Variables aléatoires

Université Pierre et Marie Curie 2013-2014
Probabilités élémentaires - LM345 Feuille 3 (du 30 septembre au 4 octobre 2013)
Variables aléatoires
1. On lance un dé tétraédral dont les faces sont numérotées de 1à4et un dé octaédral
dont les faces sont numérotées de 1à8. Calculer la loi de la somme S, du produit Pet
du plus grand Mdes deux nombres obtenus.
2. Soit Uune variable aléatoire de loi uniforme sur [0,1]. Déterminer la loi de −log U.
3. Soit Xune variable aléatoire de loi exponentielle de paramètre θ. Soit c > 0un
réel. Déterminer la loi de cX.
4. Soient X, Y, Z trois variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que Xet Y
ont même loi. Soit f:N→Nune fonction.
Est-il vrai que f(X)et f(Y)ont même loi ? Est-il vrai que X+Zet Y+Zont même
loi ?
5. On étudie des variables aléatoires qui ont une propriété d’absence de mémoire.
a) Soit Tune variable aléatoire à valeurs dans N. On suppose que pour tous n, m ≥0
entiers, on a
P(T≥n+m) = P(T≥n)P(T≥m).
Que peut-on dire de la loi de T?
b) Soit Sune variable aléatoire à valeurs dans R. On suppose que pour tous a, b ≥0
réels, on a
P(S > a +b) = P(S > a)P(S > b).
Que peut-on dire de la loi de S?
6. Un chimpanzé tape à la machine à écrire en appuyant chaque seconde sur une
touche choisie au hasard. Quelle est la probabilité qu’il parvienne à écrire Hamlet, c’est-
à-dire qu’à un certain moment il écrive d’une traite le texte de cette pièce ?
On rappelle que la mesure de Lebesgue, notée Leb, est l’unique mesure borélienne sur
Rqui, pour tous a, b ∈Rtels que a < b, associe à l’intervalle ouvert ]a, b[la mesure b−a.
Pour tout x∈R, on appelle partie entière de xet on note bxcl’unique entier relatif
tel que bxc ≤ x < bxc+ 1. On note {x}=x− bxcla partie fractionnaire de x.
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7. On considère l’espace de probabilités ([0,1[,B[0,1[,Leb). Pour tout n≥1, on définit
une variable Xnà valeurs réelles en posant
∀x∈[0,1[, Xn(x) = b2{2n−1x}c.
a) Représenter le graphe de X1, X2, X3vues comme fonctions de [0,1[ dans R.
b) Déterminer la loi de Xnpour tout n≥1.
c) Soit n≥1un entier. Soient ε1, . . . , εn∈ {0,1}. On pose a=Pn
k=1 2−kεket b=
a+ 2−n. Montrer que
{x∈[0,1[: X1(x) = ε1, . . . , Xn(x) = εn}= [a, b[.
En déduire la loi de la variable aléatoire (X1, . . . , Xn)à valeurs dans {0,1}n.
La suite des variables aléatoires (Xn)n≥1, définie sur l’espace de probabilités ([0,1[,B[0,1[,Leb),
constitue donc un jeu de pile ou face infini.
8. Dans l’exercice 7, on a montré comment simuler des variables indépendantes de
Bernouilli à partir d’une variable uniforme sur [0,1]. On montre dans cet exercice comment
simuler n’importe quelle variable réelle Xà partir d’une variable uniforme sur [0,1].
Soit Xune variable réelle, on pose FX(x) = P[X≤x]. On définit
F−1
X(y) = inf {x, FX(x)≥y}.
a- Montrer que F−1
Xest bien définie et finie sur ]0,1[
b- Si FXest continue strictement croissante, montrer que F−1
Xest la fonction réci-
proque habituelle.
c- Calculer F−1
Xdans le cas où Xest une variable Bernouilli de paramètre 1
2.
d- On admet avoir montré que F−1
Xest continue à gauche donc mesurable. Soit Uune
variable uniforme sur ]0,1[. Montrer que F−1
X(U)a la même loi que X.
Discussion : On peut donc simuler théoriquement toutes les variables aléatoires réelles
à partir de la variable uniforme. Si on a accès à un générateur de nombres aléatoires
entre 0et 1, il suffit de lui appliquer la fonction F−1
X. En pratique inverser FXde façon
implémentable peut se révéler difficile. Quelques exemples pratiques :
– Loi de Cauchy, variable de densité 1
π(1+x2), on a
F−1
X(y) = tan(π(y−1
2)).
– Loi exponentielle de paramètre λ:
F−1
X(y) = −1
λln(1 −y).
– Loi de Bernouilli de paramètre p:
F−1
X(y) = bp+yc
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