Vecteurs aléatoires.

Université Pierre et Marie Curie
Probabilités de base - 4M010
2015 – 2016
Feuille 4
Vecteurs aléatoires.
1. Soient µ et σ ≥ 0 deux nombres réels. Soit X une variable aléatoire de loi normale
centrée réduite. Calculer la loi de σX + µ. En déduire l’espérance et la variance de la loi
N (µ, σ 2 ).
2. a. Soient X et Y deux variables aléatoires telles que X ∼ N (0, 1) et Y ∼ E(1).
a. Déterminer la loi de log |X|.
b. Déterminer la loi de X 4 .
c. Déterminer la loi de bY c, où pour tout réel x, bxc est la partie entière de x, définie
par bxc = max{n ∈ Z : n ≤ x}.
d. Déterminer la loi de cos(Y ).
3. Soit θ > 0 un réel. Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire dont la loi admet la densité
f(X,Y ) (x, y) = θ2 e−θ(x+y) 1[0,+∞[ (x)1[0,+∞[ (y).
Déterminer la loi du vecteur aléatoire (X + Y, X − Y ).
4. Soient p et q deux réels compris entre 0 et 1. Soit (X, Y ) un vecteur aléatoire tel
que X suive la loi de Bernoulli de paramètre p et Y la loi de Bernoulli de paramètre q.
Montrer qu’on a
max(p + q − 1, 0) − pq ≤ Cov(X, Y ) ≤ min(p, q) − pq
et que les deux bornes de cette égalité peuvent être atteintes.
5. Soit X = (X1 , . . . , Xn ) un vecteur aléatoire sur Rn dont la loi admet la densité
fX (x1 , . . . , xn ) =
1
− 21 (x21 +...+x2n )
.
n e
(2π) 2
Pour tout vecteur ξ = (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ Rn , on définit une variable aléatoire
Γξ = hξ, Xi = ξ1 X1 + . . . + ξn Xn .
Pour tous ξ et η appartenant à Rn , calculer la loi de Γξ , puis calculer la covariance et le
coefficient de corrélation de Γξ et Γη .
1
Pour tout réel ϕ, calculer le coefficient de corrélation des variables aléatoires X1 et
(cos ϕ)X1 + (sin ϕ)X2 .
6. Soit X = (X1 , . . . , Xn ) un vecteur aléatoire sur Rn dont la loi admet la densité
fX (x1 , . . . , xn ) =
1
− 21 (x21 +...+x2n )
.
n e
(2π) 2
a. Soit R : Rn → Rn une transformation orthogonale, c’est-à-dire une isométrie linéaire.
Déterminer la loi de R(X).
b. Montrer que la loi du vecteur aléatoire Z = √(X12,...,Xn ) 2 est une mesure de probabilité
X1 +...+Xn
sur Rn qui donne une probabilité 1 à la sphère unité, et qui donne la même probabilité à
deux parties qui diffèrent l’une de l’autre par une rotation.
On admettra qu’il existe une unique telle mesure de probabilités. On l’appelle la mesure
uniforme sur la sphère unité de Rn .
c. Déterminer la loi de la distance au plan de l’équateur d’un point choisi uniformément
au hasard sur la Terre.
7. Pour tout x ∈ R, on appelle partie entière de x et on note bxc l’unique entier relatif
tel que bxc ≤ x < bxc + 1. On note {x} = x − bxc la partie fractionnaire de x.
On considère l’espace de probabilités ([0, 1[, B[0,1[ , Leb), où Leb désigne la mesure de
Lebesgue. Pour tout n ≥ 1, on définit une variable Xn à valeurs réelles en posant
∀x ∈ [0, 1[, Xn (x) = b2{2n−1 x}c.
P
a. Soit n ≥ 1 un entier. Soient ε1 , . . . , εn ∈ {0, 1}. On pose a = nk=1 2−k εk et b = a + 2−n .
Montrer que
{x ∈ [0, 1[: X1 (x) = ε1 , . . . , Xn (x) = εn } = [a, b[.
b. Déterminer la loi de Xn pour tout n ≥ 1 et la loi du vecteur aléatoire (X1 , . . . , Xn ).
La suite des variables aléatoires (Xn )n≥1 , définie sur l’espace de probabilités ([0, 1[, B[0,1[ , Leb),
constitue un jeu de pile ou face infini.
8. Soit (Xn )n≥1 la suite de variables aléatoires construites à l’exercice précédent.
a. Montrer que la série
X
Xn 10−n
n≥1
est convergente définit une variable aléatoire, qu’on notera Y .
b. Montrer que la fonction de répartition de Y est continue.
c. Montrer qu’il existe une partie C ⊂ R de mesure de Lebesgue nulle telle que P(Y ∈
C) = 1. En déduire que la loi de Y n’admet pas de densité.
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