td topo

Module: IT
Deuxième année mathématique
Université Khasdi Merbah
2016-2017
Département de Mathématiques
TD1 :Espaces Topologiques
Exercice 1 :
1. Soit (In )n∈N =
\([an , bn ])n une famille d’intervalles fermés emboités.
Démontrer que
In 6= ∅
n∈N
2. En prenant In =]1, 1 + e−n [, calculer
\
In . Conclure.
n∈N
Exercice 2 :
Soit U un ensemble non vide de R. On définit :
−U = {x ∈ R/ − x ∈ U }
λU = {x ∈ R/λ−1 x ∈ U ; λ ∈ R? }
U + a = {x ∈ R/x − a ∈ U ; a ∈ R}
Montrer que chacun de ces sous-ensembles est ouvert si, et seulement si, U l’est.
Exercice 3 :
Soient X = {1, 8, 9} et τ = {∅, {1}, {8}, {1, 8}, {1, 9}, X}.
1. Vérifier que τ est une topologie sur X.
2. Chacune des ensembles {9} et {1, 9} est-elle ouvert ? fermé ? ouvert et fermé ? non
ouvert et non fermé ?
3. Déterminer V (1) et V (9).
Exercice 4 :
Soient X = {a, b, c, d} et T = {∅, {a}, {c, d}, {b, c, d}, X}.
L’ensemble T définit-il une topologie sur X?
Exercice 5 :
Soient A et B deux parties d’un espace topologique X. Montrer que :
1. A ∪ B = A ∪ B
2. A ∩ B ⊂ A ∩ B
Exercice 6 :
Soient A et B deux parties d’un espace topologique X. Montrer que :
◦
◦
◦
\
1. A
∩B = A∩B
◦
◦
◦
\
2. A ∪ B ⊂ A
∪B
Exercice 7 :
Soient U et V deux ouverts d’un espace topologique X tels que U ∩ V = ∅.
◦
◦
Prouver que U ∩ V = ∅.
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Exercice 8 :
˚ = U.
Soit U un ouvert d’un espace topologique. Montrer que : U
Exercice 9 :
√
On va montrer que l’ensemble D des réels de la forme p + q 2 où p et q décrivent Z,
est dense dans R.
1. Vérifier que D
√ est stable par addition et multiplication.
2. Posons u = 2 − 1. montrer que pour tout a < b, on peut trouver n ≥ 1 tel que
0 < un < b − a, puis m ∈ Z vérifiant a < mun < b. En déduire le résultat.
Exercice 10 :
Soit A un ensemble d’un espace E. Montrer que :
1. Fr (A) est un ensemble fermé.
2. A est ouvert ⇐⇒ A ∩ Fr (A) = ∅.
3. A est fermé ⇐⇒ Fr (A) ⊂ A.
4. A est ouvert et fermé ⇐⇒ Fr (A) = ∅.
Exercice 11 :
Soient A et B deux parties d’un espace topologique E.
1. Montrer que :
Fr (A ∪ B) ⊂ Fr (A) ∪ Fr (B).
2. On suppose que A et B soient deux parties ouvertes et denses dans E. Montrer
que :
Fr (A ∪ B) = Fr (A) ∩ Fr (B).
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