La fonction exponentielle.

FONCTION EXPONENTIELLE.
1°) Résolution de l'équation différentielle
(E) y' = y, y(0) = 1.
la méthode d'Euler permet de visualiser une solution approchée
de l'équation.
y
1
1
o
Th1 admis : Il existe une fonction f dérivable sur IR telle que
x
f ' = f et f (0) = 1.
Lemme : Si f est une solution de (E) , alors pour tout x, f (x) x f (- x) = 1 et f (x) ≠ 0.
( on utilise g(x) = f (x) x f (-x), on démontre que g'(x) = 0 donc g(x) = constante = f (0) x f (-0) = 1.)
Prop : Si f est une solution de (E), alors elle est unique.
f (x)
f (0)
(si on a deux solutions f et g , on utilise h(x) =
, on démontre que h'(x) = 0 donc h(x) = constante = h(0) =
= 1)
g(x)
g(0)
déf 1 : L'unique fonction f dérivable telle que f ' = f et f (0) = 1 est appelée fonction exponentielle et est notée exp.
2°) Relations fonctionnelles.
a) Relations
1
exp (x)
Pour tous réels x et y : exp(x + y) = exp(x) x exp(y).
exp(x)
Pour tous réels x et y : exp(x – y) =
.
exp(y)
Pour tout réel x et tout entier relatif n
[exp(x)] n = exp(n x).
Th 2 : Pour tout réel x :
exp(- x) =
Th 3 : pour tout réel x, exp(x) > 0.
b) une nouvelle notation.
pour tout entier n, exp(n) = exp(nx1) = [exp(1)] n .
si on pose exp(1) = e , on a alors exp(n) = e n.
notation : pour tout réel x, on écrit exp(x) = e x. on a alors e 0 = exp( 0) = 1.
Prop : Pour tous réels x et y et tout entier relatif n :
1
ex
e – x = x ; e x + y = e x e y ; e x – y = y ; [e x ] n = e n x.
e
e
ex : e 3 x + 2 e x – 5 = e 3 x + 2 + x – 5 = e 4 x – 3
e 2x–4
= e 2 x – 4 – x + 5 = e x + 1.
e x–5
[e 3 x] 4 = e 12 xn.
attention e x = exp( x n )
(e x ) n = e nx = exp( nx)
(e x + e – x) ² = (e x ) ² + 2 e x e – x + ( e – x ) ² = e 2 x + 2 e
x–x
+e
-2x
= e2 x + 2 + e
-2x
c) Caractérisation fonctionnelle de la fonction exponentielle.
Pour tous réels x et y exp(x + y) = exp(x) x exp(y),
on se demande s'il y a d'autres fonctions f vérifiant f (x + y) =f (x) x f (y).
Lemme : Toute fonction f dérivable sur IR telle que pour tous réels x et y
de l'équation différentielle y' = k y avec k = f ' (0).
f (x + y) =f (x) x f (y)
est solution
Th 4 : Il existe une seule fonction f dérivable sur IR telle que :
pour tous réels x et y
f (x + y) = f (x) x f (y) et f '(0) = 1.
C'est la fonction exponentielle.
3°) Etude de la fonction x →e
x
.
a) Signe, sens de variation et limites.
Par définition, la fonction f définie par f (x) = e x est dérivable donc continue sur IR.
pour tout x e x > 0 et f ' (x) = e x donc f ' (x) > 0 donc f est strictement croissante. sur IR.
Th 5: lim e x = + ∞ et lim e x = 0
x → +∞
x→– ∞
pour la limite en + ∞ , on démontre que e x > x + 1 pour tout x de IR.
–∞
x
0
f ' (x)
f (x)
+∞
1
+
0
1
+∞
e
Th 6 : la fonction exponentielle étant strictement croissante sur IR :
x =y⇔ex=ey
x< y ⇔ex<ey.
x=0 ⇔ex =1
x < 0 ⇔ e x < 1.
b) Approximation affine au voisinage de 0.
la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 0 a pour équation y = f (0) + f ' (0) (x – 0)
donc y = 1 + 1 x et finalement
y=x+1
une étude de la fonction x → e x – (x + 1) permet de dire que la courbe est au-dessus de la tangente.
ex–1
= 1 et pour tout réel x, e x = 1 + x + x ε(x) avec lim ε(x) = 0
x
x→0
x→0
Th 7 : lim
c) représentation graphique.
y = exp(x)
y =x + 1
1
o
d) Croissances comparées.
ex
=+∞
x→+ ∞ x
Th 8 : lim
lim x e x = 0
x→- ∞
ex
n =+∞
x→+ ∞ x
Pour tout entier naturel n non nul,
Pour tout entier naturel n non nul
lim x
x→- ∞
lim
n
ex=0
1
4°) Equations et inéquations avec la fonction exponentielle.
e x+4
Résoudre l'équation 2 x – 5 = e x ² +7
e
e x + 4 – (2 x – 5) = e x ² +7
e – x + 9 = e x ² + 7 la fonction exp étant strictement croissante,
-x + 9 = x ² +7
0=x²+x–2
on trouve ∆ = 9 x1 = 1 et x2 = -2
S = { -2 ; 1}.
1
Résoudre dans IR e x > e ².
0 est valeur interdite.
1
x ≠ 0 et e x > e ² ⇔
la fonction exp étant strictement croissante,
1
1
1–2x
>2 ⇔ –2>0 ⇔
>0
x
x
x
1
on réalise un tableau de signes : S = ]0 ; [.
2
5°) Equations différentielles y' = k y.
a)Dérivée d'une fonction x → e u(x).
C'est la fonction composée de la fonction u et de la fonction exponentielle.
Th 9 : La dérivée d'une fonction f x → e u(x) est la fonction f ' f ' (x) = e u(x) u'(x).
En particulier la dérivée de la fonction f x → e k x (k réel fixé) est la fonction f ': f '(x) = k e
kx
.
La fonction x → e k x est donc solution de l'équation différentielle y' = k y (k réel fixé).
b)Résolution de l'équation y' = k y.
en démontrant que la fonction x → f (x) e
-kx
est constante, on en déduit le théorème :
Th 10 : Une fonction f dérivable sur IR est solution de l'équation différentielle y' = k y, où k est un réel fixé, si et
seulement si pour tout réel x, f (x) = C e k x où C est une constante réelle.
ex : l'équation différentielle y' = 2 y
a pour solutions les fonctions x → C e
2x
, C réel quelconque.
c)Résolution de l'équation y' = k y avec condition initiale.
On veut trouver les solutions de l'équation différentielle y' = k y telle que f (x0) = y0 , x0 et y0 réels donnés.
y
on a donc f (x) = C e k x donc f (x0) = C e k x0 = y0 donc C = 0 = y0 e - k x0 donc f (x) = y0 e - k x0 e k x.
e k x0
Th 11 : Soit x0 et y0 deux réels; il existe une fonction unique f solution de l'équation différentielle y' = k y et
vérifiant f (x0) = y0. On a f (x) = y0 e - k x0 e k x = y0 ek (x - x0).
remarque : cela exprime que la courbe représentative de f passe par le point de coordonnées (x0 ; y0).
d) Extension de la notion de fonction exponentielle.
Déf : Toute solution f d'une équation différentielle y' = k y avec k réel fixé, telle que f (0) = 1 est aussi appelée une
fonction exponentielle (elle est de la forme fk (x) = e k x).
Th 12 : Toute fonction exponentielle fk vérifie la relation fonctionnelle fk (x + y) = fk (x) fk (y) pour tous réels x et y.
Th 13 : Si f est une fonction non nulle vérifiant f (x + y) = f (x) f (y) pour tous réels x et y, alors il existe un réel k
tel que f (x) = e k x.
6°) Equations différentielles y' = a y + b ( a et b réels donnés).
Th 14 : les solutions de l'équation différentielle (E) y' = a y + b ( a ∈IR*, b ∈IR) sont les fonctions définies sur IR
b
b
par f (x) = C e a x – avec C réel ( la fonction x → –
est la solution constante de l'équation).
a
a
f est la somme d'une solution particulière constante de (E) et de la solution générale de y' = a y.
Prop : Si de plus x0 et y0 sont donnés, il existe une seule solution f telle que f (x0) = y0.