Mathématiques 2010-2011 Travaux Dirigés n 2 Exercice 1. On note

Math´ematiques 2010-2011
Travaux Dirig´es n◦2
Exercice 1.
On note par
n
P
i=1
xila somme des nnombres r´eels x1, . . . , xn.
Soient x1, . . . , xn, y1, . . . , ynet αdes nombres r´eels.
1) Ecrire en utilisant le symbole P:
(a) la somme des entiers naturels compris entre 5 et 100.
(b) la somme des carr´es des entiers compris entre 2 et 57.
(c) la somme des inverses des entiers compris entre 7 et 289.
(d) la somme des nombres pairs compris entre 3 et 65.
(e) la somme des produits de xipar yipour i variant de 1 `a 10.
(f) la somme des carr´es des xipour i variant de 1 `a 10.
(g) le carr´e de la somme des xipour i variant de 1 `a 10.
(g) la somme des produits de xipar αpour i variant de 1 `a 10.
2) Remplacer les pointill´es par des lettres pour que les ´egalit´es suiventes soient correctes ;
n
P
i=1
xi=
...
P
j=1
x... =
...
P
k=...
xk+1 =
n+1
P
p=..
x.. =
n
P
i=2
xi+x... =
...
P
i=3
x..
Exercice 2.
Sachant que
n
P
k=1
k=n(n+1)
2et
n
P
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6, calculer ou ´ecrire en fonction de nles
sommes suivantes :
(a)
18
P
k=1
k;(b)
45
P
k=1
k2; (c)
100
P
k=20
k2; (d)
n
P
k=1
(k+k2) ;
(e)
n
P
k=1
(2k+ 1) ; (f)
n
P
k=1
k(3k−5) ; (g)
n
P
k=1
(1
k+1 −1 k) ; (h)
18
P
k=1
(k+ 2) ;
(i)
18
P
k=1
k+ 2 ; (j)
18
P
k=5
k−2 ;
Exercice 3.
Soient p, q des propositions ( qui peuvent ˆetre vraies ou fausses).
Ecrire la table de v´erit´e de p⇒qet de q⇒p. On sait que p⇔qcorrespond `a (p⇒q)
et (q⇒p).Etablir sa table de v´erit´e. Que constatez vous ?
Exercice 4.
Soient p, q, r des propositions (qui peuvent ˆetre vraies ou fausses).
Faire la table de v´erit´e des expressions suivantes : pou q, (pou q) ou r, p ou (qou r),
(pou q) et r, (pet r) ou (qet r), non(pou q), non pet non q.
Quelles propri´et´es pouvez vous ´enoncer ? Comment les compl´eter ?
Traduire ses propri´et´es en langage des ensembles. Les illustrer par des diagrammes.
Exercice 5
D´emontrer par r´ecurrence les deux formules suivantes :
n
P
k=1
k=n(n+1)
2et
n
P
k=1
k2=n(n+1)(2n+1)
6.
NB : 2n2+ 7n+ 6 = (n+ 2)(2n+ 3).
Exercice 6.
aest un r´eel strictement positif. D´emontrer que pour tout naturel n: (1 + a)n≥1 + na.
1

Exercice 7.
Des r´esultats dans un service sp´ecialis´e d’un hopital ont montr´e que sur 50 patients 30
sont ob`eses, 25 souffrent d’hypertension art´erielle tandis que 20 ont un taux de cholesterol
trop ´elev´e. Parmi les 25 qui souffrent d’hypertension 12 ont un taux de cholest´erol trop ´elev´e ;
15 ob`eses souffrent d’hypertension et 10 ob`eses ont un taux de cholest´erol trop ´elev´e. ; de plus
5 patients ont les trois pathologies.
D´eterminer le nombre de patients qui n’ont aucune des trois pathologies `a l’aide d’un
diagramme.
Exercice 8.
Pour tout naturel n, on appelle factorielle nnot´ee n! le naturel d´efini par :
n! = 1 ×2×3×..... ×n
0! = 1
Pour tout non pose Pn=n!.Calculer 2!, 3!, 4!.
Montrer que quel que soit le naturel non a :Pn+1 −Pn=nPn.
D´eduisez-en que : 1 + 1! ×1 + 2! ×2 + .....(n−1)! ×(n−1) = n!.
Exercice 9.
On consid`ere un cercle sur lequel on prend npoints (n≥2).
On dessine toutes les cordes joignant ces npoints deux `a deux. On suppose que trois
quelconque de ces cordes ne sont pas concourantes. Notons Rnle nombre de r´egions int´erieures
au cercle ainsi d´etermin´ees.
D´eterminer R2, R3,R4et R5.Qu’ˆetes vous tent´e de conjecturer pour Rn?
D´eterminer R6`a l’aide d’un dessin, confrontez votre conjecture `a ce r´esultat.
Exercice 10.
On consid`ere un polyngone convexe avec nsommets.
On veut savoir combien il y a de diagonales, on rappelle qu’une diagonale est un segment
joignant deux sommets non cons´ecutifs.
D´eterminer le nombre de diagonales not´e dnpour n= 3,4,5,6.
D´emontrer par r´ecurrence que dn=n(n−3)
2.
Pouvez vous justiifier ce r´esultat en ”comptant” le nombre de diagonales quand le polygone
ansommets.
NB : n2−n−2 = (n+ 1)(n−2).
Exercice 11.
Montrer que dans un polygone convexe `a nsommets la somme des angles vaut (n−2)
×180◦.
Exercice 12.
a) V´erifier que : 1
k(k+1) =1 k−1 k+1 .
b) En d´eduire que :
1000
P
k=1
1
k(k+1) =1000 1001 .
Exercice 13.
Pour tout n∈Non note Pnet P0
nles deux propri´et´es :
1) Pn: 9 divise 10n−1
2) P0
n: 9 divise 10n+ 1
a) Calculer Pnet P0
npour les premi`eres valeurs de n.
b) D´emontrer que si Pnest vraie alors Pn+1 est vraie.
c) D´emontrer que si P0
nest vraie alors P0 n+1 est vraie.
d) Pour quelles valeurs de n Pnet P0
nsont-elles vraies ?
2