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PSI-Pasteur 2015/16 Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 1
D´efinition 1 Un K-espace vectoriel ( K=Rou C) est un ensemble Emuni d’une loi de
composition interne lui conf´erant une structure de groupe additif, et d’une loi de composition
externe v´erifiant les axiomes suivants : i) ∀v∈E , 1·v=v
ii) ∀(u, v)∈E×E , ∀λ∈K, λ ·(u+v) = λ·u+λ·v
iii) ∀(λ, µ)∈K×K,∀v∈E , (λ+µ)·v=λ·v+µ·v
iv) ∀(λ, µ)∈K×K,∀v∈E , λ ·(µ·v)=(λ µ)·v
Remarque 1 λ·v= 0E⇐⇒ λ= 0Kou v= 0E
Exemple 1 C(muni des op´erations usuelles) est un R-espace vectoriel.
Exemple 2 Knet plus g´en´eralement, tout produit cart´esien d’un nombre fini de K-ev.
Exemple 3 K[X] et plus g´en´eralement, l’ensemble des applications d’un ensemble Idans K.
Proposition 1 Un produit cart´esien d’espaces de dimensions finies est de dimension finie, ´egale
`a la somme des dimensions de ces espaces.
D´efinition 2 La somme d’une famille finie de sous-espaces (Ei)16i6qd’un espace Eest l’image
de l’application : E1× · · · × Eq−→ E, (x1, . . . , xq)7−→ x1+· · · +xq.
Lorsque cette application est injective, on dit que la somme est directe, on la note alors Lq
i=1 Ei
tandis que dans le cas g´en´eral la somme est simplement not´ee Pq
i=1 Ei.
Remarque 2 La somme d’une famille finie de sous-espaces n’est autre que le sous-espace
engendr´e par leur r´eunion. Par ailleurs, la somme de deux sous-espaces est directe si et seulement
si leur intersection est r´eduite au vecteur nul ; mais cela n’est plus valable pour trois sous-espaces.
Proposition 2 La dimension d’une somme de sous-espaces de dimensions finies est major´ee
par la somme des dimensions, avec ´egalit´e si et seulement si la somme est directe.
Remarque 3 Si Eest la somme directe de sous-espaces de dimensions finies, toute r´eunion de
bases de ces sous-espaces constitue une base de E. Une telle base est dite adapt´ee `a la somme
directe. Inversement, si Eest de dimension finie, tout fractionnement d’une base de Efournit
une d´ecomposition de Een somme directe.
Proposition 3 Si E=Lq
i=1 Eiet si, pour tout i,uiest une application lin´eaire de Eidans
un espace vectoriel F, alors il existe une unique application lin´eaire ude Edans Ftelle que,
pour tout i,uisoit la restriction de u`a Ei.
Remarque 4 Si E=Lq
i=1 Eiet si Best une base adapt´ee, un endomorphisme stabilise
chacun des Eisi et seulement si sa matrice dans la base Best diagonale par blocs.
D´efinition 3 Pour P=Pn
k=0 akXk∈K[X] et u∈L(E) , on pose P(u) = Pn k=0 akuk.
Proposition 4 On a : (λP +µQ)(u) = λ P (u) + µ Q(u) et (P Q)(u) = P(u)◦Q(u) .
Remarque 5 L’existence d’un polynˆome annulateur de upermet de calculer, par division
euclidienne, ukpour tout k∈N; et mˆeme, par simple factorisation, u−1si uest inversible.
En outre, en dimension finie, un endomorphisme admet toujours un polynˆome annulateur, car
si nest la dimension de l’espace E, (IdE, u, u2, . . . , un2) est une famille li´ee.
D´efinition 4 On dit que deux matrices carr´ees Aet Bsont semblables
lorsqu’il existe une matrice inversible Ptelle que : B=P−1AP .
Proposition 5 Deux matrices carr´ees de mˆeme format sont semblables si et seulement si elles
expriment un mˆeme endomorphisme dans deux bases diff´erentes.

PSI-Pasteur 2015/16 Rappels et compl´ements d’alg`ebre lin´eaire 2
D´efinition 5 On appelle trace d’une matrice carr´ee la somme de ses coefficients diagonaux.
Proposition 6 Si Aet Bsont deux matrices de formats compatibles, tr(AB) = tr(BA) .
Corollaire 1 Si deux matrices sont semblables alors elles ont la mˆeme trace.
Cela permet, en dimension finie, de d´efinir la trace d’un endomorphisme.
Remarque 6 tr(E1,2E2,1E1,1)6= tr(E1,2E1,1E2,1)
D´efinition 6 On appelle forme lin´eaire sur un K-ev Etoute application lin´eaire de Edans K.
D´efinition 7 On appelle hyperplan d’un espace vectoriel tout sous-espace admettant pour
suppl´ementaire une droite vectorielle.
Proposition 7 Une partie d’un espace vectoriel est un hyperplan si et seulement si c’est le
noyau d’une forme lin´eaire non nulle. Et deux formes lin´eaires non nulles d´efinissent un mˆeme
hyperplan si et seulement si elles sont proportionnelles.
Th´eor`eme 1 Il existe une unique application fde Mn(K) dans Kv´erifiant : i) f(In)=1
ii) fest antisym´etrique par rapport aux colonnes de sa variable.
iii) fest lin´eaire par rapport `a chacune des colonnes de sa variable.
D´efinition 8 L’application ainsi d´efinie est appel´ee d´eterminant.
Le d´eterminant d’une famille de nvecteurs (e1, e2, . . . , en) dans une base Bd’un espace de
dimension nest, par d´efinition, detB(e1, e2, . . . , en) = det(M) o`u Mest la matrice dont la
j-`eme colonne repr´esente les coordonn´ees de ejdans B.
Proposition 8 Le d´eterminant d’une matrice ayant deux colonnes ´egales est nul.
Corollaire 2 i) Le d´eterminant est nul si les colonnes sont li´ees.
ii) Il est inchang´e en ajoutant `a l’une des colonnes une combinaison lin´eaire des autres.
Remarque 7 On peut alors calculer un d´eterminant en effectuant des op´erations ´el´ementaires
sur les colonnes. Il s’ensuit, d’une part, que le d´eterminant d’une matrice triangulaire est le
produit de ses coefficients diagonaux, et d’autre part, qu’une matrice est inversible si et seulement
si son d´eterminant est non nul.
Proposition 9 Le d´eterminant d’un produit est le produit des d´eterminants.
Corollaire 3 Si deux matrices sont semblables alors elles ont le mˆeme d´eterminant.
Cela permet, en dimension finie, de d´efinir le d´eterminant d’un endomorphisme.
Proposition 10 Le d´eterminant d’une matrice est ´egal `a celui de sa transpos´ee.
Exemple 4 D´eterminant d’une matrice triangulaire par blocs :
Si A∈ Mp(K) et C∈ Mq(K) : detA B
0C= detIpB 0CdetA0 0Iq= det(A) det(C) .
Exemple 5 D´eterminant de Vandermonde
Th´eor`eme 2 D´eveloppement suivant une colonne :
Pour A∈ Mn(K) et 1 6j6n, on a : det(A) = Pn
i=1(−1)i+jAi,j ∆i,j o`u ∆i,j est le
d´eterminant de la matrice obtenue en supprimant la i-`eme ligne et la j-`eme colonne de A.