td topo

Module: IT Deuxième année mathématique
Université Khasdi Merbah 2016-2017 Département de Mathématiques
TD1 :Espaces Topologiques
Exercice 1:
1.Soit (In)n∈N= ([an, bn])nune famille d’intervalles fermés emboités.
Démontrer que \
n∈N
In6=∅
2.En prenant In=]1,1 + e−n[,calculer \
n∈N
In.Conclure.
Exercice 2:
Soit Uun ensemble non vide de R.On définit :
−U={x∈R/−x∈U}
λU ={x∈R/λ−1x∈U;λ∈R?}
U+a={x∈R/x −a∈U;a∈R}
Montrer que chacun de ces sous-ensembles est ouvert si, et seulement si, Ul’est.
Exercice 3:
Soient X={1,8,9}et τ={∅,{1},{8},{1,8},{1,9}, X}.
1.Vérifier que τest une topologie sur X.
2.Chacune des ensembles {9}et {1,9}est-elle ouvert ? fermé ? ouvert et fermé ? non
ouvert et non fermé ?
3.Déterminer V(1) et V(9).
Exercice 4:
Soient X={a, b, c, d}et T={∅,{a},{c, d},{b, c, d}, X}.
L’ensemble Tdéfinit-il une topologie sur X?
Exercice 5:
Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique X. Montrer que :
1. A ∪B=A∪B
2. A ∩B⊂A∩B
Exercice 6:
Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique X. Montrer que :
1.
◦
\
A∩B=
◦
A∩
◦
B
2.
◦
A∪
◦
B⊂
◦
\
A∪B
Exercice 7:
Soient Uet Vdeux ouverts d’un espace topologique Xtels que U∩V=∅.
Prouver que
◦
U∩
◦
V=∅.
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Exercice 8:
Soit Uun ouvert d’un espace topologique. Montrer que : ˚ U=U.
Exercice 9:
On va montrer que l’ensemble Ddes réels de la forme p+q√2où pet qdécrivent Z,
est dense dans R.
1. Vérifier que Dest stable par addition et multiplication.
2. Posons u=√2−1.montrer que pour tout a < b, on peut trouver n≥1tel que
0< un< b −a, puis m∈Zvérifiant a < mun< b. En déduire le résultat.
Exercice 10 :
Soit Aun ensemble d’un espace E. Montrer que :
1. Fr(A)est un ensemble fermé.
2. Aest ouvert ⇐⇒ A∩Fr(A) = ∅.
3. Aest fermé ⇐⇒ Fr(A)⊂A.
4. Aest ouvert et fermé ⇐⇒ Fr(A) = ∅.
Exercice 11 :
Soient Aet Bdeux parties d’un espace topologique E.
1. Montrer que :
Fr(A∪B)⊂Fr(A)∪Fr(B).
2. On suppose que Aet Bsoient deux parties ouvertes et denses dans E. Montrer
que :
Fr(A∪B) = Fr(A)∩Fr(B).
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