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Compléments sur les fonctions
I. Cosinus et sinus d’un nombre réel
I.1 Définitions

 

C le cercle trigonométrique de centre O et (O ; i , j ) un repère orthonormal direct

 
Pour tout réel t, il existe un unique point M de C tel que ( i , OM) = t (modulo 2).
On note par t une mesure de l’angle orienté ( ⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗). L’abscisse de M dans (O ;⃗ , ⃗) est cos t.
On note par t une mesure de l’angle orienté ( ⃗,⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗). L’ordonnée de M dans (O ;⃗ , ⃗) est sin t.
On a
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗
⃗
La tangente de t, notée tan t, est le quotient sin t si t   + k où k ZZ
cos t






tan t est l’abscisse dans le repère (A, j ) du point T de la tangente à C en A, on a AT = tan t j .
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I.2 Formules connues (Rappels)
Pour tout x  IR :


– 1  cos x  1 ; – 1  sin x  1 ; cos² x + sin² x = 1
cos (x + 2k  ) = cos x
(k  ZZ) ; sin (x + 2k  ) = sin x
(k  ZZ)
Formules d’addition a et b étant deux réels
cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b
sin (a – b) = sin a cos b – sin b cos a
;
;
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Formules de duplication Pour tout réel a ,
sin 2a = 2 sin a cos a ; cos 2a = cos²a – sin²a ; cos 2a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
cos²a = 1 + cos 2a
et sin²a = 1 – cos 2a
2
2

Cosinus et sinus des angles associés Pour tout réel x :
cos ( – x) = cos x
cos ( – x) = – cos x
cos ( + x) = – cos x
cos – x = sin x
2 

cos  + x = – sin x
2 

sin ( – x) = – sin x
sin ( – x) = sin x
sin ( + x) = – sin x
sin – x= cos x
2 
sin  + x = cos x
2 
Equation cos x = a avec a réel
si a > 1 l’équation n’a pas de solution
si a  1 : on pose a = cos , on a cos x = cos   x    2k ou x    2k
En particulier
cos x = –1  x    2k
où k et k’ sont deux entiers relatifs
où k est un entier relatif

 k où k est un entier relatif
2
cos x = 1  x  2k où k est un entier relatif
cos x = 0  x 

Equation sin x = b avec b réel
si b > 1 l’équation n’a pas de solution
si b  1 : on pose b = sin , on a sin x = sin   x    2k ou x      2k
où k et k’ sont deux entiers relatifs
En particulier
sin x = –1  x  
sin x = 0  x  k
2
 2k
x
0
Cos x
1
Sin x
0
où k est un entier relatif
où k est un entier relatif

 2k
2
Cosinus et sinus d’angles connues
sin x = 1  x 


où k est un entier relatif
π
√
√
√
√
0
√
1
√
√
√
-1
0
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II. Etude des fonctions cosinus et sinus
II.1 Définitions
La fonction qui a tout réel x associe l’abscisse d’un point M du cercle trigonométrique est la fonction cosinus.
La fonction qui a tout réel x associe l’ordonnée d’un point M du cercle trigonométrique est la fonction sinus.
On a :
cos : 
x
[ – 1 ; 1]
cos x
sin : 
x
[ – 1 ; 1]
sin x
II.2 Propriétés
On a :
Périodicité : Pour tout réel x, cos ( x + 2 ) = cos x et , sin ( x + 2 ) = sin x
On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période 2
 On étudie une fonction périodique de période p sur un intervalle de longueur p.
Parité : Pour tout réel x, cos ( – x) = cos x et sin ( –x) = – sin (x)
On dit que la fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire.
 Dans un repère orthogonal, la représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
La représentation graphique d’une fonction paire est symétrique par rapport à l’origine du repère.
II.3 Dérivabilité
On a vu : activité 2 page 92
Les fonctions cosinus et sinus sont dérivables en 0. Généralisons :
Les fonctions cos et sin sont dérivables sur . Pour tout réel x, cos’(x) = – sin (x) et sin’(x) = cos (x)
Démonstration …
II.4 Tableau de variations
La périodicité et la parité permettent d’étudier les fonctions sinus et cosinus sur [0 ; ].
x
cos’(x)
0
0
1
–
0
x
sin’(x)
y
4
cos
0
+
–
0
1
sin
–1
0
3
0
II.5 Représentations graphiques
2
1
y=sin(x)
-5
-4
y=cos(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
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-3
III. Dérivée de fonctions composées
III.1 Dérivée x
f (ax + b)
f une fonction dérivable sur un intervalle I, a et b deux réels. Soit J un intervalle tel que :
La fonction g : x
f (ax + b) est dérivable sur J et, pour tout x J :
( )
(
)
x
J, ax + b
I.
Démonstration …
III.2 Dérivée x
√ ( )
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction f : x
√ ( ) est dérivable sur I et, pour tout x I :
( )
( )
√ ( )
On obtient la formule
(√ )
√
Démonstration …
III.3 Dérivée x
( ( ))
Soit n  *.
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I , et dans le cas où n < 0, ne s’annulant pas sur I.
( ( )) est dérivable sur I et, pour tout x I :
La fonction f : x
( )
( ) ( ( ))
On obtient la formule
(
)
Démonstration …
III.4 Généralisation
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, et v une fonction dérivable sur un intervalle J tel que : pour tout x  I, u(x)  J.
La fonction f = v  u est dérivable sur I et, pour tout x  I, f’(x) = v’[u(x)]  u’(x).
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