Introduction `a l`étude du mouvement des satellites artificiels 1

Introduction `a l’´etude du
mouvement des satellites artificiels
David S´en´echal
D´epartement de physique et Centre de recherche en physique du solide
Universit´e de Sherbrooke, Sherbrooke (Qu´ebec) J1K 2R1
(version 17/6/98)
Table des mati`eres
1. Introduction et forces en pr´esence . . . . . . . . . . . . . . . 2
1. Principes fondamentaux de la m´ecanique . . . . . . . . . . . 2
2. Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3. Le champ de gravitation terrestre . . . . . . . . . . . . . . 4
4. L’influence des autres astres . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5. L’effet de train´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2. Le probl`eme de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1. D´emonstration des trois lois de Kepler . . . . . . . . . . . . 10
2. Vitesse de l’objet en orbite . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3. ´ El´ements d’une orbite elliptique . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. ´ Equation de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5. Sommaire des relations importantes . . . . . . . . . . . . . 22
3. La th´eorie des perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1. La m´ethode de variation des constantes . . . . . . . . . . . 22
2. Exemple simple : l’oscillateur anharmonique . . . . . . . . . 24
3. Les crochets de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4. Les perturbations caus´ees par la forme aplatie de la Terre . . . 30
5. Les perturbations caus´ees par la traˆın´ee atmosph´erique . . . . 32
4. R´ef´erences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2
1. Introduction et forces en pr´esence
1.1 Principes fondamentaux de la m´ecanique
La m´ecanique est l’´etude du mouvement des corps, de ses causes comme
de sa forme pr´ecise. Les principes fondamentaux de la m´ecanique ont
´et´e synth´etis´es par Newton il y a trois si`ecles, mais plusieurs th´eories
math´ematiques formelles ont ´et´e ensuite formul´ees sur ces principes,
notamment par Euler, Lagrange, Hamilton et Jacobi. Par m´ecanique
c´eleste, on entend plus particuli`erement l’´etude du mouvement des astres.
L’astrodynamique est, quant `a elle, l’´etude du mouvement des engins
spatiaux. Bien sˆur, l’astrodynamique repose sur la m´ecanique c´eleste, qui elle
repose sur la m´ecanique en g´en´eral.
Les principes de base de la m´ecanique sont souvent ´enonc´es sous la forme des
trois lois de Newton :
1. Tout objet sur lequel n’agit aucune force se d´eplace `a une vitesse
constante en grandeur et en direction.
2. L’acc´el´eration d’un objet est proportionnelle `a la force appliqu´ee et dans
la mˆeme direction que celle-ci : F=ma, o`u mest la masse de l’objet.
3. Si un objet A exerce une force FAB sur un objet B, alors l’objet B exerce
la mˆeme force, mais oppos´ee, sur l’objet A : FBA =−FAB. C’est la loi
d’action-r´eaction.
Ces lois sont en fait plus subtiles que leur formulation courante peut lasser
croire :
1. L’´etat de mouvement d’un objet est avant tout une question de
r´ef´erentiel, c’est-`a-dire du syst`eme d’axes en mouvement utilis´e pour
d´ecrire le mouvement des objets. La premi`ere loi de Newton est
essentiellement la d´efinition d’un r´ef´erentiel inertiel : un r´ef´erentiel inertiel
est tel qu’un objet qui ne subit aucune force (l’id´ealisation d’un objet
extrˆemement ´eloign´e des autres objets) se d´eplace `a vitesse constante. Si
l’observateur se place dans un r´ef´erentiel non inertiel (ou acc´el´er´e), par
exemple un r´ef´erentiel en rotation, alors les lois du mouvement doivent
ˆetre modifi´ees pour incorporer ce qu’on appelle des forces d’inertie,
comme la force centrifuge, la force de Coriolis, etc.
2. La deuxi`eme loi de Newton (F=ma) n’a de sens que si on d´efinit la force
Fen fonction des distances et vitesses relatives des diff´erents objets en
cause. Elle ne constitue pas une d´efinition de la force, mais l’´enonc´e de son
effet.
3. L’un des difficult´es importantes pour les ´etudiants de la m´ecanique est la
nature vectorielle des lois du mouvement. Ce fut aussi une des principales
difficult´es rencontr´ees lors de l’´elaboration de ces lois au XVIIe si`ecle. Par
exemple, un objet en mouvement circulaire uniforme de rayon rposs`ede
une vitesse constante en grandeur, mais pas en direction; donc cet objet
est acc´el´er´e et son acc´el´eration est a=−(v2/r)ˆr, o`u ˆr est le vecteur
unitaire dans la direction radiale `a partir de l’origine.

3
Les lois du mouvement d´ecrites plus haut ne sont formul´ees que pour une
particule ponctuelle. Pour des objets plus complexes, compos´es d’un grand
nombre de particules (comme une plan`ete ou un satellite, par exemple), on
applique ces lois `a chaque particule composant l’objet. Cependant, les lois
de Newton restent applicables `a l’objet dans son ensemble si la position de
l’objet signifie la position de son centre de masse :
rcm =!imiri
!imi
(1.1)
Un objet macroscopique peut aussi ˆetre affect´e d’un mouvement de rotation
sur lui-mˆeme, de vibration, d’´ecoulement, etc. En principe, les conditions de
ces mouvements sont dict´ees par les lois de Newton.
D´eterminisme classique
La deuxi`eme loi de Newton F=maconstitue un ensemble de trois ´equations
diff´erentielles coupl´ees pour la position rd’une particule, o`u l’on suppose
que la force Fest une fonction de la position et, `a la rigueur, de la vitesse
de la particule. La solution de ce syst`eme d’´equations diff´erentielles est
d´etermin´ee uniquement par 6 conditions initiales, soit les trois composantes
de la position initiale et les trois composantes de la vitesse initiale. Le terme
“initial” r´ef`ere ici `a une “´epoque” donn´ee, un temps de r´ef´erence t0. Dans
le cas d’un satellite, les six conditions initiales constituent les ´el´ements de
l’orbite. S’il y a plus d’une particule en jeu (c’est-`a-dire si le mouvement de
la particule affecte le mouvement des autres objets pr´esents), alors il faut
appliquer F=ma`a chacune des Nparticules en jeu, ce qui m`ene `a3N
´equations diff´erentielles du deuxi`eme ordre coupl´ees, n´ec´essitant la donn´ee de
6Nconditions initiales. Une fois ces conditions sp´ecifi´ees, l’avenir du syst`eme
est compl`etement d´etermin´e : c’est le “d´eterminisme classique”. Notons que
ce n’est qu’un d´eterminisme de principe et non pratique, car beaucoup
de syst`emes m´ecaniques ont un comportement chaotique, ce qui fait que
d’infimes variations dans les conditions initiales peuvent avoir de tr`es grandes
cons´equences `a long terme.
1.2 Lois de conservation
L’analyse de probl`emes m´ecaniques est beaucoup simplifi´ee par l’existence de
lois de conservation, r´esultant g´en´eralement de sym´etries : homog´en´eit´e de
l’espace, du temps, isotropie de l’espace, etc.
Conservation de l’´energie
La plus connue de ces lois est la conservation de l’´energie. En m´ecanique, ce
principe de conservation n’est utile qu’en l’absence de processus dissipatifs
(de type frottement) car autrement les formes microscopiques d’´energie (la
chaleur) doivent ˆetre consid´er´ees. La conservation de l’´energie demande que
les forces en pr´esence puissent ˆetre d´eriv´ees d’un potentiel,1c’est-`a-dire
1Ou qu’elles soient perpendiculaires `a la vitesse, comme la force magn´etique sur une
particule charg´ee ´electriquement.
4
qu’elles soient les gradients d’une fonction :
F=−∇U(r) ou Fx=−∂U
∂x,F
y=−∂U
∂y,F
z=−∂U
∂z(1.2)
C’est le cas des forces fondamentales, dont la gravitation. Sous l’influence
d’une telle force, la vitesse d’une particule change, mais l’´energie totale,
d´efinie comme
E=1
2mv2+U(r),(1.3)
reste constante. Pour d´emontrer ce fait, il suffit de v´erifier que la d´eriv´ee
par rapport au temps de Es’annule lorsqu’on applique la deuxi`eme loi de
Newton : dE
dt =d dt "1 2mv2+U(r)#
=mv·dv
dt +∇U(r)·dr dt
=v·(ma−F) = 0
(1.4)
Le premier terme ( 1
2mv2) est appel´e ´energie cin´etique et le second (U(r))
´energie potentielle.
Conservation du moment cin´etique
Le moment cin´etique d’une particule est d´efini comme
J=mr∧v(1.5)
o`u∧symbolise le produit vectoriel. Le moment cin´etique est conserv´e dans
le temps si la force qui agit sur la particule est centrale, c’est-`a-dire toujours
dirig´ee vers l’origine (le centre d’attraction). En effet, en vertu de la r`egle
d’enchaˆınement,
dJ
dt =mdr dt ∧v+mr∧dv dt =mv∧v+mr∧a= 0 (1.6)
Le premier terme s’annule identiquement et le deuxi`eme s’annule si la force
est centrale, c’est-`a-dire si aest parall`ele `a r. La conservation du moment
cin´etique est tr`es importante dams l’´etude du probl`eme `a deux corps car elle
est `a la base de la deuxi`eme loi de Kepler.
1.3 Le champ de gravitation terrestre
La force de gravit´e
La force dominante dans le mouvement des astres et de tous les objets
macroscopiques suffisamment ´eloign´es les uns des autres est la force de
gravit´e, formul´ee par Newton : deux objets de masses m1et m2exercent
l’un sur l’autre une force d’attraction dirig´ee selon la droite qui les relie,

5
proportionnelle au produit de leurs masses et `a l’inverse du carr´e de la
distance qui les s´epare :
F12 =−Gm1m2
r2
12
ˆr12 =−Gm1m2
|r1−r2|3(r1−r2) (1.7)
o`u
F12: force exerc´ee sur l’objet 1 par l’objet 2.
m1,m2: masses des objets 1 et 2.
r12: distance entre les objets 1 et 2.
ˆr12: vecteur unit´e dirig´e de l’objet 2 vers l’objet 1.
G: constante de Cavendish (6,67 ×10−11 Nm2/kg2).
La caract´eristique fondamentale de la force gravitationnelle est qu’elle est
proportionnelle `a la masse de la particule qui subit la force, de sorte que
l’acc´el´eration de cette particule est la mˆeme quelle que soit sa masse. Ainsi,
l’acc´el´eration d’une particule de masse msitu´ee au point ret mise en
pr´esence de masses ponctuelles mi(i=1,2,...) dont les positions sont riest
g=G$
i
mi
|r−ri|3(r−ri) (1.8)
Ceci rend compte du fait que tous les objets “tombent” de la mˆeme
mani`ere, quelle que soit leur masse, si seules les forces gravitationnelles sont
en cause. C’est aussi la base du principe d’´equivalence d’Einstein, qui lui
permit d’´elaborer la th´eorie de la relativit´e g´en´erale. L’acc´el´eration gcaus´ee
par une distribution de masse est appel´ee le champ gravitationnel de cette
distribution.
La force gravitationnelle est conservative, c’est-`a-dire qu’elle d´erive d’un
potentiel. En effet, on montre facilement que
1
|r−r%|3(r−r%)=−∇ 1 |r−r%|(1.9)
et donc l’´energie potentielle d’une masse men pr´esence d’une distribution de
masses mi(i=1,2,...) est
U(r)=−Gm $
i
mi
|r−ri|(1.10)
On d´efinit un potentiel gravitationnel Vqui ne comprend pas le facteur m,
de sorte que le champ gravitationnel est g=−∇V:
V(r)= U
m=−G$
i
mi
|r−ri|(1.11)
6
Le potentiel gravitationnel d’une plan`ete aplatie
La formule (1.7) ne vaut a priori que pour des particules ponctuelles.
Mais Newton a aussi d´emontr´e qu’un objet dont la masse est r´epartie
avec sym´etrie sph´erique produit un champ gravitationnel comme si toute sa
masse ´etait concentr´ee en son centre. En premi`ere approximation, le champ
gravitationnel terrestre gest donc
g(r)=−GM⊕
ˆr
r2(1.12)
o`uM⊕est la masse de la Terre et rest la distance au g´eocentre. Le potentiel
gravitationnel correspondant est
V(r)=−GM⊕
r(1.13)
Comme la Terre n’est qu’approximativement sph´erique, son champ
gravitationnel comporte des corrections qui varient en fonction de rcomme
1/r3,1/r4, etc, accompagn´ees de d´ependances angulaires. Ces corrections
perturbent consid´erablement l’orbite elliptique des satellites artificiels.
En fonction de la densit´e ρ(r) de la Terre `a une position r`a l’int´erieur de
la Terre, le potentiel gravitationnel V(r)`a l’ext´erieur de la Terre s’exprime
comme une int´egrale :
V(r)=G%d3r%ρ(r%)
|r−r%|(1.14)
En substituant le c´el`ebre d´eveloppement en harmoniques sph´eriques
1
|r−r%|=1 r$
l,m
4π
2l+1"r% r#l
Y∗
lm(θ%,ϕ%)Ylm(θ,ϕ) (1.15)
on trouve
V(r)=G$
l,m
4π
2l+1
1
rl+1 Ylm(θ,ϕ)%d3r%ρ(r%)(r%)lY∗
lm(θ%,ϕ%) (1.16)
o`uθet ϕsont respectivement les angles polaire et azimutal (θest mesur´e`a
partir du pˆole). Supposons toutefois que la Terre a une sym´etrie azimutale,
c’est-`a-dire qu’elle poss`ede une axe de sym´etrie de rotation : son axe polaire.
En coordonn´ees polaires, ceci signifie que sa densit´e interne ρ(r, θ) ne d´epend
que de la coordonn´ee radiale ret de l’angle polaire θ. Dans ce cas, seuls les
termes avec m= 0 contribuent. Comme
Yl0(θ,ϕ)=&2l+1
4πPl(cos θ) (1.17)
o`uPl(x) est le polynˆome de Legendre d’ordre l, on trouve
V(r)=G$
l=0
Pl(cos θ)
rl+1 %d3r%ρ(r%,θ%)Pl(cos θ%) (1.18)

7
Signalons qu’on peut aussi utiliser la d´eclinaison δ(mesur´ee `a partir de
l’´equateur), telle que sin δ= cos θ. Rappelons aussi la forme explicite des
premiers polynˆomes de Legendre ;
P0(t) = 1
P1(t)=t
P2(t)=1
2(3t2−1)
P3(t)=1
2(5t3−3t)
(1.19)
Remarques :
1. Le premier terme de cette s´erie (l= 0) repr´esente la contribution d’une
Terre parfaitement sph´erique et est de loin le plus important :
V(l=0) =G
r%d3r%ρ(r%,δ%)=GM⊕ r(1.20)
2. Le deuxi`eme terme (l= 1) est nul si on place l’origine des coordonn´ees au
centre de masse de la Terre.
3. Le troisi`eme terme (l= 2) d´ecrit l’aplatissement de la Terre :
V(l=2) =1
2G(3 sin2δ−1) 1 r3%d3r%1 2ρ(r%,δ%)(3 sin2δ%−1) (1.21)
on voit que si la Terre est aplatie, cette contribution est n´egative (elle
serait positive si la Terre ´etait along´ee).
4. Le quatri`eme terme (l= 3) d´ecrit l’asym´etrie de la Terre entre les
h´emisph`eres nord et sud.
Pour simplifier, on ´ecrira le potentiel gravitationnel de la Terre comme
V=−µ
r'1−J2"R r#2
P2(sin δ)−J3"R
r#3
P3(sin δ)−···((1.22)
o`u les coefficients Jnsont sans dimension (sans unit´es), Rest le rayon moyen
de la Terre et µ=GM⊕.J2est de l’ordre de 10−3, alors que J3est plutˆot de
l’ordre de 10−6.
1.4 L’influence des autres astres
`
A premi`ere vue, il peut sembler curieux de tenir compte des effets de la
forme aplatie de la Terre (en particulier de J3, qui est tr`es petit) sur le
mouvement d’un satellite et de ne pas tenir compte de l’influence des autres
astres, en particulier du Soleil et de la Lune. En effet, le champ gravitationnel
du Soleil `a la position de la Terre est environ 6 ×10−4g0, o`u g0est le champ
gravitationnel de la Terre `a sa surface (9,8 m/s2). Cet effet semble donc plus
8
important que celui de J3. Autre paradoxe: le centre de masse Terre-Lune est
situ´e`a l’int´erieur de la Terre, mais `a environ 4 000 km de son centre (les 2/3
de son rayon). La Terre tourne donc autour de ce point en un mois. Pourquoi
alors accorder une importance particuli`ere au g´eocentre? D’autant plus que ce
mˆeme centre de masse Terre-Lune est en orbite autour du Soleil et se d´eplace
donc `a une vitesse consid´erable...
Ces soucis sont cependant injustifi´es, car un satellite subit du Soleil et de
la Lune le mˆeme champ gravitationnel que la Terre, `a peu de choses pr`es.
C’est ce “peu de choses” qu’il faut d´efinir. La diff´erence entre le champ
gravitationnel caus´e par un astre au centre de la Terre et le mˆeme champ `a
la position du satellite est appel´ee force de mar´ee. C’est effectivement cette
diff´erence qui cause les mar´ees et son effet sur un satellite en orbite est assez
faible, quoique croissant rapidement avec le rayon de son orbite. En somme,
plus le satellite est ´eloign´e de la Terre, moins les perturbations associ´ees `a
l’aplatissement de la Terre sont importantes et plus celles caus´ees par les
autres astres sont importantes.
Tableau 1.1 Calcul de la force de mar´ee caus´ee par le Soleil, la Lune et
Jupiter, sur un objet situ´e`a la surface de la Terre.
astre distance (m) masse (kg) g/g0force de mar´ee
Soleil 1,5×1011 2×1030 6,1×10−42,6×10−8
Lune 3,4×1087,3×1022 4,3×10−68,1×10−8
Jupiter 7,8×1011 1,9×1027 2,1×10−81,7×10−13
1.5 L’effet de train´ee
L’effet de train´ee de la haute atmosph`ere est le facteur principal qui fait
perdre au satellite son ´energie et qui le fait ´eventuellement s’´ecraser sur la
Terre ou se d´esint´egrer dans l’atmosph`ere. Cet effet est difficile `a d´ecrire en
d´etail car il d´epend de la forme pr´ecise du satellite, de son orientation et
de la densit´e de l’atmosph`ere qui, elle, d´epend de l’altitude. Cependant, il
est relativement simple de d´emontrer qu’un objet se d´epla¸cant dans un gaz
relativement rar´efi´e au repos subit une force de r´esistance (provenant des
collisions avec les mol´ecules du gaz) proportionnelle `a la densit´e du gaz, au
carr´e de la vitesse de l’objet et `a la section (aire transversale) du satellite. On
d´ecrit cette force par l’´equation suivante :
F=1
2CDAρv2(1.23)
o`uCDest un coefficient sans dimension, qui d´epend surtout du libre parcours
moyen 'des mol´ecules de l’atmosph`ere (CD= 2 quand 'est grand en
comparaison de la taille du satellite et CD= 1 dans le cas contraire).

9
2. Le probl`eme de Kepler
2.1 D´emonstration des trois lois de Kepler
´
Enonc´e des lois de Kepler
Dans l’histoire de la m´ecanique, le probl`eme de Kepler, c’est-`a-dire le calcul
de l’orbite d’une particule sous l’influence d’une force centrale en inverse du
carr´e de la distance, occupe une place tr`es importante. L’astronome allemand
Johannes Kepler ´enon¸ca trois lois qui portent son nom en 1609 (lois I et II) et
1618 (loi III), sur le mouvement des plan`etes du syst`eme solaire :
1. Les plan`etes d´ecrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des
foyers.
2. En des temps ´egaux, les rayons des plan`etes balaient des aires ´egales (loi
des aires).
3. Le rapport du carr´e de la p´eriode au cube du demi grand axe de l’ellipse
(T2/a3) est le mˆeme pour toutes les plan`etes.
Kepler parvint `a´enoncer ces lois `a partir de l’observation seule : ce sont
des lois empiriques. C’est Newton qui va d´emontrer math´ematiquement, vers
1686, que les trois lois de Kepler d´ecoulent des lois g´en´erales du mouvement
et de la force de gravit´e en inverse du carr´e de la distance (1/r2).
FA
B
C
D
Figure 2.1. Illustration de la loi des aires pour une orbite elliptique.
Le foyer F est `a l’origine. Les aires des secteurs AFB et CFD sont
´egales, si les temps pour aller de A `a B et de C `a D sont ´egaux.
Nous allons nous int´eresser au mouvement d’un objet ponctuel de masse m,
se d´epla¸cant dans le champ gravitationnel d’un astre de masse m%produisant
un champ gravitationnel `a sym´etrie sph´erique (on laisse tomber J2,J3, etc.).
On supposera que m%(m, de sorte que l’astre est `a toutes fins pratiques
fixe. Nous allons d´emontrer les trois lois de Kepler pour ce syst`eme, plus
certaines autres caract´eristiques du mouvement de l’objet.
Premi`erement, pla¸cons le centre d’attraction (i.e. le g´eocentre) `a l’origine des
coordonn´ees. Puisque la force exerc´ee sur l’objet est centrale, le moment
cin´etique J=mr∧vde l’objet est constant, ce qui signifie que l’objet se
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d´eplace toujours dans le plan perpendiculaire `a J(sa position et sa vitesse
sont constamment perpendiculaires `a J). Ce plan est appel´e plan orbital.
Utilisons sur ce plan les coordonn´ees polaires planes (r, ϕ). La vitesse d’un
objet se d´ecompose alors de la mani`ere suivante :
v=˙rˆr +r˙ϕˆϕ(2.1)
o`uˆr et ˆϕsont les vecteurs unitaires dans les directions radiale et azimutale
respectivement. Comme la position de l’objet est r=rˆr, le moment cin´etique
s’exprime alors ainsi :
J=mrˆr ∧(˙rˆr +r˙ϕˆϕ)=mr2˙ϕˆz =mhˆz (h=r2˙ϕ) (2.2)
D’autre part, en posant µ=Gm%, l’´energie totale de l’objet est
E=1
2mv2−µm r
=1
2m(˙rˆr +r˙ϕˆϕ)2−µm r
=1
2m˙r2+1 2mr2˙ϕ2−µm r
=1
2m˙r2+1 2mh2 r2−µm r
(2.3)
o`u nous avons exprim´e le deuxi`eme terme en fonction de la constante du
mouvement h. Comme Eet hsont des constantes (elles ne d´ependent que
des conditions initiales du mouvement), il est utile d’isoler ˙r, dans le but
d’obtenir une expression int´egrable pour r:
˙r=&2E
m+2µ r−h2 r2(2.4)
Dans un premier temps, nous allons d´eterminer la forme de l’orbite, sans se
soucier de d´eterminer `a quel instant telle partie de l’orbite est parcourue.
Autrement dit, nous allons ´eliminer le temps du probl`eme. ` A cette fin,
nous exprimons la diff´erentielle dr en fonction de dt et des constantes du
mouvement Eet h:
dt =dr
&2E
m+2µ r−h2 r2
(2.5)
remarquons ensuite que
h=r2˙ϕ=⇒dt =r2
hdϕ(2.6)
On peut donc r´ecrire (2.5) ainsi :
dϕ=dr
&2Er4
mh2+2µr3 h2−r2
(2.7)