Intervalles, inéquations, systèmes d`inéquations, problèmes

Exercices sur les intervalles, les
inéquations et les inégalités
A. Intervalles
Exercice 1
Ecrire mathématiquement les ensembles suivants :
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Exercice 2
Ecrire en compréhension les ensembles suivants :
(1)
[]
3, 8
(2)
][
,7−∞
(3)
[[
9, 4−
(4)
][
{}
4, 2+∞∪
(5)
][]
3, , 8−+∞∪−∞−
[
]
(6)
{}
4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11
(7)
]]]
3, 0 1, 5−∪
(8)
{}
2, 1, 0, 1, 2, 3, 4−−

Exercice 3
Représenter graphiquement les ensembles suivants sur la droite réelle et les
écrire aussi simplement que possible.
(1)
{} /3 et 3Ax x x=∈<>−R
(2)
{} /5 ou 2Bx x x=∈≥ ≤R
(3)
{} /4 8 et 6Cx x x=∈≤≤ ≠R
(4)
{} /3 ou 3Dx x x=∈<=R
(5)
{
}
/6Ex x=∈≤N
(6)
{
}
/ 3 7 ou 10Fx x x=∈<≤>R
(7)
{
}
/4 et 2Gx x x=∈><R
Exercice 4
Simplifier l’écriture des ensembles suivants. Aidez-vous au besoin d’une figure.
S’agit-il d’intervalles ?
(1)
[]]
1, 5 2, 6∩
[
[
[
[
[
[
[
[
[
[
(2)
[]]
1, 5 2, 6∪
(3)
[[]
3, , 8+∞∩−∞
(4)
[[]
3, , 8+∞∪−∞
(5)
[]]
3, 2 2, 8−− ∪−
(6)
[]]
3, 2 2, 8−− ∩−
(7)
[[
{}
5, 3 3−∪
(8)
[[
{}
5, 3 3−∩
(9)
[[]
4, 2,−+∞∪− +∞
(10)
[[]
4, 2,−+∞∩− +∞
(11)
][
,8−∞ ∩ N
(12)
[[]]]
6, 8 4, 12 12, 3−∪ ∪−
(13)
[[]]]
6, 8 4, 12 12, 3−∩ ∩−
B. Inéquations du 1er degré
Exercice 5
Résoudre les inéquations suivantes dans et donner l’ensemble des solutions : R
(1) 6
2
x≤
(2) 27
34
x
−≥
(3) 19
2
x−>
(4) 3
23
4
x+≤
(5) 35 7 4 1
1
36 8
xx x+−+
−>−
(6) 51 1
24
xx+−
−≥
1
8
(7)
()
313
22
52 4
xx
x+ −− +≤−
(8)
(
)
(
)
12 1 1 14
12
35 6 3
xx+−
⋅−>+
(9)
()
382 1 19
27 7
xx
x
−−
−<−
(10) 35 1 0
62
xx ++−≤

Exercice 6
Résoudre les problèmes suivants à l’aide d’une inéquation :
(1) Deux personnes A et B partagent la somme de 360 €. A obtient au moins
le double de B. Que peut-on dire de la part des deux personnes ?
(2) Deux côtés d’un triangle mesurent respectivement 4 et 6 cm. Que peut-
on dire de la longueur du 3e côté ?
(3) Dans un triangle isocèle, l’angle au sommet principal mesure au plus 24°.
Que peut-on dire des deux angles à la base ?
(4) Je possède 25 € et je veux acheter des clous de 2 cents la pièce. Combien
de clous puis-je acheter au plus ?
(5) Pierre dépense le tiers de son avoir, puis le cinquième du reste. Il
constate qu’il lui reste encore plus de 20 €, somme dont il a besoin pour
acheter son manuel de mathématiques. Que peut-on dire de son avoir
initial ?
(6) On multiplie un nombre par 5, on retranche 24 du produit, on divise le
reste par 6, on ajoute 13 au quotient et on trouve un résultat supérieur
au nombre initial. Que peut-on dire de ce nombre ?
(7) Un père a 38 ans. Ses enfants sont âgés de 12 ans et de 8 ans. Dans
combien d’années, l’âge du père sera-t-il supérieur ou égal à la somme
des âges de ses enfants ?
(8) On place un capital à 4%. Quel doit être ce capital pour produire un
intérêt annuel au moins égal à 100 € ?
(9) On place un capital à 5% d’intérêts annuels. Après 2 ans ce capital
devient au moins 4900 €. Quel était le capital initial ?
(10) Une fontaine remplit un bassin en 6 h, une autre en 8 h et une troisième
en 10 h. Elles coulent ensemble pendant 2 h et il manque moins de 26 hl
pour que le bassin soit entièrement rempli. Quelle peut être la capacité
de ce bassin ?

C. Systèmes d’inéquations
Exercice 7
Résoudre dans les systèmes d’inéquations suivants : R
(1)
(
)
(
)
45 5 3
2217 2
10
53 2
xx
xx x
+> +
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨−−
⎪−<−
⎪
⎪
⎩
6
(2)
()
14 12
866
55
17 13
64 2
xx
x
xxx
⎧
⎪+≥−
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪+>−
⎪
⎪
⎪
⎩
(3)
27 1 5
482
31423 2
12 4 3
xx x
xx
−+−
⎧
⎪−≤
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪− − −
⎪−<
⎪
⎪
⎩
1x
(4)
27 1 5
482
31423 2
12 4 3
xx x
xx
−+−
⎧
⎪−≤
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪−−
⎪−>
⎪
⎪
⎩
1
x−
(5)
12
12
3
45
x
x
xx
x
x
⎧
⎪+≥
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪−≤ +
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪+>
⎪
⎪
⎪
⎩
5
Exercice 8
Résoudre les problèmes suivants à l’aide d’un système d’inéquations :
(1) On ajoute 5 à un nombre donné, on multiplie la somme par 2 puis on
retranche 21 du produit. On obtient un résultat compris entre 45 et 50.
Que peut-on dire du nombre donné ?
(2) La longueur d’un rectangle est 8 cm, sa largeur est 5 cm. On prolonge
l’une des deux largeurs d’une certaine distance et on obtient un trapèze
dont l’aire est comprise entre 48 et 50 cm2. Quelle peut être la distance
ajoutée à la largeur initiale ?
(3) Paul a 14 ans, sa sœur Isabelle a 12 ans et leur mère en a 36. Dans
combien d’années l’âge de chacun des deux enfants est supérieur aux
deux tiers de l’âge de leur mère ?

D. Inéquations réductibles au 1er degré
Exercice 9
Résoudre les inéquations suivantes dans . R
(1)
23xx≤
(2)
(
)
(
)
2357xx−−<0
0
1
0
0
)
x
2
x
Les identités remarquable
s
:
()(
()
()
22
2
22
2
22
2
2
ab abab
aabb ab
aabb ab
−=−+
−+=−
++=+
)
(3)
()( )()
352
145 2xxx−− −≥
(4)
221xx≥−
(5)
2
96xx−>−
(6)
()
22
82 9xx−>
(7)
()
()
22
41 2 9 5 0xx−− +−≥
(8)
()
()
3
295 8 0xx−−≤
(9)
()( )
24
2147xx−+≤
(10)
()
2
211xx−≤ −
(11)
()()
2231xx x x−+−−>
(12)
()()(
2
34 54327xx−<−+
(13) (Indication : factoriser d’abord les 2 membres)
3
44xx x−≤−
(14)
()
2
2
930 25 42 1xx x−+> −
(15)
42
16xx≥
(16)
()
2
52 1 12 12 3xx⋅−≥− +−
Exercice 10
Résoudre les inéquations fractionnaires suivantes dans après avoir précisé
leur domaine.
R
(1) 23
0
35
x
x
−≥
+
(2) 38
4x≥ −
(3) 12 1
3
x
x
−≤
+
(4)
(
)
(
)
34
2
1
xx x
x
−++>
−
(5) 12xx
+≤
(6) 1
212
xx
xx
−
≥
+−1
(7)
()
53
13xx x +≥
+
(8)
()( )
91
41 2xx≥− −+
(9)
()
()
2
32
81 25 0
313 6 3
x
xxx
−≤
−++
Remarque importante : Dans les exemples suivants il faudra d’abord
factoriser tous les dénominateurs, puis seulement chercher le dénominateur
commun !