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Compléments sur les fonctions
I. Cosinus et sinus d’un nombre réel
I.1 Définitions
C le cercle trigonométrique de centre O et (O ; i, j) un repère orthonormal direct
Pour tout réel t, il existe un unique point M de C tel que ( i, OM) = t (modulo 2).
On note par t une mesure de l’angle orienté (, ). L’abscisse de M dans (O ; , ) est cos t.
On note par t une mesure de l’angle orienté (, ). L’ordonnée de M dans (O ; , ) est sin t.
On a
La tangente de t, notée tan t, est le quotient sin t
cos t si t  
 + k où k 
ZZ
tan t est l’abscisse dans le repère (A, j) du point T de la tangente à C en A, on a AT = tan t j.

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I.2 Formules connues (Rappels)
Pour tout x IR :
– 1 cos x 1 ; – 1 sin x 1 ; cos² x + sin² x = 1
cos (x + 2k  ) = cos x (k
ZZ
) ; sin (x + 2k  ) = sin x (k
ZZ
)
 Formules d’addition a et b étant deux réels
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b ; cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a ; sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
 Formules de duplication Pour tout réel a ,
sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos²a – sin²a ; cos 2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
cos²a = 1 + cos 2a
2 et sin²a = 1 – cos 2a 2
 Cosinus et sinus des angles associés Pour tout réel x :
cos ( – x) = cos x
sin ( – x) = – sin x
cos ( – x) = – cos x
sin ( – x) = sin x
cos ( + x) = – cos x
sin ( + x) = – sin x
cos
2– x = sin x
sin
2– x = cos x
cos
2 + x = – sin x
sin
2 + x = cos x
 Equation cos x = a avec a réel
si a > 1 l’équation n’a pas de solution
si a 1 : on pose a = cos , on a cos x = cos 
kxoukx 22 
où k et k’ sont deux entiers relatifs
En particulier cos x = –1
kx 2
où k est un entier relatif
cos x = 0
kx  2
où k est un entier relatif
cos x = 1
kx 2
où k est un entier relatif
 Equation sin x = b avec b réel
si b > 1 l’équation n’a pas de solution
si b 1 : on pose b = sin , on a sin x = sin 
kxoukx 22 
où k et k’ sont deux entiers relatifs
En particulier
sin x = –1
kx 2
2
où k est un entier relatif
sin x = 0
kx 
où k est un entier relatif
sin x = 1
kx 2
2
où k est un entier relatif
 Cosinus et sinus d’angles connues
x
0
π
Cos x
1
0
- 1
Sin x
0
1
0

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II. Etude des fonctions cosinus et sinus
II.1 Définitions
La fonction qui a tout réel x associe l’abscisse d’un point M du cercle trigonométrique est la fonction cosinus.
La fonction qui a tout réel x associe l’ordonnée d’un point M du cercle trigonométrique est la fonction sinus.
On a :
cos : [ – 1 ; 1]
x  cos x
sin : [ – 1 ; 1]
x  sin x
II.2 Propriétés
On a :
Périodicité : Pour tout réel x, cos ( x + 2) = cos x et , sin ( x + 2) = sin x
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2
 On étudie une fonction périodique de période p sur un intervalle de longueur p.
Parité : Pour tout réel x, cos ( – x) = cos x et sin ( –x) = – sin (x)
On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
 Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
II.3 Dérivabilité
On a vu : activité 2 page 92
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0. Généralisons :
Les fonctions cos et sin sont dérivables sur . Pour tout réel x, cos’(x) = – sin (x) et sin’(x) = cos (x)
Démonstration …
II.4 Tableau de variations
La périodicité et la parité permettent d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur [0 ; ].
x
0 
cos’(x)
0 – 0
cos
1
– 1
x
0 
sin’(x)
+ 0 –
sin
1
0 0
II.5 Représentations graphiques
y=cos(x)
y=sin(x)
2 3 4 5-1-2-3-4-5
2
3
4
-1
-2
-3
-4
0 1
1
x
y

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III. Dérivée de fonctions composées
III.1 Dérivée x  f (ax + b)
f une fonction dérivable sur un intervalle I, a et b deux réels. Soit J un intervalle tel que :  x  J, ax + b  I .
La fonction g : x  f (ax + b) est dérivable sur J et, pour tout x  J :
Démonstration …
III.2 Dérivée x 
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction f : x  est dérivable sur I et, pour tout x  I :
On obtient la formule
Démonstration …
III.3 Dérivée x 
Soit n   *.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , et dans le cas où n < 0, ne s’annulant pas sur I.
La fonction f : x  est dérivable sur I et, pour tout x  I :
On obtient la formule 
Démonstration …
III.4 Généralisation
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et v une fonction dérivable sur un intervalle J tel que : pour tout x  I, u(x)  J.
La fonction f = v u est dérivable sur I et, pour tout x  I, f’(x) = v’[u(x)] u’(x).