Planche 1 Exercice 1. Soit n 1,...,n6 six nombres tels

Planche 1
Exercice 1. Soit n1, . . . , n6six nombres tels que n1+· · · +n6= 60. Montrer que parmi ces
nombres, il y en a au moins deux dont la somme est sup´erieure `a 20.
Exercice 2. A vous de trouver les d´efinition suivantes !
a) On rappelle qu’on note (un)n∈Nune suite r´eelle. On rappelle qu’une telle suite est en fait une
application ude Ndans R, qui `a tout n∈Nassocie un r´eel un∈R.
Formuler avec des quantificateurs, les d´efinitions suivantes :
i) La suite (un) est croissante.
ii) La suite (un) n’est pas croissante.
iii) La suite (un) n’est ni croissante, ni d´ecroissante.
iv) La suite (un) est croissante `a partir d’un certain rang.
v) Nier la proposition pr´ec´edente.
b) Soit f:R→Rune fonction.
On dit que fest major´ee sur Rsi, et seulement si, il existe un r´eel M∈Rtel que pour tout
x∈R,f(x)≤M.
i) Parmi les deux prop. suivantes laquelle est la d´ef. de la prop. fest major´ee :
–P1:∀x∈R,∃M∈R,f(x)≤M,
–P2:∃M∈R,∀x∈R,f(x)≤M.
ii) En d´eduire l’´ecriture quantifi´ee de la propri´et´e fn’est pas major´ee.
iii) Une fonction f∈ F (R,R) est dite born´ee sur Rsi, et seulement si, elle est major´ee et minor´ee
sur R.
Ecrire ce que signifie que fn’est pas born´ee sur R.
Exercice 3. a) Donner un exemple de deux propri´et´es math´ematiques P(x) et Q(x) d´ependant
d’un r´eel x(pr´edicats) telles que les deux propositions :
• ∀ x∈R,[P(x) ou Q(x)] ,
•[∀x∈R, P (x)] ou [∀x∈R, Q(x)],
ne soient pas ´equivalentes.
b) (]: Question difficile). Soient fet gdeux applications d’un ensemble Adans un ensemble
Btelles que ∀(x, y)∈A2, [f(x) = f(y) ou g(x) = g(y)]. Montrer que fou gest constante.
Exercice 4. a) Soit Iun sous-ensemble de Ret f:I→R. On rappelle que fest croissante sur
Isi, et seulement si, ∀(x, y)∈I2,x≤y⇒f(x)≤f(y). Dans cette d´efinition, on a vu qu’on ne
peut pas remplacer le ⇒par un ⇔.
Question : qu’en est-il pour la d´ef. de fstrictement croissante ?
b) La fonction f:R∗→R,x7→ 1/x est-elle d´ecroissante sur R∗?
c) On dit que fest monotone sur Isi, et seulement si, elle est croissante sur Iou d´ecroissante
sur I. Exprimer, avec des quantificateurs, la propri´et´e : fn’est pas monotone sur I.
Exercice 5. Soit f:R→Rune fonction. D´efinir avec des quantificateurs, les prop. suivantes :
a) fest p´eriodique de p´eriode 2.
b) fest p´eriodique.
Exercice 6. Soit fune fonction de Rdans R. On consid`ere les trois propri´et´es suivantes :
a) ∀x∈R,∃T∈R,f(x+T) = f(x).
b) ∀x∈R,∃T∈R r {0},f(x+T) = f(x),
c) ∀T∈R,∃x∈R,f(x+T) = f(x).
Pour chacune des trois propri´et´es pr´ec´edentes : (i) peut-on trouver une fonction qui v´erifie cette
propri´et´e ? (ii) peut-on trouver une fonction qui ne v´erifie pas cette propri´et´e ? (iii) Eventuellement,
que dire plus pr´ecis´ement ?
MPSI 1 1A partir du 10 septembre 2013