Équation du second degré - E

Équation du second degré 1
Équation du second degré
En mathématiques, une équation du second degré, ou équation quadratique, est une équation polynomiale de
degré 2, c'est-à-dire qu'elle peut s'écrire sous la forme :
où x est l'inconnue et les lettres a, b et c représentent les coefficients, avec a différent de 0.
Dans l'ensemble des nombres réels, une telle équation admet au maximum deux solutions, qui correspondent aux
abscisses des éventuels points d'intersection de la parabole d'équation avec l'axe des abscisses
dans le plan muni d'un repère cartésien. La position de cette parabole par rapport à l'axe des abscisses, et donc le
nombre de solutions (0, 1 ou 2) est donnée par le signe du discriminant. Ce dernier permet également d'exprimer
facilement les solutions, qui sont aussi les racines de la fonction du second degré associée.
Sur le corps des nombres complexes, une équation du second degré a toujours exactement deux racines distinctes ou
une racine double. Dans l'algèbre des quaternions, une équation du second degré peut avoir une infinité de solutions.
Historique
Les équations du second degré sont au centre de l'algèbre babylonienne, dès avant le XVIIIe…siècle av.…J.-C.[1]. La
tablette d'argile BM 13901 a été qualifiée de « véritable petit manuel d'algèbre, consacré à l'équation du second degré
et aux systèmes d'équations, et donnant les procédures résolutoires fondamentales »[2].
Les équations du second degré ont été étudiées systématiquement par Al-Khwarizmi au IXe…siècle, dans un ouvrage
intitulé Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison qui, via le mot « restauration » (en arabe : al-jabr) a
donné son nom à l'algèbre. Al-Khawarizmi distingue six cas d'équations du premier ou second degré dans lesquels
les paramètres , et sont tous positifs :
1. les carrés égalent les racines : ;
2. les carrés égalent les nombres : ;
3. les racines égalent les nombres : ;
4. les carrés et les racines égalent les nombres : ;
5. les carrés et les nombres égalent les racines : ;
6. les racines et les nombres égalent les carrés : .
Il démontre les méthodes de résolution en suivant des raisonnements d'algèbre géométrique.
Éléments clé
Introduction par l'exemple
On recherche les éventuelles solutions de l'équation suivante[3] :
Le membre de gauche est appelé trinôme du second degré[4]. Il est composé de trois termes, tous de la même forme
: un nombre non nul que multiplie une puissance entière de x. Chaque terme est appelé monôme et, comme il en
existe trois, on parle de trinôme. La plus grande puissance de ces monômes est deux, pour cette raison, on parle de
second degré. L'expression 0.x2…+…x…+…1 n'est pas un trinôme : x…+…1, est un binôme du premier degré[5].
La méthode consiste à forcer l'apparition d'une première identité remarquable. On écrit le polynôme de la manière
suivante :

Équation du second degré 2
Les trois premiers termes sont ceux d'une somme remarquable. L'application d'une identité remarquable permet
d'écrire le polynôme de la manière suivante :
Un peu d'imagination permet d'appliquer une deuxième identité remarquable :
L'équation initiale s'exprime alors sous forme d'un produit de deux facteurs :
Un produit de deux facteurs est nul si, et seulement si, l'un des facteurs est nul[6]. Cette remarque permet de trouver
les deux solutions x1 et x2 :
Cette équation n'admet qu'une unique racine positive x1, cette valeur est appelée nombre d'or. Il est aussi possible de
résoudre une équation du second degré sans la moindre connaissance d'algèbre, le paragraphe méthode géométrique
montre comment s'y prendre.
Discriminant
Article détaillé : Discriminant.
On considère l'équation suivante, où a, b et c désignent des nombres réels et a est différent de 0 :
On dispose de la définition suivante[7]:
Définition du discriminant…—…Le discriminant de l'équation est la valeur Δ définie par :
Cette définition est la source du théorème associé à la résolution de l'équation du second degré, dans le cas où l'on
recherche des solutions réelles[8]:
Résolution de l'équation…—…Si le discriminant est strictement positif, l'équation admet deux solutions x1 et x2
données par les formules suivantes :
Si le discriminant est nul, l'équation admet une racine double :
Si le discriminant est strictement négatif, l'équation n'admet pas de solution réelle.

Équation du second degré 3
Interprétation graphique
Article détaillé : Fonction du second degré.
Le signe du discriminant apporte une information
sur le graphe de la fonction f.
Une manière d'étudier l'équation du paragraphe précédent est de
considérer la fonction f de la variable réelle et à valeurs réelles définie
par :
L'équation peut encore s'écrire f(x)…=…0. Les solutions de l'équation sont
les abscisses des points d'intersection du graphe de la fonction f et de
l'axe des x. Le graphe de la fonction f est appelé une parabole, elle
possède une forme analogue à celle des trois exemples présentés à
droite. Si a est positif, les branches de la parabole sont dirigées vers le
haut, comme pour les exemples jaunes ou bleus, sinon les branches
sont dirigées vers le bas, comme l'exemple rouge.
Si le discriminant est strictement positif, comme pour l'exemple bleu,
cela signifie que le graphe de f croise l'axe des abscisses en deux
points. Si le discriminant est nul, la configuration est celle de la parabole rouge, le graphe se situe soit dans le
demi-plan des ordonnées positives soit dans le demi-plan des ordonnées négatives et son unique extremum est sur
l'axe des abscisses. Dans le cas d'un discriminant strictement négatif, comme pour la parabole jaune, le graphe se
situe encore dans l'un des deux demi-plans précédents, mais cette fois l'extremum ne rencontre pas l'axe des
abscisses.
Ainsi, si le discriminant est strictement positif, le signe des valeurs que prend la fonction f entre les solutions est
l'opposé du signe des valeurs prises par f à l'extérieur du segment d'extrémités les solutions de l'équation[9].
Résolution dans l'ensemble des réels
Forme canonique
En vue de résoudre l'équation f(x)…=…0, où f est la fonction du paragraphe précédent, une méthode consiste à l'écrire
sous une forme plus adaptée. Comme la valeur a n'est pas nulle, il est déjà possible de la factoriser :
La méthode utilisée pour la résolution du premier exemple s'applique encore. Elle revient à forcer l'apparition d’une
identité remarquable de la forme avec et , en ajoutant et en
retranchant :
Cette forme est à l'origine d'une propriété et d'une définition[10]:
Définition de la forme canonique…—… L'équation du second degré peut s'écrire sous la forme suivante, dite
canonique, si Δ désigne le discriminant[10] :

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Exemples
Considérons l'équation suivante[11] :
Deux méthodes permettent de trouver l'expression de la forme canonique. Tout d'abord, f est définie par une identité
remarquable, on en déduit :
Il est aussi possible d'utiliser les formules de la définition, on trouve ici a…=…1, b…=…-4 et c…=…4. On en déduit que le
discriminant Δ est nul et que le coefficient α est égal à 2, ce qui donne à nouveau le résultat précédent.
Considérons maintenant le nouvel exemple[11]:
Si l'égalité définissant f(x) n'est plus une identité remarquable, la deuxième méthode est toujours efficace. On a a…=…2,
b…=…-6 et c…=…1. Ce qui permet d'effectuer les calculs suivants :
On en déduit la forme canonique :
Résolution de l'équation f(x) = 0
La résolution de l'équation utilise la forme canonique :
Discriminant strictement négatif
Si le discriminant est strictement négatif, la valeur β est strictement positive. La fonction f s'exprime comme le
produit de a et de la somme d'un terme positif (x…-…α)2 et d'un terme strictement positif β. On en déduit que, quelle
que soit la valeur de x, son image par f n'est jamais nulle, car produit de deux facteurs non nuls, ce qui montre
l'absence de solution dans l'ensemble des réels.
On peut tout de même trouver deux solutions en se plaçant dans l'ensemble des nombres complexes.
Discriminant nul
Si le discriminant est nul, le terme β l'est aussi et f(x)…=…a.(x…-…α)2. Cette expression est nulle si, et seulement si x est
égal à α. Une fois encore, on retrouve le résultat exprimé dans le deuxième paragraphe.
Discriminant strictement positif
Si le discriminant est strictement positif, en simplifiant par a, l'équation s'écrit encore, si δ désigne la racine carrée
du discriminant :
On reconnait une identité remarquable et l'équation s'écrit encore :
Un produit de deux nombres réels est nul si, et seulement si, l'un des deux facteurs du produit est nul, on en déduit
que l'équation est équivalente à l'une des deux équations :

Équation du second degré 5
En remplaçant α et δ par leur valeur, on retrouve bien l'expression déjà indiquée des deux solutions.
Propriétés
Forme réduite
Une équation du second degré n'apparaît pas toujours sous la forme étudiée jusqu'à présent. Considérons l'exemple :
Une analyse trop rapide pourrait laisser penser que les méthodes présentées ici ne sont pas adaptées pour une telle
équation. Pour le vérifier, le plus simple est de développer le terme de gauche. On obtient, à l'aide de deux identités
remarquables :
L'équation devient alors :
En simplifiant encore par 9, l'équation s'écrit : x2…+…x…+…1…=…0. Le discriminant est égal à -3, l'équation n'admet pas de
racine réelle. Pour pouvoir appliquer les techniques développées ici, il est utile d'exprimer l'équation sous la forme
étudiée jusqu'à présent. Cette forme porte un nom[11].
Définition de la forme réduite…—…La forme réduite d'une équation du second degré réelle, est la suivante, si a, b et c
sont trois nombres réels tels que a soit différent de 0.
Il existe trois formes importantes pour exprimer une équation du second degré, la forme réduite, la forme canonique
et, éventuellement la forme factorisée, qui s'écrit de la manière suivante :
Sous la forme factorisée, les solutions sont directement disponibles. Elles sont égales à x1 et x2.
Relations entre coefficients et racines
Article détaillé : Relations entre coefficients et racines.
Si les solutions, encore appelées racines, existent, qu'elles soient distinctes ou doubles[12], on dispose de deux
manières différentes de noter le polynôme, la forme factorisée et celle réduite. Avec les notations de l'article, on
obtient si x1 et x2 sont les deux racines:
Un développement de la forme de droite permet d'obtenir une nouvelle expression de la forme réduite :
Cela permet d'obtenir des relations entre les coefficients de l'équation et les solutions de l'équation[13].
Relations entre coefficients et racines…—… On dispose des deux relations suivantes :
Les égalités de cette nature se généralisent pour les équations définies par un polynôme de degré quelconque. Tel est
l'objet de l'article détaillé.