Les séries de TD - Farhi Bakir

Université A. Mira de Béjaia
Département de Mathématiques
Année universitaire
2016/2017
SÉRIES DE TD DE TOPOLOGIE
(78 exercices dont 59 sont obligatoires)
Les exercices précédés d’une étoile (⋆) sont obligatoires.
1.Généralités sur les espaces métriques
⋆Exercice 1.1.Etant donné n∈N∗, on considère d1et d∞les applications de Rn×Rn
dans R+définies par :
d1(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)=
n
i=1|xi−yi|
d∞(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)=max
1≤i≤n|xi−yi|
(∀(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)∈Rn).
(1) Montrer que d1et d∞sont des distances sur Rn.
(2) On prend n=2. Représenter graphiquement les boules ouvertes et les boules fermées
de R2relativement à chacune de ces deux distances.
Exercice 1.2(La distance euclidienne de Rn).
Soient n∈N∗et d2:Rn×Rn→R+l’application définie par :
d2(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn):=
n
i=1|xi−yi|2
1/2
(∀(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)∈Rn).
(1) Montrer que pour tous a1,...,an,b1, . . . , bn∈R, on a :
1≤i≤n
1≤j≤naibj−ajbi2=2
n
i=1
a2
i
n
i=1
b2
i−
n
i=1
aibi
2
(c’est l’identité de Lagrange).
(2) En déduire que pour tous a1, . . . , an,b1, . . . , bn∈R, on a :
n
i=1
aibi≤
n
i=1
a2
i
1/2
n
i=1
b2
i
1/2
(c’est l’inégalité de Cauchy-Schwarz).
(3) En déduire que pour tous a1, . . . , an,b1, . . . , bn∈R, on a :
n
i=1|ai+bi|2
1/2
≤
n
i=1
a2
i
1/2
+
n
i=1
b2
i
1/2
(c’est l’inégalité de Minkowski).
Date:Jeudi, 06 octobre 2016.
1

2TOPOLOGIE
(4) Montrer que d2est une distance sur Rn.
⋆Exercice 1.3(La distance discrète d’un ensemble).
Soient Eun ensemble non vide et d:E2→R+l’application définie par :
d(x,y) :=0si x=y
1si x,y.
— Montrer que dest une distance sur E.
⋆Exercice 1.4.Soit (E,d)un espace métrique. Montrer qu’on a pour tous x,y,z∈E:
d(x,z)≥d(x,y)−d(y,z).
⋆Exercice 1.5.Soit (E,d)un espace métrique et soient d′,d′′ et d⋆les applications de E2
dans R+données par :
d′:=min(1,d)
d′′ :=d
1+d
d⋆:=arctan d.
— Montrer que d′,d′′ et d⋆sont des distances sur E.
⋆Exercice 1.6.Soit (E,d)un espace métrique.
— Montrer que pour tous x,y∈E, avec x,y, il existe deux réels strictement positifs r
et stels que :
B(x,r)∩B(y,s)=∅.
Exercice 1.7(Produit fini d’espaces métriques).
Soient n∈N∗et (E1,d1),(E2,d2), . . . , (En,dn)des espaces métriques. On pose E:=E1×
E2··· × Enet on considère d:E2→R+l’application définie par :
d(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn):=max
1≤i≤ndi(xi,yi) (∀(x1, . . . , xn),(y1, . . . , yn)∈E).
— Montrer que dest une distance sur E.
Exercice 1.8(Produit dénombrable d’espaces métriques).
Soit {(Ei,di)}i≥1une famille (dénombrable) d’espaces métriques. On pose E:=
+∞
i=1
Eiet on
considère d:E2→R+l’application définie par :
d(xi)i≥1,(yi)i≥1:=
+∞
i=1
arctan di(xi,yi)
2i(∀(xi)i≥1,(yi)i≥1∈E).
— Montrer que dest une distance sur E.

TOPOLOGIE 3
2.Généralités sur les espaces topologiques
⋆Exercice 2.1.Soit X={a,b,c,d}un ensemble à 4éléments et soit la famille de P(X)
suivante :
τ:=∅,X,{a},{b},{a,b},{a,c},{b,d},{a,b,c},{a,b,d}.
(1) Montrer que τconstitue une topologie sur X, puis donner les ouverts et les fermés
de l’espace topologique (X, τ).
(2) Déterminer les ensembles suivants :
◦
{b,c},{b,c},
◦
{c,d},{c,d},
◦
{b,c,d},{b,c,d}et Fr({b,c,d}).
⋆Exercice 2.2(Examen de rattrapage de l’année 2014-2015).
Soient E:=]0,+∞[et τ:=E, θα:=]0, α[ (avec α≥0).
(1) Montrer que τconstitue une topologie sur E.
(2) Déterminer les fermés de l’espace topologique (E, τ).
(3) Donner (sans démonstration) ◦ Aet Adans chacun des cas suivants :
A=]0,1[ ; A=2
3;A=N∗.
⋆Exercice 2.3(La topologie cofinie).
Soient Xun ensemble non vide et τla famille constituée de l’ensemble vide et de toutes
les parties de Xdont le complémentaire est fini.
(1) Montrer que τconstitue une topologie sur X.
(2) Que devient τlorsque Xest fini ?
(3) Montrer que si Xest infini alors il n’est pas séparé.

4TOPOLOGIE
3.Notions de base de Topologie générale
⋆Exercice 3.1.Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique (X, τ). Montrer les
propriétés suivantes :
(1)A⊂B⇒A⊂B.
(2)A∩B⊂A∩B.
(3)A∪B=A∪B.
⋆Exercice 3.2.Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique (X, τ). Montrer les
propriétés suivantes :
(1)A⊂B⇒◦ A⊂◦ B.
(2)
◦
A∩B=◦ A∩◦ B.
(3)
◦
A∪B⊃◦ A∪◦ B.
⋆Exercice 3.3.Soit Aune partie d’un espace topologique (X, τ). Montrer les formules
suivantes :
(i) {XA=
◦
{XA;(ii) {X◦ A={XA;(iii) Fr(A)=A∩{XA.
⋆Exercice 3.4.Soit (X, τ)un espace topologique et soient Aet Bdeux parties de X.
Montrer que si Aest un ouvert, alors on a :
A∩B⊂A∩B.
⋆Exercice 3.5.Soit (X, τ)un espace topologique et soient Uet Vdeux ouverts disjoints
de X. Montrer qu’on a :
◦
U∩◦ V=∅.
⋆Exercice 3.6.Soit (X, τ)un espace topologique. Pour tout x∈X, on désigne par Fx
l’ensemble de tous les voisinages fermés de x. Montrer que Xest séparé si et seulement si
on a :
∀x∈X:
V∈Fx
V={x}.
⋆Exercice 3.7.Soit (X, τ)un espace topologique et soit Dune partie de X. Montrer que
Dest dense dans Xsi et seulement si tout ouvert non vide de Xrencontre D.
Exercice 3.8.Soit (X, τ)un espace topologique et soient Aet Bdeux parties de X.
Montrer les propriétés suivantes :
(1)Fr(A)⊂Fr(A)et Fr( ◦ A)⊂Fr(A).
(2)Fr(A∪B)⊂Fr(A)∪Fr(B).
Exercice 3.9.Soit (X, τ)un espace topologique et soient Aet Bdeux parties de Xtelles
que E=A∪B. Montrer qu’on a :
E=A∪◦ B.

TOPOLOGIE 5
Exercice 3.10.Soit (X, τ)un espace topologique et soient Dun sous-ensemble dense dans
Xet Oun ouvert de X. Montrer qu’on a :
O⊂O∩D.
Exercice 3.11.Soit (X, τ)un espace topologique et soit Aune partie de X. Montrer que
Arencontre tout sous-ensemble dense dans Xsi et seulement si Aest d’intérieur non vide.
Exercice 3.12.
Définition : Un espace topologique est dit séparable s’il existe une partie de Xqui soit
à la fois dénombrable et partout dense.
(1) Justifier que R(muni de sa topologie usuelle) est séparable.
(2) Soit (X, τ)un espace topologique. Supposons qu’il existe une base Bpour τqui soit
dénombrable. Montrer que Xest séparable.