Vecteurs aléatoires.

Université Pierre et Marie Curie 2015 – 2016
Probabilités de base - 4M010 Feuille 4
Vecteurs aléatoires.
1. Soient µet σ≥0deux nombres réels. Soit Xune variable aléatoire de loi normale
centrée réduite. Calculer la loi de σX +µ. En déduire l’espérance et la variance de la loi
N(µ, σ2).
2. a. Soient Xet Ydeux variables aléatoires telles que X∼ N(0,1) et Y∼ E(1).
a. Déterminer la loi de log |X|.
b. Déterminer la loi de X4.
c. Déterminer la loi de bYc, où pour tout réel x,bxcest la partie entière de x, définie
par bxc= max{n∈Z:n≤x}.
d. Déterminer la loi de cos(Y).
3. Soit θ > 0un réel. Soit (X, Y )un vecteur aléatoire dont la loi admet la densité
f(X,Y )(x, y) = θ2e−θ(x+y)[0,+∞[(x)[0,+∞[(y).
Déterminer la loi du vecteur aléatoire (X+Y, X −Y).
4. Soient pet qdeux réels compris entre 0et 1. Soit (X, Y )un vecteur aléatoire tel
que Xsuive la loi de Bernoulli de paramètre pet Yla loi de Bernoulli de paramètre q.
Montrer qu’on a
max(p+q−1,0) −pq ≤Cov(X, Y )≤min(p, q)−pq
et que les deux bornes de cette égalité peuvent être atteintes.
5. Soit X= (X1, . . . , Xn)un vecteur aléatoire sur Rndont la loi admet la densité
fX(x1, . . . , xn) = 1
(2π)n
2
e−1
2(x2
1+...+x2
n).
Pour tout vecteur ξ= (ξ1, . . . , ξn)∈Rn, on définit une variable aléatoire
Γξ=hξ, Xi=ξ1X1+. . . +ξnXn.
Pour tous ξet ηappartenant à Rn, calculer la loi de Γξ, puis calculer la covariance et le
coefficient de corrélation de Γξet Γη.
1

Pour tout réel ϕ, calculer le coefficient de corrélation des variables aléatoires X1et
(cos ϕ)X1+ (sin ϕ)X2.
6. Soit X= (X1, . . . , Xn)un vecteur aléatoire sur Rndont la loi admet la densité
fX(x1, . . . , xn) = 1
(2π)n
2
e−1
2(x2
1+...+x2
n).
a. Soit R:Rn→Rnune transformation orthogonale, c’est-à-dire une isométrie linéaire.
Déterminer la loi de R(X).
b. Montrer que la loi du vecteur aléatoire Z=(X1,...,Xn)
√X2
1+...+X2
n
est une mesure de probabilité
sur Rnqui donne une probabilité 1à la sphère unité, et qui donne la même probabilité à
deux parties qui diffèrent l’une de l’autre par une rotation.
On admettra qu’il existe une unique telle mesure de probabilités. On l’appelle la mesure
uniforme sur la sphère unité de Rn.
c. Déterminer la loi de la distance au plan de l’équateur d’un point choisi uniformément
au hasard sur la Terre.
7. Pour tout x∈R, on appelle partie entière de xet on note bxcl’unique entier relatif
tel que bxc ≤ x < bxc+ 1. On note {x}=x− bxcla partie fractionnaire de x.
On considère l’espace de probabilités ([0,1[,B[0,1[,Leb), où Leb désigne la mesure de
Lebesgue. Pour tout n≥1, on définit une variable Xnà valeurs réelles en posant
∀x∈[0,1[, Xn(x) = b2{2n−1x}c.
a. Soit n≥1un entier. Soient ε1, . . . , εn∈ {0,1}. On pose a=Pn
k=1 2−kεket b=a+2−n.
Montrer que
{x∈[0,1[: X1(x) = ε1, . . . , Xn(x) = εn}= [a, b[.
b. Déterminer la loi de Xnpour tout n≥1et la loi du vecteur aléatoire (X1, . . . , Xn).
La suite des variables aléatoires (Xn)n≥1, définie sur l’espace de probabilités ([0,1[,B[0,1[,Leb),
constitue un jeu de pile ou face infini.
8. Soit (Xn)n≥1la suite de variables aléatoires construites à l’exercice précédent.
a. Montrer que la série
X
n≥1
Xn10−n
est convergente définit une variable aléatoire, qu’on notera Y.
b. Montrer que la fonction de répartition de Yest continue.
c. Montrer qu’il existe une partie C⊂Rde mesure de Lebesgue nulle telle que P(Y∈
C) = 1. En déduire que la loi de Yn’admet pas de densité.
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