I. Nombres complexes

Sup Tsi - Cours de math´ematiques
I. Nombres complexes
1 Corps Cdes nombres complexes
Th´eor`eme 1. Il existe un ensemble Cdes nombres complexes qui poss`ede les propri´et´es suivantes :
–Ccontient R.
–Cest muni d’une addition et d’une multiplication qui suivent les mˆemes r`egles de calcul que dans R.
–Ccontient un nombre not´e itel que i2=−1.
– tout nombre complexe zadmet une unique ´ecriture sous la forme z=x+iy avec x, y ∈R, cette
´ecriture est appel´ee forme alg´ebrique du nombre z, le r´eel xest la partie r´eelle du nombre znot´ee
Re(z)et le r´eel yest la partie imaginaire du nombre znot´ee Im(z). Si y= 0 le nombre zest dit
r´eel et si x= 0 le nombre zest dit imaginaire pur.
D´emonstration. Non exigible.
Exercice 1. Calculer la forme alg´ebrique du nombre complexe z= 3 −(2 + i)(1 −3i).
D´efinition 1. Dans le plan muni d’un rep`ere orthonormal direct (O, −→ u , −→ v)on repr´esente le nombre com-
plexe z=x+iy par :
– Le point M(x;y).
– Le vecteur −−→ OM x
y
Le plan est alors appel´e plan complexe, l’axe des abscisses est appel´e axe des r´eels et l’axe des ordonn´ees
axe des imaginaires purs, le nombre complexe zest appel´e affixe du point Met du vecteur −−→ OM.
−→
u
−→
v
x
y M
O
Exercice 2. Repr´esenter dans le plan complexe les points A,B,Cet Dd’affixes respectives zA= 1 + 2i,
zB=−1−4i,zC=−3iet zD=−7. D´eterminer l’affixe du vecteur −−→ AB.
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D´efinition 2. Soit z=x+iy un nombre complexe, on appelle nombre complexe conjugu´e de zle
nombre complexe z=x−iy.
Propri´et´e 1. Soit zun nombre complexe, les points Met M′du plan complexe d’affixes respectives zet z
sont sym´etriques par rapport `a l’axe des r´eels.
−→
u
−→
v
x
y
−y
M(z)
M′(z)
O
D´emonstration. Exigible.
Exercice 3. Calculer la forme alg´ebrique du nombre complexe z=3−i
1 + 2i.(on pourra multiplier num´erateur et
d´enominateur par le conjugu´e du d´enominateur)
Propri´et´e 2. Soient z1, z2∈Con a :
•z1+z2=z1+z2
•z1−z2=z1−z2
•z1z2=z1z2
•pour z26= 0,z1
z2=z1 z2
D´emonstration. Exigible.
D´efinition 3. Soit z=x+iy un nombre complexe, on appelle module de zle nombre r´eel |z|=px2+y2.
Propri´et´e 3. Soit zun nombre complexe et Mson point image dans le plan complexe alors OM =|z|.
−→
u
−→
v
|z|
M(z)
O
D´emonstration. Exigible.
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Propri´et´e 4. Soient z, z1, z2∈Con a :
•zz =|z|2
• |z|=|z|
• | − z|=|z|
• |z|= 0 si et seulement si z= 0
• |z1z2|=|z1||z2|
•pour z6= 0,
1
z
=1
|z|
•pour z26= 0,
z1
z2
=|z1|
|z2|
• |z1+z2| ≤ |z1|+|z2|(in´egalit´e triangulaire)
D´emonstration. Exigible - Pour la preuve de l’in´egalit´e triangulaire, on remarque que |z1+z2|2=|z1|2+
|z2|2+ 2Re(z1z2).
2´ Ecriture trigonom´etrique d’un nombre complexe non nul
2.1 Groupe Udes nombres complexes de module 1
Propri´et´e 5. Tout nombre complexe de module 1peut s’´ecrire sous la forme cos θ+isin θavec θ∈R,θ
´etant d´efini de mani`ere unique `a 2πpr`es.
cos θ
sin θ
θ
D´emonstration. Exigible - On utilise les formules d’addition qui seront d´emontr´ees dans le chapitre II.
Propri´et´e 6. On note zθ= cos θ+isin θpour θ∈R, alors zθ=z−θ=1
zθ
et pour tous αet βappartenant
`a Ron a zαzβ=zα+β.
D´emonstration. Exigible.
D´efinition 4. Par analogie avec l’exponentielle r´eelle, on note d´esormais eiθ = cos θ+isin θpour θ∈R.
Exercice 4. Calculer eiπ (formule d’Euler), calculer einπ pour n∈Z.
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Propri´et´e 7. Soit θ∈Ret n∈Z, alors :
•cos θ=eiθ +e−iθ
2sin θ=eiθ −e−iθ 2i(formules d’Euler)
•(cos θ+isin θ)n= cos(nθ) + isin(nθ)(formule de Moivre)
D´emonstration. Exigible.
Exercice 5. Montrer en utilisant les formules d’Euler que (cos x)2=cos(2x) + 1
2.
Exercice 6. Montrer en utilisant la formule de Moivre que cos(2x) = (cos x)2−(sin x)2et sin(2x) =
2 cos xsin x.
Propri´et´e 8. formulaire de trigonom´etrie
•cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
sin(a+b) = sin acos b+ cos asin b
tan(a+b) = tan a+ tan b
1−tan atan b
(ces formules se retrouvent `a partir de l’´egalit´e eiaeib =ei(a+b))
•cos(2x) = (cos x)2−(sin x)2= 2(cos x)2−1 = 1 −2(sin x)2
sin(2x) = 2 sin xcos x
tan(2x) = 2 tan x
1−(tan x)2
(ces formules se d´eduisent des pr´ec´edentes)
•cos x=1−tan x
22
1 + tan x
22
sin x=2 tan x
2
1 + tan x
22
tan x=2 tan x
2
1−tan x
22
(ces formules se d´eduisent des pr´ec´edentes en remarquant que 1
cos x
22= 1 + tan x
22)
D´emonstration. Exigible.
2.2 Forme trigonom´etrique d’un nombre complexe non nul
Propri´et´e 9. Tout nombre complexe z=x+iy non nul peut s’´ecrire de mani`ere unique sous la forme
trigonom´etrique z=ρeiθ avec ρun r´eel strictement positif et θun r´eel d´efini `a 2πpr`es. De plus on a :
ρ=|z|=px2+y2cos θ=x
px2+y2sin θ=y px2+y2
Le r´eel θest appel´e argument du nombre complexe zet not´e arg(z).
D´emonstration. Exigible - On consid`ere le nombre complexe z
|z|.
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Propri´et´e 10. Soit z=ρeiθ avec ρ∈R∗
+et θ∈Run nombre complexe et Mson point image dans le plan
complexe alors le couple (ρ, θ)repr´esente les coordonn´ees polaires du point M.
−→
u
−→
v
ρ
O
M(z)
θ
Exercice 7. On consid`ere le nombre complexe z= 1 + i.´ Ecrire zsous forme trigonom´etrique, en d´eduire
la forme alg´ebrique de z100.
Exercice 8. On consid`ere les nombres complexes z1= 1 −iet z2=√3 + i.´ Ecrire z1et z2sous forme
trigonom´etrique, en d´eduire les modules et arguments de z1×z2et z1
z2
.
Propri´et´e 11. Soient z,z1et z2trois nombres complexes non nuls, alors :
•arg(z) = −arg(z) [2π]
•arg(−z) = arg(z) + π[2π]
•arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) [2π]
•arg 1
z=−arg(z) [2π]
•arg z1
z2= arg(z1)−arg(z2) [2π]
•arg(zn) = n×arg(z) [2π], n ∈Z
D´emonstration. Exigible - On utilise la forme trigonom´etrique.
2.3 Racines n-i`emes de l’unit´e
Propri´et´e 12. L’´equation zn= 1 avec z∈Cet n∈N∗admet nsolutions appel´ees racines n-i`emes de
l’unit´e et s’exprimant sous la forme zk=ei2kπ
npour k= 0,1,...,n−1.
D´emonstration. Exigible - On utilise la forme trigonom´etrique.
Exercice 9. D´eterminer sous forme alg´ebrique les racines cubiques de l’unit´e et les repr´esenter dans le
plan complexe.
Propri´et´e 13. L’´equation zn=aavec z∈C,a∈C∗et n∈N∗admet nsolutions s’exprimant sous la
forme zk=r1
neiα+2kπ npour k= 0,1,...,n−1o`u r=|a|et α= arg(a).
D´emonstration. Exigible - On utilise la forme trigonom´etrique.
Exercice 10. R´esoudre dans Cl’´equation z3= 8i.
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