.
2. Lorsque
f
et
g
sont dérivables en a , et que de plus
( ) 0
g a
≠
, alors
f
g
aussi, et :
[ ]
'
2
'( ) ( ) ( ) '( )
( ) ( )
f f a g a f a g a
a
gg a
−
=
.
3. Lorsque
f
est dérivable en a et g est dérivable en
( )
f a
,
g f
est dérivable en a et :
[
]
( )'( ) ' ( ) '( )
g f a g f a f a
= × .
4. Lorsque
f
est bijective, si
f
est dérivable en 1
( )
f a
− et si 1
'( ( )) 0
f f a
−
≠
, alors
1
f
−
est dérivable en a , et :
1
1
1
( )'( )
' ( )
f a
f f a
−−
= .
On écrit alors les égalités fonctionnelles :
2
' '
( )' ' ' ; ( )' ; ( )' ( ' ) ' ,....
f f g fg
f g f g g f g f f
g g
−
+ = + = = ×

Exemple : soit
2
: ( 1) 1
f x x x
+ −
֏
.
Le fait que
x x
֏
soit dérivable sur
]
[
0;
+∞
permet d’affirmer que f st dérivable si 2
1 0
x
− >
, c'est-à-dire sur
l’intervalle
]
[
1;1
− (règle de dérivation 3. sur les composées de fonctions).
On a alors :
] [
2
2
2 2
1 2
1;1 , '( ) 1 ( 1) 1 1
x x x
x f x x x
x x
− − −
∀ ∈ − = − + + × =
− −
.
Mais à priori on ne peut rien conclure sur la dérivabilité , ou non dérivabilité, de f en 1 ou en
1
−
; il faut alors
entreprendre un calcul spécifique pour ces deux valeurs, en revenant par exemple à l définition de la dérivabilité en
un point. Faites ce calcul…..On trouve que f est dérivable en -1,mais pas en 1.
V. Propriétés algébriques / Propriétés graphiques :
Nous parlons ici de propriétés globales d’une fonction, comme la parité, la périodicité, la monotonie sur un
intervalle, etc…. et des conséquences graphiques.
Parité, périodicité :
1. Une fonction f , définie sur un ensemble D symétrique par rapport à zéro, est paire lorsque :
, ( ) ( )
x D f x f x
∀ ∈ − =
, et impaire lorsque :
, ( ) ( )
x D f x f x
∀ ∈ − = −
.
2. Une fonction f , définie sur D est dite
T
−
périodique, lorsque :
, ( ) ( )
x D f x T f x
∀ ∈ + =
.
La courbe représentative d’une fonction paire est symétrique par rapport à
( )
Oy
.
La courbe représentative d’une fonction impaire est symétrique par rapport à
O
.
La courbe représentative d’une fonction
T
−
périodique est invariante par la translation de vecteur
2
i
π
.
Monotonie :
Une fonction f , définie sur un ensemble D , est :
1. croissante sur D lorsque : 2
( , ) , ( ) ( )
a b D a b f a f b
∀ ∈ < ⇒≤
2. décroissante sur D lorsque : 2
( , ) , ( ) ( )
a b D a b f a f b
∀ ∈ < ⇒≥
3. constante sur D lorsque : 2
( , ) , ( ) ( )
a b D f a f b
∀ ∈ = .
4. strictement croissante sur D lorsque : 2
( , ) , ( ) ( )
a b D a b f a f b
∀ ∈ < ⇒<
5. strictement décroissante sur D lorsque : 2
( , ) , ( ) ( )
a b D a b f a f b
∀ ∈ < ⇒>
Une fonction est monotone (respectivement strictement monotone ) sur D lorsqu’elle est croissante (resp.
strictement croissante) sur D , ou décroissante (resp. strictement décroissante) sur D .
Monotonie et dérivabilité :
Les propriétés suivantes sont valides sur des intervalles uniquement !!!
Soit I un intervalle , et f une fonction dérivable sur I .
1. Si
' 0
f
≥
sur I , alors
f
est croissante sur I . Si
' 0
f
≤
sur I , alors
f
est décroissante sur I .
2. Si
' 0
f
>
sur I , sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs, alors
f
est strictement croissante sur I .
Si
' 0
f
<
sur I , sauf éventuellement en un nombre fini de valeurs, alors
f
est strictement décroissante sur I .
3. Si
' 0
f
=
sur I , alors f est constante sur I .
Branches infinies et asymptotes :
Une courbe possède une branche infinie lorsque la longueur OM peut prendre des valeurs arbitrairement grandes.
Cela arrive donc lorsque
x
tend vers
+∞
ou vers
−∞
, ou encore lorsque
( )
f x
devient arbitrairement grand au
voisinage d’un réel a .
1. Lorsque lim ( ) , ou
x a
f x
→
= +∞ −∞
, la courbe
f
C
possède une asymptote d’équation :
x a
=
.
2. Lorsque
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→+∞
− + =
, la courbe
f
C
possède une asymptote d’équation :
y ax b
= +
au voisinage
de
+∞
Propriété : lorsque
( )
lim
x
f x
a
x
→+∞
=
(réel), et lorsque
lim ( ( ) )
x
f x ax b
→+∞
− =
(réel), alors la courbe
f
C
possède au
voisinage de
+∞
l’asymptote d’équation :
y ax b
= +
.