1 Logique propositionnelle et preuves formelles 2 Logique

Master Informatique 1, Semestre 2
Université de Strasbourg
Ingénierie de la preuve
2008/09
TD 1
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Logique propositionnelle et preuves formelles
1- Pour chacun des énoncés suivants, proposer en déduction naturelle intuitionniste une démonstration
arborescente, puis la transcrire en une suite de tactiques acceptables par Coq.
On rappelle que A ←→ B est défini par A → B ∧ B → A.
–
–
–
–
A ∨ B −→ B ∨ A
(A ∧ B → C) ←→ (A → B → C)
(A ∧ (B ∨ C)) ←→ ((A ∧ B) ∨ (A ∧ C))
(A → (B ∧ C)) ←→ (A → B) ∧ (A → C)
2- Construire un terme du λ-calcul représentant une démonstration pour chacun des énoncés de la
question précédente. On rappelle que l’on dispose pour cela des fonctions suivantes :
or introl
or intror
or ind
conj
and ind
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∀A
∀A
∀A
∀A
∀A
B
B
B
B
B
: Prop, A → A ∨ B
: Prop, B → A ∨ B
P : Prop, (A → P ) → (B → P ) → A ∨ B → P
: Prop, A → B → A ∧ B
P : Prop, (A → B → P ) → A ∧ B → P
Logique intuitionniste ou logique classique
La logique classique admet en plus des règles usuelles de la logique intuitioniste, la règle du tiers-exclu :
Γ ` A ∨ ¬A
On rappelle que la négation ¬A est défini par A → ⊥ et que les règles logiques qui lui sont associées
sont :
Γ, A ` False
Γ`A
Γ ` ¬A
Γ`⊥
Γ ` ¬A
Γ`⊥
Γ`A
3- Démontrer, en utilisant si nécessaire la règle du tiers exclu, les propositions suivantes :
– A ←→ ¬¬A (un sens est démontrable en logique intuitioniste, lequel ?)
– contraposition : (A → B) ←→ (¬B → ¬A)
– Axiome de Pierce : ((A → B) → A) → A
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Logique du premier ordre
On rappelle les règles logiques pour la quantification universelle et la quantification existentielle :
Γ, x : A ` B
Γ ` ∀x : A, B
Γ`P t
x∈
/Γ
Γ ` ∀x : A, (P x)
Γ, t : A ` (P t)
Γ, x : A, P x ` Q
Γ ` ∃x : A, P x
Γ ` ∃x : A, P x
Γ`Q
4- Soit A une formule quelconque. Montrer que l’on peut échanger l’ordre des quantificateurs :
∀x ∀y A ←→ ∀y ∀x A
∃x ∃y A ←→ ∃y ∃x A.
5- Montrer l’implication : ∃y ∀x A → ∀x ∃y A. Pourquoi ne peut-on pas prouver l’implication
réciproque ?
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Existence classique
Montrer en utilisant la logique classique
qu’il existe x et y tels que x et y sont irrationnels et que xy
√
est rationnel. On utilisera le fait que 2 est irrationnel et que (ax )y = ax×y .
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Induction sur les dérivations
On cherche à démontrer la propriété suivante (lemme d’affaiblissement) pour la logique propositionnelle :
si Γ ` A et Γ ⊂ Γ0 alors Γ0 ` A.
– Enoncer le principe d’induction sur la structure des dérivations en déduction naturelle.
– Démontrer la propriété en utilisant cette technique d’induction. On prendra soin de bien rédiger la
démonstration, en mettant clairement en évidence l’hypothèse de récurrence utilisée.
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