II. Fonctions usuelles

Sup Tsi - Cours de math´ematiques
II. Fonctions usuelles
1 Fonctions exponentielles et logarithmes
1.1 Fonctions exponentielle n´ep´erienne et logarithme n´ep´erien
D´efinition 1. On appelle fonction exponentielle n´ep´erienne l’unique fonction d´efinie sur R´egale `a sa
d´eriv´ee et valant 1en 0, on la note x7→ exp(x)ou x7→ exavec e= exp(1).
y= exp(x)
e
Remarque 1. L’existence de cette fonction est admise.
Propri´et´e 1. La fonction exp est d´erivable et exp′= exp , elle est croisssante et strictement positive, de
plus lim
x→−∞ ex= 0 et lim x→+∞ex= +∞.
D´emonstration. Exigible - On utilise la fonction x7→ exp(x) exp(−x) pour montrer que la fonction expo-
nentielle n´ep´erienne ne s’annule pas puis le Th´eor`eme des Valeurs interm´ediaires pour montrer la positivit´e
stricte par un raisonnement par l’absurde, on montre que exp(x)>xpour d´eterminer les limites.
Propri´et´e 2. La fonction exponentielle n´ep´erienne v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels
xet yet pour tout entier relatif n:
1. ex+y=exey
2. e−x=1
ex
3. ex−y=ex
ey
4. enx = (ex)n
D´emonstration. Exigible - On ´etudie la fonction x7→ exp(x+y)
exp(x) exp(y).
Propri´et´e 3. Si uest une fonction d´erivable, alors la fonction euest d´erivable et (eu)′=u′eu.
Remarque 2. Cette propri´et´e sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de d´erivation d’une fonction compo-
s´ee.
www.emmanuelmorand.net 1/14 SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques II. Fonctions usuelles
D´efinition 2. On appelle fonction logarithme n´ep´erien la fonction ln : x7→ ln(x)d´efinie sur l’intervalle
]0; +∞[par ln(x) = yavec ey=x.
y= ln(x)
e
Remarque 3. L’existence de cette fonction sera d´emontr´ee au moyen du th´eor`eme de la bijection.
Remarque 4. On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1 .
Remarque 5. On a Si x∈R,ln(ex) = xet Si x∈]0; +∞[, eln(x)=x.
Propri´et´e 4. La fonction ln est d´erivable sur ]0; +∞[et Si x∈]0; +∞[,ln′(x) = 1
x.
D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
Remarque 6. La fonction ln est donc la primitive sur ]0; +∞[de la fonction inverse s’annulant en 1.
Propri´et´e 5. La fonction ln est croissante, n´egative sur ]0; 1] et positive sur [1; +∞[, de plus lim
x→0ln(x) = −∞
et lim
x→+∞ln(x) = +∞.
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 6. La fonction ln v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels xet ystrictement positifs
et pour tout entier relatif n:
1. ln(xy) = ln(x) + ln(y)
2. ln 1
x=−ln(x)
3. ln x
y= ln(x)−ln(y)
4. ln(xn) = nln(x)
5. ln(√x) = 1
2ln(x)
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 7. Si uest une fonction d´erivable et strictement positive, alors la fonction ln(u)est d´erivable
et (ln u)′=u′
u.
D´emonstration. Exigible - On admet la d´erivabilit´e.
www.emmanuelmorand.net 2/14 SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques II. Fonctions usuelles
1.2 Fonctions puissances
D´efinition 3. On appelle fonction puissance d’exposant a∈R, la fonction not´ee x7→ xad´efinie sur
R∗
+par xa=ealn x.
Remarque 7. Cette d´efinition g´en´eralise l’´egalit´e xn=eln xn=enln xpour n∈Z.
Exercice 1. Montrer que les fonctions x7→ x,x7→ x2,x7→ 1
x,x7→ √xet x7→ 1 x√xsont des fonctions
puissances et donner leurs exposants.
Propri´et´e 8. La fonction puissance d’exposant a:x7→ xa,a∈R, est d´erivable sur R∗
+et sa d´eriv´ee est
la fonction x7→ axa−1.
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 9. On consid`ere a∈R, alors :
•Si a= 0, la fonction puissance d’exposant aest constante ´egale `a 1.
•Si a < 0, la fonction puissance d’exposant aest d´ecroissante sur R∗
+
de plus lim
x→0xa= +∞et lim
x→+∞xa= 0.
•Si a > 0, la fonction puissance d’exposant aest croissante sur R∗
+
de plus lim
x→0xa= 0 et lim
x→+∞xa= +∞.
D´emonstration. Exigible.
Remarque 8. La fonction puissance d’exposant a > 0admettant une limite finie en 0, on peut poser 0a= 0
pour a > 0.
Exercice 2. Repr´esenter graphiquement sur une mˆeme figure les fonctions puissances d’exposants 0,−1,
1,2et 1
2.
Propri´et´e 10. On consid`ere deux nombres r´eels aet bet x∈R∗
+, alors :
xaxb=xa+bx−a=1
xa
xa
xb=xa−b(xa)b=xab
D´emonstration. Exigible.
1.3 Fonctions exponentielles et logarithmes
D´efinition 4. Soit aun r´eel strictement positif, on appelle fonction exponentielle de base aet on note
expa, la fonction d´efinie sur Rpar expa(x) = exln a.
Remarque 9. On a expe= exp.
Remarque 10. Comme exln a=axpour a∈R∗
+et x∈R(cf fonctions puissances), on peut adopter
la notation expa(x) = ax, attention cependant `a ne pas confondre fonction exponentielle (la variable est
l’exposant) et fonction puissance (la variable est la base).
Propri´et´e 11. On consid`ere deux nombres r´eels xet yet a∈R∗
+, alors :
axay=ax+ya−x=1
ax
ax
ay=ax−y(ax)y=axy
D´emonstration. Exigible - Voir la propri´et´e 10.
www.emmanuelmorand.net 3/14 SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques II. Fonctions usuelles
Propri´et´e 12. La fonction exponentielle de base a:x7→ ax,a∈R∗
+, est d´erivable sur Ret sa d´eriv´ee est
la fonction x7→ (ln a)ax.
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 13. On consid`ere a∈R∗
+, alors :
•Si a= 1, la fonction exponentielle de base aest constante ´egale `a 1.
•Si a < 1, la fonction exponentielle de base aest d´ecroissante sur R
de plus lim
x→−∞
ax= +∞et lim
x→+∞
ax= 0.
•Si a > 1, la fonction exponentielle de base aest croissante sur R
de plus lim
x→−∞ ax= 0 et lim x→+∞ax= +∞.
D´emonstration. Exigible.
y= 0,5xy= 2x
Exercice 3. ´ Etudier les variations de la fonction x7→ xx.
D´efinition 5. Soit aun r´eel strictement positif diff´erent de 1, on appelle fonction logarithme de base a
et on note logala fonction d´efinie sur R∗
+par loga(x) = ln x
ln a.
Remarque 11. On a loge= ln.
Propri´et´e 14. On consid`ere deux nombres r´eels xet ystrictement positifs et aun nombre r´eel strictement
positif diff´erent de 1, alors :
loga(xy) = loga(x) + loga(y) loga1
x=−loga(x) logax y= loga(x)−loga(y)
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 15. La fonction logarithme de base a:x7→ loga(x),a∈R∗
+et a6= 1, est d´erivable sur R∗ +et
sa d´eriv´ee est la fonction x7→ 1
xln a.
D´emonstration. Exigible.
Propri´et´e 16. On consid`ere a∈R∗
+et a6= 1, alors :
•Si a < 1, la fonction logarithme de base aest d´ecroissante sur R∗
+
de plus lim
x→0loga(x) = +∞et lim
x→+∞loga(x) = −∞.
•Si a > 1, la fonction logarithme de base aest croissante sur R∗
+
de plus lim
x→0loga(x) = −∞ et lim
x→+∞loga(x) = +∞.
D´emonstration. Exigible.
www.emmanuelmorand.net 4/14 SupTSI1112Chap02Cours

Sup Tsi - Cours de math´ematiques II. Fonctions usuelles
y= log0,5(x)
y= log2(x)
Nous montrons enfin que les fonctions exponentielle de base aet logarithme de base asont r´eciproques l’une
de l’autre :
Propri´et´e 17. On consid`ere a∈R∗
+et a6= 1, alors :
expa(x) = y
x∈R⇐⇒ loga(y) = x y∈R∗
+
Si x∈R,loga(expa(x)) = xSi y∈R∗
+,expa(loga(y)) = y
D´emonstration. Exigible.
1.4 Croissances compar´ees
Les propri´et´es suivantes permettent de lever les cas d’ind´etermination dans les calculs de limites :
Propri´et´e 18. On a :
•lim
x→+∞
ln x
x= 0 et Si a∈R∗
+et b∈R∗ +,lim
x→+∞
(ln x)a
xb= 0
•lim
x→+∞
x
ex= 0 et Si a∈R∗
+et b∈R∗ +,lim
x→+∞
xa
(ex)b= 0
D´emonstration. Exigible - On montre que ln x6√xet ex>x2
2pour x > 0.
Exercice 4. ´ Etudier la limite en +∞de la fonction x7→ x2
2x.
Propri´et´e 19. On a :
•lim
x→0
x>0
xln x= 0 et Si a∈R∗
+et b∈R∗ +,lim
x→0
x>0
xa|ln x|b= 0
•lim
x→−∞ xex= 0 et Si a∈R∗
+et b∈R∗ +,lim
x→−∞ |x|a(ex)b= 0
D´emonstration. Exigible - On utilise la propri´et´e 18.
Exercice 5. ´ Etudier la limite en 0de la fonction x7→ x√xln x.
www.emmanuelmorand.net 5/14 SupTSI1112Chap02Cours