1 Logique propositionnelle et preuves formelles 2 Logique

Master Informatique 1, Semestre 2 Ing´enierie de la preuve
Universit´e de Strasbourg 2008/09
TD 1
1 Logique propositionnelle et preuves formelles
1- Pour chacun des ´enonc´es suivants, proposer en d´eduction naturelle intuitionniste une d´emonstration
arborescente, puis la transcrire en une suite de tactiques acceptables par Coq.
On rappelle que A←→ Best d´efini par A→B∧B→A.
–A∨B−→ B∨A
– (A∧B→C)←→ (A→B→C)
– (A∧(B∨C)) ←→ ((A∧B)∨(A∧C))
– (A→(B∧C)) ←→ (A→B)∧(A→C)
2- Construire un terme du λ-calcul repr´esentant une d´emonstration pour chacun des ´enonc´es de la
question pr´ec´edente. On rappelle que l’on dispose pour cela des fonctions suivantes :
or introl ∀A B :Prop, A →A∨B
or intror ∀A B :Prop, B →A∨B
or ind ∀A B P :Prop,(A→P)→(B→P)→A∨B→P
conj ∀A B :Prop, A →B→A∧B
and ind ∀A B P :Prop,(A→B→P)→A∧B→P
2 Logique intuitionniste ou logique classique
La logique classique admet en plus des r`egles usuelles de la logique intuitioniste, la r`egle du tiers-exclu :
Γ`A∨ ¬A
On rappelle que la n´egation ¬Aest d´efini par A→ ⊥ et que les r`egles logiques qui lui sont associ´ees
sont : Γ, A `False
Γ` ¬A
Γ`AΓ` ¬A
Γ` ⊥
Γ` ⊥
Γ`A
3- D´emontrer, en utilisant si n´ecessaire la r`egle du tiers exclu, les propositions suivantes :
–A←→ ¬¬A(un sens est d´emontrable en logique intuitioniste, lequel ?)
– contraposition : (A→B)←→ (¬B→ ¬A)
– Axiome de Pierce : ((A→B)→A)→A
3 Logique du premier ordre
On rappelle les r`egles logiques pour la quantification universelle et la quantification existentielle :
Γ, x :A`B
Γ` ∀x:A, B x /∈ΓΓ` ∀x:A, (P x) Γ, t :A`(P t)
Γ`P t
Γ` ∃x:A, P x
Γ, x :A, P x `QΓ` ∃x:A, P x
Γ`Q
4- Soit A une formule quelconque. Montrer que l’on peut ´echanger l’ordre des quantificateurs :
∀x∀y A ←→ ∀y∀x A ∃x∃y A ←→ ∃y∃x A.
5- Montrer l’implication : ∃y∀x A → ∀x∃y A. Pourquoi ne peut-on pas prouver l’implication
r´eciproque ?
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4 Existence classique
Montrer en utilisant la logique classique qu’il existe xet ytels que xet ysont irrationnels et que xy
est rationnel. On utilisera le fait que √2 est irrationnel et que (ax)y=ax×y.
5 Induction sur les d´erivations
On cherche `a d´emontrer la propri´et´e suivante (lemme d’affaiblissement) pour la logique proposition-
nelle :
si Γ `Aet Γ ⊂Γ0alors Γ0`A.
– Enoncer le principe d’induction sur la structure des d´erivations en d´eduction naturelle.
– D´emontrer la propri´et´e en utilisant cette technique d’induction. On prendra soin de bien r´ediger la
d´emonstration, en mettant clairement en ´evidence l’hypoth`ese de r´ecurrence utilis´ee.
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