exercices semaine 05..

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CHAPITRE 2
Nombres complexes
et trigonométrie
Les méthodes à retenir
Thèmes abordés dans les exercices
•Calculs dans C
•Fonctions trigonométriques
•Racines n-ième d'un nombre complexe
•Équations du second degré à coefficients réels
•Applications de Cdans C
Points essentiels du cours
pour la résolution des exercices
•Forme algébrique d'un nombre complexe : parties réelles et imaginaires
•Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul : module et argument
•Équations et inéquations trigonométriques
•Formules d'Euler et de De Moivre
•Racines n-ième d'un nombre complexe, de l'unité
•Le nombre complexe j=ei2π
3=−1
2+i√3 2
•Formules de résolution dans Cdes équations du second degré à coefficients
réels
Les méthodes à retenir 15
Énoncés des exercices 18
Du mal à démarrer ? 21
Corrigés 23
Plan
•S'il s'agit d'un produit de formes algébriques, on développe.
➥ Exercice 2.1
•S'il s'agit d'un quotient de formes algébriques, on multiplie en haut
et en bas du trait de fraction par le complexe conjugué du dénomi-
nateur.
➥ Exercice 2.1
•Si un complexe est sous forme trigonométrique : z=reiθ, on le met
sous forme algébrique : z=rcos θ+ir sin θ.
➥ Exercice 2.1
Pour déterminer la forme
algébrique d'un nombre complexe
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Chapitre 2 • Nombres complexes et trigonométrie
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•À partir d'une forme algébrique, on calcule le module puis on le met
en facteur, ce qui donne alors sinus et cosinus de l'argument princi-
pal.
➥ Exercice 2.1
•S'il s'agit d'une somme ou d'une différence de formes trigonomé-
triques de module 1:eix +eiy ou eix −eiy, on factorise alors par
eix+y
2pour faire apparaître les formules d'Euler.
➥ Exercices 2.1 et 2.3
•S'il s'agit d'un produit : z=z1z2, on a les formules : |z|=|z1||z2|et
Arg(z)=Arg(z1)+Arg(z2)[2π].
➥ Exercice 2.1
•S'il s'agit d'un quotient : z=z1
z2
, on a les formules : |z|=|z1|
|z2|et
Arg(z)=Arg(z1)−Arg(z2)[2π].
➥ Exercice 2.1
Pour déterminer la forme
trigonométrique d'un nombre
complexe
•Pour résoudre une équation, on se ramène aux équations de réfé-
rences :
1)cos a=cos b⇐⇒ a=b[2π]ou a=−b[2π],
2)sin a=sin b⇐⇒ a=b[2π]ou a=π−b[2π],
3)tan a=tan b⇐⇒ a=b[π].
➥ Exercices 2.5 et 2.11
•Pour résoudre une inéquation, le mieux est d'utiliser le cercle trigo-
nométrique pour visualiser les intervalles solutions.
➥ Exercice 2.5
Pour résoudre équations
et inéquations trigonométriques
•Pour linéariser une expression trigonométrique (= transformer pro-
duits et puissances en additions), on commence par remplacer
chaque terme par son équivalent dans la formule d'Euler, puis on
développe.
➥ Exercice 2.2
•Pour calculer une somme d'expressions trigonométriques, on utilise
la forme algébrique de l'exponentielle complexe :
ez=eRe(z)!cos(Im(z)) +isin(Im(z))) .
➥ Exercices 2.3 et 2.5
•Toute expression du type acos x+bsin xpeut se mettre sous la
forme Acos(x+ϕ)en factorisant par √a2+b2.
➥ Exercice 2.5
Pour transformer des expressions
trigonométriques
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Les méthodes à retenir
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•S'il s'agit d'une équation du second degré à coefficients réels
(E):az2+bz +c=0(a=/0), on calcule le discriminant
"=b2−4ac. Si ">0alors (E)a deux racines réelles distinctes :
z=−b±√"
2a, si "=0alors (E)a une unique racine réelle (appe-
lée racine double) : z=−b
2a, si "<0alors (E)a deux racines
complexes pures conjuguées : z=−b±i√−"
2a.
➥ Exercices 2.4 et 2.5
•Les racines complexes de l'équation (E):z2−sz +p=0coïnci-
dent avec les solutions du système d'équations à deux inconnues :
(S)"x+y=s
xy =p.
➥ Exercice 2.6
•On peut aussi se ramener à une recherche de racines n-ième, c'est-à-
dire à une équation du type : zn=aoù a∈C∗. Cette dernière se
résout en donnant une solution évidente et en utilisant les racines n-
ième de l'unité : ei2kπ
noù k∈[[0,n−1]].
➥ Exercices 2.4, 2.9, 2.10 et 2.13
Pour résoudre une équation
polynômiale complexe
•On dispose de deux formules concernant le module :
|z|2=Re (z)2+Im(z)2=zz .
➥ Exercices 2.7 et 2.12
•Parties réelles et imaginaires vérifient : 2Re (z)=z+z,
2iIm (z)=z−z,Re (iz)=−Im (z)et Im (iz)=Re (z).
➥ Exercice 2.7 et 2.12
•On a les caractérisations suivantes :
1)z∈R⇐⇒ Im (z)=0⇐⇒ z=z⇐⇒ z=0ou
Arg(z)=0[π],
2)z∈iR⇐⇒ Re (z)=0⇐⇒ z=−z⇐⇒ z=0ou
Arg(z)=π
2[π].
➥ Exercice 2.12
•La forme algébrique est unique. La forme trigonométrique l'est aussi
en se rappelent que l'argument est défini modulo 2π.
➥ Exercices 2.4 et 2.8
•Le nombre complexe ω=ei2π
n, pour n∈N∗, vérifie ωn=1. Pour
n=3, on a ω=jet alors : j3=1,j2=jet 1+j+j2=0.
➥ Exercices 2.1, 2.14 et 2.15
Pour faire des calculs
sur les nombres complexes
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Chapitre 2 • Nombres complexes et trigonométrie
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•Mettre zsous forme algébrique : z=a+ib, donne une nouvelle
expression de f(z)en fonction de a=Re (z)et b=Im (z).
➥ Exercice 2.16
•Mettre zsous forme trigonométrique : z=reiθ, donne une nouvelle
expression de f(z)en fonction de r=|z|et θ=Arg(z)[2π].
➥ Exercice 2.16
Pour étudier une application
définie sur un sous-ensemble de C,
à valeurs complexes
Énoncés des exercices
Calculs de formes algébriques et trigonométriques
a) Déterminer les parties réelle et imaginaire de z=(1+i)2
(1−i)3. Donner sa forme trigonomé-
trique.
b) Soit z=#2−√3−i#2+√3. Calculer z2, puis déterminer module et argument de z.
c) Soit θ∈[0,2π]. Déterminer module et argument de eiθ+1et eiθ−1.
d) Simplifier les nombres complexes (1+j)5et 1
(1+j)4puis déterminer leurs formes algé-
brique et trigonométrique.
Exemples de linéarisations
Linéariser les expressions trigonométriques suivantes.
a) cos 4(x).
b) cos (2x)sin 3(x).
c) cos 2(x)sin (2x)cos (3x).
Calculs de sommes d'expressions trigonométriques
a) Calculer : S=cos $π
11%+cos $3π 11%+cos $5π 11%+cos $7π 11%+cos $9π 11%.
b) Soit n∈N. Calculer : Sn(x)=
n
&
k=0
cos (kx)et Tn(x)=
n
&
k=0
sin (kx), en fonction de
x∈R.
c) Soit n∈N. Calculer : Sn(x)=
n
&
k=0'n
k(cos (kx)et Tn(x)=
n
&
k=0'n
k(sin (kx), en fonc-
tion de x∈R.
d) Soit n∈N. Calculer : Sn(x)=
n
&
k=0
cos k(x)et Tn(x)=
n
&
k=0
sin k(x), en fonction de x∈R.
2.1
2.2
2.3
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© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
Énoncés des exercices
Équations polynômiales complexes
Résoudre dans Cles équations suivantes :
a) z2+z+1=0;
b) z4=i;
c) z3=−(2+i)3;
d) z6−2z3+2=0.
Équations et inéquations trigonométriques
Résoudre dans Rles équations ou inéquations trigonométriques suivantes :
a) 2 cos $2x+π
3%=√3;
b) sin (x)!−1
2;
c) sin 2(x)+3 cos (x)−1=0;
d) cos (2x)−√3 sin (2x)=1;
e) sin 2$2x+π
6%=cos 2$x+π 3%;
f) sin (x)+sin (2x)+sin (3x)=0.
Exemple de systèmes somme-produit
a) Résoudre dans C:(S))x+y=2
xy =2.
b) On pose : ω=ei2π
7,u=ω+ω2+ω4et v=ω3+ω5+ω6. Calculer u+v,uvet en dédui-
re la valeur de uet v.
Deux identités remarquables
a) Établir que :
∀(z1,z2)∈C2,|z1+z2|2+|z1−z2|2=2$|z1|2+|z2|2%
b) Soit (z1,z2,u)∈C3tel que : z1z2=u2. Montrer que :
|z1|+|z2|=****
z1+z2
2−u****+****
z1+z2
2+u****
Surjectivité de l'exponentielle complexe
Soit Z∈C∗. Résoudre dans Cl'équation d'inconnue z:ez=Z. Que peut-on en déduire sur la
fonction exponentielle complexe ?
Exemples d'équations complexes
a) Résoudre dans C:z=jz2.
b) Déterminer δ∈Ctel que ; δ2=−2(4+3i). En déduire les solutions dans Cde l'équation :
2z2−(1+5i)z−2(1−i)=0.
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
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