exercices semaine 05..

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Nombres complexes
et trigonométrie
Plan
CHAPITRE
2
Thèmes abordés dans les exercices
Les méthodes à retenir
15
•
Calculs dans C
Énoncés des exercices
18
•
Fonctions trigonométriques
Du mal à démarrer ?
21
•
Racines n-ième d'un nombre complexe
Corrigés
23
•
Équations du second degré à coefficients réels
•
Applications de C dans C
Points essentiels du cours
pour la résolution des exercices
•
Forme algébrique d'un nombre complexe : parties réelles et imaginaires
•
Forme trigonométrique d'un nombre complexe non nul : module et argument
•
Équations et inéquations trigonométriques
•
Formules d'Euler et de De Moivre
•
Racines n-ième d'un nombre complexe, de l'unité
√
3
1
i 2π
3
=− +i
Le nombre complexe j = e
2
2
Formules de résolution dans C des équations du second degré à coefficients
réels
•
•
Les méthodes à retenir
• S'il s'agit d'un produit de formes algébriques, on développe.
➥ Exercice 2.1
• S'il s'agit d'un quotient de formes algébriques, on multiplie en haut
Pour déterminer la forme
algébrique d'un nombre complexe
et en bas du trait de fraction par le complexe conjugué du dénominateur.
➥ Exercice 2.1
• Si un complexe est sous forme trigonométrique : z = reiθ , on le met
sous forme algébrique : z = r cos θ + ir sin θ .
➥ Exercice 2.1
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Chapitre 2 • Nombres complexes et trigonométrie
• À partir d'une forme algébrique, on calcule le module puis on le met
en facteur, ce qui donne alors sinus et cosinus de l'argument principal.
➥Exercice 2.1
• S'il s'agit d'une somme ou d'une différence de formes trigonoméPour déterminer la forme
trigonométrique d'un nombre
complexe
triques de module 1 : ei x + eiy ou ei x − eiy , on factorise alors par
ei
x+y
2
pour faire apparaître les formules d'Euler.
➥ Exercices 2.1 et 2.3
• S'il s'agit d'un produit : z = z 1 z 2 , on a les formules : |z| = |z 1 ||z 2 | et
Arg(z) = Arg(z 1 ) + Arg(z 2 ) [2π].
➥ Exercice 2.1
|z 1 |
z1
, on a les formules : |z| =
et
|z 2 |
z2
Arg(z) = Arg(z 1 ) − Arg(z 2 ) [2π].
➥ Exercice 2.1
• S'il s'agit d'un quotient : z =
• Pour résoudre une équation, on se ramène aux équations de références :
Pour résoudre équations
et inéquations trigonométriques
1) cos a = cos b ⇐⇒ a = b [2π] ou a = −b [2π],
2) sin a = sin b ⇐⇒ a = b [2π] ou a = π − b [2π],
3) tan a = tan b ⇐⇒ a = b [π].
➥ Exercices 2.5 et 2.11
• Pour résoudre une inéquation, le mieux est d'utiliser le cercle trigonométrique pour visualiser les intervalles solutions.
➥ Exercice 2.5
• Pour linéariser une expression trigonométrique (= transformer produits et puissances en additions), on commence par remplacer
chaque terme par son équivalent dans la formule d'Euler, puis on
développe.
➥ Exercice 2.2
Pour transformer des expressions
trigonométriques
• Pour calculer une somme d'expressions trigonométriques, on utilise
la forme algébrique de l'exponentielle complexe :
!
e z = eRe(z) cos(I m(z)) + i sin(I m(z))) .
➥ Exercices 2.3 et 2.5
• Toute expression du type a cos x + b sin x peut se mettre sous la
forme A cos(x + ϕ) en factorisant par
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√
a 2 + b2 .
➥ Exercice 2.5
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Les méthodes à retenir
• S'il s'agit d'une équation du second degré à coefficients réels
Pour résoudre une équation
polynômiale complexe
(E) : az 2 + bz + c = 0 ( a =
/ 0), on calcule le discriminant
2
" = b − 4ac. Si " > 0 alors (E) a deux racines réelles distinctes :
√
−b ± "
z=
, si " = 0 alors (E) a une unique racine réelle (appe2a
b
lée racine double) : z = − , si " < 0 alors (E) a deux racines
2a
√
−b ± i −"
.
complexes pures conjuguées : z =
2a
➥ Exercices 2.4 et 2.5
• Les racines complexes de l'équation (E) : z 2 − sz + p = 0 coïnci-
dent avec les solutions du système d'équations à deux inconnues :
"
x+y = s
(S)
.
xy
= p
➥ Exercice 2.6
• On peut aussi se ramener à une recherche de racines n-ième, c'est-àdire à une équation du type : z n = a où a ∈ C∗ . Cette dernière se
résout en donnant une solution évidente et en utilisant les racines n2kπ
ième de l'unité : ei n où k ∈ [[0,n − 1]] .
➥ Exercices 2.4, 2.9, 2.10 et 2.13
• On dispose de deux formules concernant le module :
|z|2 = Re (z)2 + Im(z)2 = zz .
➥ Exercices 2.7 et 2.12
• Parties réelles et imaginaires vérifient : 2Re (z) = z + z ,
2i Im (z) = z − z , Re (i z) = −Im (z) et Im (i z) = Re (z).
➥ Exercice 2.7 et 2.12
• On a les caractérisations suivantes :
Pour faire des calculs
sur les nombres complexes
1) z ∈ R ⇐⇒ Im (z) = 0 ⇐⇒ z = z
Arg(z) = 0 [π],
2) z ∈ i R ⇐⇒ Re (z) = 0 ⇐⇒ z = −z
π
Arg(z) = [π] .
2
⇐⇒
z=0
ou
⇐⇒ z = 0 ou
➥ Exercice 2.12
• La forme algébrique est unique. La forme trigonométrique l'est aussi
en se rappelent que l'argument est défini modulo 2π.
➥ Exercices 2.4 et 2.8
2π
• Le nombre complexe ω = ei n , pour n ∈ N∗ , vérifie ωn = 1. Pour
n = 3, on a ω = j et alors : j 3 = 1, j 2 = j et 1 + j + j 2 = 0.
➥ Exercices 2.1, 2.14 et 2.15
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Chapitre 2 • Nombres complexes et trigonométrie
• Mettre z sous forme algébrique : z = a + ib, donne une nouvelle
expression de f (z) en fonction de a = Re (z) et b = Im (z).
Pour étudier une application
définie sur un sous-ensemble de C,
à valeurs complexes
➥ Exercice 2.16
• Mettre z sous forme trigonométrique : z = reiθ , donne une nouvelle
expression de f (z) en fonction de r = |z| et θ =Arg(z)[2π].
➥ Exercice 2.16
Énoncés des exercices
2.1
Calculs de formes algébriques et trigonométriques
a) Déterminer les parties réelle et imaginaire de z =
trique.
b) Soit z =
(1 + i)2
. Donner sa forme trigonomé(1 − i)3
#
#
√
√
2 − 3 − i 2 + 3. Calculer z 2 , puis déterminer module et argument de z.
c) Soit θ ∈ [0,2π] . Déterminer module et argument de eiθ + 1 et eiθ − 1.
d) Simplifier les nombres complexes (1 + j)5 et
brique et trigonométrique.
2.2
1
puis déterminer leurs formes algé(1 + j)4
Exemples de linéarisations
Linéariser les expressions trigonométriques suivantes.
a) cos 4 (x) .
b) cos (2x) sin 3 (x) .
c) cos 2 (x) sin (2x) cos (3x) .
2.3
Calculs de sommes d'expressions trigonométriques
$ π%
$ π%
$ π%
$ π%
$π%
+ cos 3
+ cos 5
+ cos 7
+ cos 9
.
a) Calculer : S = cos
11
11
11
11
11
n
n
&
&
cos (kx) et Tn (x) =
sin (kx) , en fonction de
b) Soit n ∈ N . Calculer : Sn (x) =
k=0
x ∈ R.
c) Soit n ∈ N . Calculer : Sn (x) =
tion de x ∈ R .
d) Soit n ∈ N . Calculer : Sn (x) =
18
k=0
n ' (
&
n
k=0
n
&
k=0
k
cos (kx) et Tn (x) =
cos k (x) et Tn (x) =
n
&
k=0
n ' (
&
n
k=0
k
sin (kx) , en fonc-
sin k (x) , en fonction de x ∈ R .
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Énoncés des exercices
2.4
Équations polynômiales complexes
Résoudre dans C les équations suivantes :
a) z 2 + z + 1 = 0 ;
b) z 4 = i ;
c) z 3 = −(2 + i)3 ;
d) z 6 − 2z 3 + 2 = 0.
2.5
Équations et inéquations trigonométriques
Résoudre dans R les équations ou inéquations trigonométriques suivantes :
$
π% √
= 3 ;
a) 2 cos 2x +
3
1
b) sin (x) ! − ;
2
c) sin 2 (x) + 3 cos (x) − 1 = 0 ;
√
d) cos (2x) − 3 sin (2x) = 1 ;
$
$
π%
π%
= cos 2 x +
e) sin 2 2x +
;
6
3
f) sin (x) + sin (2x) + sin (3x) = 0 .
2.6
Exemple de systèmes somme-produit
)
x+y = 2
a) Résoudre dans C : (S)
.
xy
= 2
2π
b) On pose : ω = ei 7 , u = ω + ω2 + ω4 et v = ω3 + ω5 + ω6 . Calculer u + v, uv et en déduire la valeur de u et v.
2.7
Deux identités remarquables
a) Établir que :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
∀(z 1 ,z 2 ) ∈ C2 ,
2.8
$
%
|z 1 + z 2 |2 + |z 1 − z 2 |2 = 2 |z 1 |2 + |z 2 |2
b) Soit (z 1 ,z 2 ,u) ∈ C3 tel que : z 1 z 2 = u 2 . Montrer que :
*
* *
*
* z1 + z2
* * z1 + z2
*
− u ** + **
+ u **
|z 1 | + |z 2 | = **
2
2
Surjectivité de l'exponentielle complexe
Soit Z ∈ C∗ . Résoudre dans C l'équation d'inconnue z : e z = Z . Que peut-on en déduire sur la
fonction exponentielle complexe ?
2.9
Exemples d'équations complexes
a) Résoudre dans C : z = j z 2 .
b) Déterminer δ ∈ C tel que ; δ2 = −2(4 + 3i) . En déduire les solutions dans C de l'équation :
2z 2 − (1 + 5i)z − 2(1 − i) = 0.
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Chapitre 2 • Nombres complexes et trigonométrie
2.10 Exemple d'équation non polynômiale
Résoudre dans C : (E)
'
z+1
z−1
(3
+
'
z−1
z+1
(3
= 0.
2.11 Exemple d'équation trigonométrique
a) Soit n ∈ N∗ . Établir que :
n−1
&
∀x ∈]0,π[,
k=0
$
%
sin 2 (nx)
sin (2k + 1)x =
sin (x)
b) En déduire les solutions dans ]0,π[ de l'équation :
(E)
sin (x) + sin (3x) − sin (4x) + sin (5x) + sin (7x) = 0
2.12 Détermination de sous-ensembles de C
Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que :
a) |z| = |z − 6 + 5i| ;
b) z(2z + 1) = 1 ;
z + 4i
∈R;
5z − 3
(
'
z−1
=0;
d) Re
z+1
(
'
π
z+i
= − [π]
e) Arg
z−i
4
c)
2.13 Exemple d'équation polynômiale de degré n
Soit n ∈ N . Résoudre dans C l'équation : (z + 1)n = i(1 − z)n .
2.14 Sommes de coefficients binomiaux « de trois en trois »
Soit n ∈ N . On considère les sommes :
An =
n ' (
&
n
k=0
k
Bn =
,
n ' (
&
n
k
k=0
jk,
Cn =
n ' (
&
n
k=0
k
k
j ,
et les sommes
Sn =
& 'n (
,
3k
0!3k !n
Tn =
&
0!3k+1!n
'
n
3k + 1
(
,
a) Calculer An ,Bn et Cn en fonction de n.
b) En déduire Sn ,Tn et Un en fonction de n.
2.15 Une propriété des racines n-ièmes de l'unité
Soit n ∈ N∗ . On pose : ω = ei
20
2π
n .
Calculer :
n−1
&
(1 + ωk )n .
k=0
Un =
&
0!3k+2!n
'
n
3k + 2
(
.
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2.16 Exemple d'application de C dans C
On considère l'application :
f :
C\{−i}
−→
z
)−→
P = {z ∈ C/ I m(z) > 0} ,
On
pose
D = {z ∈ C/ |z| < 1} .
C
z−i
z+i
C = {z ∈ C/ |z| = 1 et z =
/ − i}
et
a) Déterminer l'image réciproque de la droite réelle par f.
b) Déterminer l'image directe de C par f.
c) Établir que f induit une bijection de P sur D, et déterminer son application réciproque.
Du mal à démarrer ?
(1 + i)3
a) Pour la forme algébrique, multiplier z par
. Pour
(1 + i)3
la forme trigonométrique, mettre le module en facteur.
2.6
b) Calculer z 2 .
2.7
2.1
c) Mettre en
iθ
facteur e 2 .
d) Utiliser les formules sur le nombre j.
b) Remarquer que ω7 = 1.
2.8
2.3
2.9
a) et b) Utiliser la formule de De Moivre et reconnaître une
somme géométrique.
c) Utiliser la formule du binôme et reconnaître une somme géométrique.
d) Reconnaître une somme géométrique.
2.4
a) Calculer le discriminant.
b) et c) Utiliser les racines de l'unité.
d) Utiliser le changement de variable : Z = z 3 .
2.5
√
3
.
a) Déterminer un α ∈ R tel que : cos α =
2
b) Utiliser le cercle trigonométrique.
c) Utiliser le changement de variable : z = cos x.
d) Mettre le membre de gauche sous la forme : A cos (x + ϕ).
%
$π
− θ , puis :
e) Utiliser les formules : cos θ = sin
2
− sin (θ) = sin (−θ).
f) Simplifier le membre de gauche.
a) Utiliser la formule : |z|2 = zz .
b) Élever le membre de droite au carré puis utiliser judicieusement le résultat du a).
2.2
a), b) et c) Utiliser les formules de De Moivre et d'Euler,
puis celle du binôme...
a) Résoudre l'équation du second degré associée.
Mettre Z sous forme trigonométrique puis chercher z
sous forme algébrique.
a) Chercher les solutions sous forme trigonométrique.
b) Chercher la solution sous forme algébrique, puis mettre
l'équation sous forme canonique.
z+1
.
z−1
2.10
Utiliser le changement de variable : Z =
2.11
a) Utiliser les formules de De Moivre et d'Euler.
b) Utiliser le a) pour une valeur particulière de n.
2.12
a) et b) Poser x = Re (z) et y = Im (z) .
c) Utiliser z ∈ R ⇐⇒ z = z.
d) Utiliser Re(z) = 0 ⇐⇒ z = −z .
π
e) Remarquer que Arg(1 − i ) = − [2π].
4
2.13
Utiliser le changement de variable : Z =
2.14
a) Utiliser la formule du binôme.
z+1
.
1−z
b) Utiliser le fait que 1 + j + j = 0.
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Chapitre 2 • Nombres complexes et trigonométrie
2.15
Faire apparaître une somme double en développant le
terme général à l'aide de la formule du binôme, puis permuter
les signes Σ.
2.15
22
a) Utiliser z ∈ f −1 (R) ⇐⇒ f (z) = f (z) .
b) Mettre z sous forme trigonométrique.
c) Commencer par montrer que f (P ) ⊂ D . Etablir ensuite que
tout élément de D admet un unique antécédent dans P par f.