Exercice A8 1°) On peut écrire : x+y=2 xy = -4 ⇔ y=2-x x(2 - x) = -4 ⇔ y=2-x 2x - x2 = -4 ⇔ y=2-x 0 = x2 - 2x - 4 On peut résoudre l'équation x2 - 2x - 4 = 0 en calculant son discriminant : ∆ = (-2)2 - 4 x 1 x (-4) = 4 + 16 = 20 > 0 ∆ > 0 donc l'équation a deux solutions : x1 = 2 - 20 = 2 - 2 5 = 1 - 5 et x2 = 2 + 20 = 2 + 2 5 = 1 + 5 2x1 2 2x1 2 Sachant que y = 2 - x on en déduit deux valeurs correspondantes pour y : si x = 1 - 5 y = 2 - (1 - 5 ) = 1 + 5 et si x = 1 + 5 y = 2 - (1 + 5 ) = 1 - 5 x+y=2 sont donc xy = -4 Les couples (x ; y) vérifiant (1 - 5 ; 1 + 5 ) et (1 + 5 ; 1 - 5 ) 2°) Soient x et y deux nombres ayant pour somme S et pour produit P . On a donc x + y = S et x x y = P On en déduit y = S - x En remplaçant dans la deuxième équation on obtient : x (S - x) = P c'est-à-dire Sx - x2 = P c'est-à-dire 0 = x2 - Sx + P x est donc solution de l'équation X2 - SX + P = 0 De même sachant que x + y = S et x x y = P On obtient : x = S - y En remplaçant dans la deuxième équation on obtient : (S - y) x y = P c'est-à-dire Sy - y2 = P c'est-à-dire y est donc solution de l'équation X2 - SX + P = 0 0 = y2 - Sy + P Deux nombres x et y de somme S et de produit P sont solutions de l'équation X2 - SX + P = 0 . Avec S = 7 et P = 8, on obtient l'équation X2 - 7X + 8 = 0 Son discriminant est ∆ = (-7)2 - 4 x 8 x 1 = 49 - 32 = 17 Ses solutions sont 7 - 17 et 7 + 17 2 2 7 17 7 + 17 On peut vérifier que + = 7 et 7 - 17 x 7 + 17 = 49 - 17 = 32 = 8 2 2 2 2 4 4 7 17 7 + 17 Les nombres et ont pour somme 7 et pour produit 5 . 2 2 Avec S = 2 et P = 5, on obtient l'équation X2 - 2X + 5 = 0 Son discriminant est ∆ = (-2)2 - 4 x 1 x 5 = 4 - 20 = - 16 < 0 L'équation n'a pas de solutions. Il n'existe pas de nombres réels dont la somme est 2 et le produit 5 . http://xmaths.free.fr/ 1èreS − Trinôme du second degré − Exercices page 1 / 1