La fonction exponentielle.

FONCTION EXPONENTIELLE.
1°) Résolution de l'équation différentielle (E) y' = y, y(0) = 1.
la méthode d'Euler permet de visualiser une solution approchée
de l'équation.
Th1 admis : Il existe une fonction f dérivable sur IR telle que f ' = f et f (0) = 1.
Lemme : Si f est une solution de (E) , alors pour tout x, f (x) x f (- x) = 1 et f (x) ≠ 0.
( on utilise g(x) = f (x) x f (-x), on démontre que g'(x) = 0 donc g(x) = constante = f (0) x f (-0) = 1.)
Prop : Si f est une solution de (E), alors elle est unique.
(si on a deux solutions f et g , on utilise h(x) = f (x)
g(x) , on démontre que h'(x) = 0 donc h(x) = constante = h(0) = f (0) g(0) = 1)
déf 1 : L'unique fonction f dérivable telle que f ' = f et f (0) = 1 est appelée fonction exponentielle et est notée exp.
2°) Relations fonctionnelles.
a) Relations
Th 2 : Pour tout réel x : exp(- x) = 1
exp (x)
Pour tous réels x et y : exp(x + y) = exp(x) x exp(y).
Pour tous réels x et y : exp(x – y) = exp(x)
exp(y).
Pour tout réel x et tout entier relatif n [exp(x)] n = exp(n x).
Th 3 : pour tout réel x, exp(x) > 0.
b) une nouvelle notation.
pour tout entier n, exp(n) = exp(nx1) = [exp(1)] n .
si on pose exp(1) = e , on a alors exp(n) = e n.
notation : pour tout réel x, on écrit exp(x) = e x. on a alors e 0 = exp( 0) = 1.
Prop : Pour tous réels x et y et tout entier relatif n :
e – x = 1
ex ; e x + y = e x e y ; e x – y = e x e y ; [e x ] n = e n x.
ex : e 3 x + 2 e x – 5 = e 3 x + 2 + x – 5 = e 4 x – 3
e 2 x – 4
e x – 5 = e 2 x – 4 – x + 5 = e x + 1.
[e 3 x] 4 = e 12 x.
attention
(e x + e – x) ² = (e x ) ² + 2 e x e – x + ( e – x ) ² = e 2 x + 2 e x – x + e - 2 x = e 2 x + 2 + e - 2 x
c) Caractérisation fonctionnelle de la fonction exponentielle.
Pour tous réels x et y exp(x + y) = exp(x) x exp(y),
on se demande s'il y a d'autres fonctions f vérifiant f (x + y) =f (x) x f (y).
Lemme : Toute fonction f dérivable sur IR telle que pour tous réels x et y f (x + y) =f (x) x f (y) est solution
de l'équation différentielle y' = k y avec k = f ' (0).
x
y
o1
1
)exp()()exp( nxeexe nxnxnxn===

Th 4 : Il existe une seule fonction f dérivable sur IR telle que :
pour tous réels x et y f (x + y) = f (x) x f (y) et f '(0) = 1.
C'est la fonction exponentielle.
3°) Etude de la fonction x →e x.
a) Signe, sens de variation et limites.
Par définition, la fonction f définie par f (x) = e x est dérivable donc continue sur IR.
pour tout x e x > 0 et f ' (x) = e x donc f ' (x) > 0 donc f est strictement croissante. sur IR.
Th 5: lim
x → + ∞ e x = + ∞ et lim x → – ∞ e x = 0
pour la limite en + ∞ , on démontre que e x > x + 1 pour tout x de IR.
x – ∞ 0 1 + ∞
f ' (x) +
+ ∞
f (x) 0 1 e
Th 6 : la fonction exponentielle étant strictement croissante sur IR :
x = y ⇔ e x = e y
x < y ⇔ e x < e y .
x = 0 ⇔ e x = 1
x < 0 ⇔ e x < 1.
b) Approximation affine au voisinage de 0.
la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a pour équation y = f (0) + f ' (0) (x – 0)
donc y = 1 + 1 x et finalement y = x + 1
une étude de la fonction x → e x – (x + 1) permet de dire que la courbe est au-dessus de la tangente.
Th 7 : lim
x → 0 e x – 1
x = 1 et pour tout réel x, e x = 1 + x + x ε(x) avec lim
x → 0ε(x) = 0
c) représentation graphique.
d) Croissances comparées.
Th 8 : lim
x → + ∞ e x
x = + ∞ Pour tout entier naturel n non nul, lim
x → + ∞ e x
x n = + ∞
lim
x → - ∞x e x = 0 Pour tout entier naturel n non nul lim x → - ∞x n e x = 0
o1
1
y = exp(x)
y =x + 1

4°) Equations et inéquations avec la fonction exponentielle.
Résoudre l'équation e x + 4
e 2 x – 5 = e x ² +7
e x + 4 – (2 x – 5) = e x ² +7
e – x + 9 = e x ² + 7 la fonction exp étant strictement croissante,
-x + 9 = x ² +7
0 = x ² + x – 2
on trouve ∆ = 9 x1 = 1 et x2 = -2 S = { -2 ; 1}.
Résoudre dans IR e 1
x > e ².
0 est valeur interdite.
la fonction exp étant strictement croissante, x ≠ 0 et e 1
x > e ² ⇔ 1
x > 2 ⇔ 1 x – 2 > 0 ⇔ 1 – 2 x x > 0
on réalise un tableau de signes : S = ]0 ; 1
2 [.
5°) Equations différentielles y' = k y.
a)Dérivée d'une fonction x → e u(x).
C'est la fonction composée de la fonction u et de la fonction exponentielle.
Th 9 : La dérivée d'une fonction f x → e u(x) est la fonction f ' f ' (x) = e u(x) u'(x).
En particulier la dérivée de la fonction f x → e k x (k réel fixé) est la fonction f ': f '(x) = k e k x .
La fonction x → e k x est donc solution de l'équation différentielle y' = k y (k réel fixé).
b)Résolution de l'équation y' = k y.
en démontrant que la fonction x → f (x) e - k x est constante, on en déduit le théorème :
Th 10 : Une fonction f dérivable sur IR est solution de l'équation différentielle y' = k y, où k est un réel fixé, si et
seulement si pour tout réel x, f (x) = C e k x où C est une constante réelle.
ex : l'équation différentielle y' = 2 y a pour solutions les fonctions x → C e 2 x , C réel quelconque.
c)Résolution de l'équation y' = k y avec condition initiale.
On veut trouver les solutions de l'équation différentielle y' = k y telle que f (x0) = y0 , x0 et y0 réels donnés.
on a donc f (x) = C e k x donc f (x0) = C e k x0 = y0 donc C = y0
e k x0 = y0 e - k x0 donc f (x) = y0 e - k x0 e k x.
Th 11 : Soit x0 et y0 deux réels; il existe une fonction unique f solution de l'équation différentielle y' = k y et
vérifiant f (x0) = y0. On a f (x) = y0 e - k x0 e k x = y0 ek (x - x0).
remarque : cela exprime que la courbe représentative de f passe par le point de coordonnées (x0 ; y0).
d) Extension de la notion de fonction exponentielle.
Déf : Toute solution f d'une équation différentielle y' = k y avec k réel fixé, telle que f (0) = 1 est aussi appelée une
fonction exponentielle (elle est de la forme fk (x) = e k x).
Th 12 : Toute fonction exponentielle fk vérifie la relation fonctionnelle fk (x + y) = fk (x) fk (y) pour tous réels x et y.
Th 13 : Si f est une fonction non nulle vérifiant f (x + y) = f (x) f (y) pour tous réels x et y, alors il existe un réel k
tel que f (x) = e k x.
6°) Equations différentielles y' = a y + b ( a et b réels donnés).
Th 14 : les solutions de l'équation différentielle (E) y' = a y + b ( a ∈IR*, b ∈IR) sont les fonctions définies sur IR
par f (x) = C e a x – b
a avec C réel ( la fonction x → – b a est la solution constante de l'équation).
f est la somme d'une solution particulière constante de (E) et de la solution générale de y' = a y.
Prop : Si de plus x0 et y0 sont donnés, il existe une seule solution f telle que f (x0) = y0.