Exercice A8 - XMaths

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Exercice A8
1°) On peut écrire : x + y = 2
xy = -4 ⇔
y = 2 - x
x(2 - x) = -4 ⇔
y = 2 - x
2x - x
2
= -4 ⇔
y = 2 - x
0 = x
2
- 2x - 4
On peut résoudre l'équation x
2
- 2x - 4 = 0 en calculant son discriminant :
∆ = (-2)
2
- 4 x 1 x (-4) = 4 + 16 = 20 > 0
∆ > 0 donc l'équation a deux solutions :
x
1
= 2 - 20
2 x 1 = 2 - 2 5 2 = 1 - 5
et x
2
= 2 + 20
2 x 1 = 2 + 2 5 2 = 1 + 5
Sachant que y = 2 - x on en déduit deux valeurs correspondantes pour y :
si x = 1 - 5 y = 2 - (1 - 5 ) = 1 + 5 et si x = 1 + 5 y = 2 - (1 + 5 ) = 1 - 5
Les couples (x ; y) vérifiant x + y = 2
xy = -4 sont donc (1 - 5
; 1 + 5 ) et (1 + 5 ; 1 - 5 )
2°) Soient x et y deux nombres ayant pour somme S et pour produit P .
On a donc x + y = S et x x y = P
On en déduit y = S - x
En remplaçant dans la deuxième équation on obtient :
x (S - x) = P c'est-à-dire Sx - x
2
= P c'est-à-dire 0 = x
2
- Sx + P
x est donc solution de l'équation X
2
- SX + P = 0
De même sachant que x + y = S et x x y = P
On obtient : x = S - y
En remplaçant dans la deuxième équation on obtient :
(S - y) x y = P c'est-à-dire Sy - y
2
= P c'est-à-dire 0 = y
2
- Sy + P
y est donc solution de l'équation X
2
- SX + P = 0
Deux nombres x et y de somme S et de produit P sont solutions de l'équation X
2
- SX + P = 0 .
Avec S = 7 et P = 8, on obtient l'équation X
2
- 7X + 8 = 0
Son discriminant est ∆ = (-7)
2
- 4 x 8 x 1 = 49 - 32 = 17
Ses solutions sont 7 - 17
2 et 7 + 17 2
On peut vérifier que 7 - 17
2 + 7 + 17 2 = 7 et 7 - 17 2
x 7 + 17
2 = 49 - 17 4 = 32 4 = 8
Les nombres 7 - 17
2 et 7 + 17 2 ont pour somme 7 et pour produit 5 .
Avec S = 2 et P = 5, on obtient l'équation X
2
- 2X + 5 = 0
Son discriminant est ∆ = (-2)
2
- 4 x 1 x 5 = 4 - 20 = - 16 < 0
L'équation n'a pas de solutions.
Il n'existe pas de nombres réels dont la somme est 2 et le produit 5 .