XMP 97-98_____DM N°9 - f-dupre-mp

XMP 2010-2011
DM N°8
Introduction
Dans tout ce problème, les espaces vectoriels considérés seront des R-espaces vectoriels. On appelle algèbre tout Respace vectoriel A qui est muni d'une opération interne nommée multiplication ou produit, associative, distributive à droite
comme à gauche par rapport à l'addition de A, et possédant un élément neutre que l'on notera 1 ou 1A . On demande aussi
d'avoir la propriété de pseudo-associativité suivante :
∀a, b ∈ A, ∀λ ∈ R, a(λb) = (λa)b = λ(ab) .
Si cette multiplication est commutative, l'algèbre est dite commutative. La dimension d'une algèbre est sa dimension
en tant que R-espace vectoriel. Une sous-algèbre de A est un sous-ensemble non vide de A qui est lui-même une algèbre
(pour les mêmes opérations) et qui possède le même neutre multiplicatif que A. On vérifie sans difficulté que pour que B
soit une sous-algèbre de A, il faut et il suffit que ce soit un sous-espace vectoriel de A, contenant 1, et stable pour la multiplication.
On appelle morphisme d'algèbre entre deux algèbres A et B une application linéaire f de A dans B vérifiant :
∀a, a′ ∈ A, f(aa′) = f(a)f(a′) et f(1A) = 1B .
Un morphisme d'algèbre qui est une bijection est appelé isomorphisme d'algèbre. On vérifie alors que sa bijection
réciproque est également un morphisme d'algèbre. On dira que deux algèbres sont isomorphes s'il existe un isomorphisme
d'algèbre entre les deux.
Dans tout le problème, n désigne un entier strictement positif. Dans ce cas, Mn(R) est l'espace vectoriel des matrices
carrées d'ordre n à coefficients réels ; c'est une algèbre pour les opérations habituelles. L'élément neutre pour le produit est
la matrice identité notée In .
La trace d'une matrice carrée est la somme de ses éléments diagonaux. On rappelle que l'ensemble des matrices scalaires, ainsi que l'ensemble des matrices diagonales, forment tous deux une sous-algèbre de Mn(R) .
Ce problème étudie certaines propriétés des algèbres, et, en particulier, s'intéresse aux algèbres qui sont des corps,
c'est-à-dire dans lesquelles tout élément non nul admet un inverse pour le produit.
I. Étude d'un exemple
1.
Soit A une matrice quelconque de M2(R) . Vérifier que :
A2 − tr(A)A + det(A)I2 = 0 .
2.
3.
Soit A une matrice non scalaire de M2(R) ; on note R[A] l'ensemble :
R[A] = {M ∈ M2(R) / ∃a, b ∈ R, M = aI 2 + bA} .
Vérifier que R[A] est une sous-algèbre de dimension 2 de M2(R) .
a. Montrer que R[A] contient une matrice B vérifiant B2 = −I 2 si, et seulement si, A vérifie :
(tr A)2 < 4 det A .
b. On suppose que la condition précédente est vérifiée. Vérifier qu'alors I2 et B forment une base de R[A] , et en
déduire un isomorphisme d'algèbre entre R[A] et le corps C des complexes.
Prouver que dans ce cas, A possède des racines carrées, c'est-à-dire qu'il existe des matrices R de M2(R) telles
que R2 = A .
4.
On suppose que A est non scalaire et qu'elle vérifie :
(tr A)2 = 4 det A .
Déterminer toutes les matrices de R[A] telles que M 2 = 0 , et en déduire que A n'est pas un corps.
1
5. Soit B une matrice non scalaire de M2(R) . On lui associe l'algèbre R[B] comme dans la question 1.2.. Démontrer
que si A et B sont semblables, R[A] et R[B] sont des algèbres isomorphes.
6.
On suppose que A est telle que :
(tr A)2 > 4 det A .
On note α et β les deux racines (réelles et distinctes !) du polynôme X 2 − tr(A)X + det(A) .
a. Prouver que :
(A − αI 2)(A − β I2) = 0 .
b. Prouver que la matrice A − αI 2 n'est pas inversible.
c. En déduire, en revenant aux applications linéaires, que A est semblable à la matrice diagonale :
D = ⎡α 0 ⎤ .
⎢⎣ 0 β ⎥⎦
d. Prouver que R[A] est isomorphe à l'algèbre des matrices diagonales. Est-ce que R[A] est un corps ?
e. Soit R une matrice de M2(R) , s'il en existe une, telle que R2 = D .
Prouver que R et D commutent. En déduire que R est diagonale.
Prouver que D possède des racines carrées dans M2(R) si, et seulement si, α et β sont des réels positifs.
Combien D possède-t-elle de racines carrées dans M2(R) ?
f. Prouver que A possède des racines carrées dans M2(R) .
II. Quelques résultats généraux
Soit D une algèbre de dimension finie n.
Soit a un élément de D. On considère l'application Φa de D dans D définie par :
∀x ∈ D, Φ a(x) = ax .
On note B une base de D, et on désigne par Mat B(Φa) la matrice de Φa dans la base B.
Montrer que l'application de D dans Mn(R) qui à un élément a de D associe Mat B(Φa) est un morphisme injectif
d'algèbre.
En déduire que D est isomorphe à une sous-algèbre de Mn(R) .
1.
2. On suppose que D est le corps C des nombres complexes, que l'on munit de la base B = (1, i) . Pour tout complexe
z = a + ib (a et b réels), écrire Mat B(Φ z) .
3. Soit maintenant A une sous-algèbre de Mn(R) . On s'intéresse à quelques cas où l'on peut affirmer que A est, ou n'est
pas, un corps.
a. On suppose que A est intègre, c'est-à-dire que pour A et B éléments de A, on a l'implication :
AB = 0 ⇒ A = 0 ou B = 0 .
Montrer que si A est un élément non nul de A, l'application Φ A : X a AX est un isomorphisme de l'espace
vectoriel A, et en déduire que A est un corps.
b. On suppose que A contient une matrice non scalaire A qui possède une valeur propre (c'est-à-dire un réel λ tel
que la matrice A − λI n ne soit pas inversible). Prouver que A n'est pas un corps.
En déduire que dès que A contient une matrice non scalaire M qui est semblable à une matrice diagonale ou à
une matrice triangulaire, A n'est pas un corps.
III. L'algèbre des quaternions
On suppose qu'il existe deux matrices A et B de Mn(R) telles que :
(∗) : A2 = −In, B2 = −In, AB + BA = 0 .
2
1.
Démontrer que n est pair.
2.
On suppose dans cette question que n = 2 , et on note u l'endomorphisme de matrice A dans la base canonique de R 2 .
a. Prouver que u est un isomorphisme de R 2 , et que pour tout vecteur x non nul de R 2 , la famille ( x, u(x) ) est
libre.
b. En déduire que A est semblable à la matrice J = ⎡ 0 − 1⎤ .
⎢⎣ 1 0 ⎥⎦
c. Trouver la forme générale des matrices M de M2(R) qui vérifient JM + MJ = 0 .
d. En déduire que, pour n = 2 , il n'existe pas de matrices A et B vérifiant les relations (∗) .
3.
On revient au cas général, et on choisit, en supposant qu'elles existent, deux matrices A et B vérifiant les relations (∗) .
a. Démontrer que le sous-espace vectoriel H engendré par les matrices In , A, B et AB est une sous-algèbre de
Mn(R) .
b. Lorsque t, x, y et z sont des réels, calculer le produit :
(tI n + xA + yB + zAB)(tI n − xA − yB − zAB) .
c. En déduire que les quatre matrices In , A, B et AB forment une base de H, et que H est un corps.
4.
On suppose dans toute la suite du problème que n = 4 .
On définit alors par blocs les matrices A et B de M4(R) par :
0 ⎤, B = ⎡ 0 − I 2 ⎤ et C = AB .
A = ⎡J
⎢⎣ I2
0 ⎥⎦
⎢⎣ 0 − J ⎥⎦
où J est la matrice définie à la question III.2.b..
a. Vérifier que les matrices A et B vérifient les conditions (∗) .
On appellera donc H le sous-espace vectoriel de M4(R) engendré par I4 , A, B et C = AB . Ses éléments sont appelés
quaternions d'Hamilton. La base (I4, A, B, C) de H sera notée B.
b. Soit M une matrice non nulle de H. Vérifier que tM est encore dans H. Quel lien y a t-il entre M −1 et tM ?
IV. Les automorphismes de l'algèbre des quaternions
1.
On appelle quaternion pur un élément de H qui est une matrice antisymétrique.
a. Montrer que l'ensemble L des quaternions purs est un sous-espace vectoriel de dimension 3 de H, de base
C = (A, B, C) .
b. L est-il une sous-algèbre de H ?
2. On munit L de la structure d'espace euclidien telle que la base C soit orthonormée. Le produit scalaire de deux éléments M et N de L sera noté (M N ) , et la norme euclidienne de M s'écrit M .
Vérifier que :
∀M, N ∈ L, 1 (MN + NM) = −(M N )I 4 .
2
3. Vérifier qu'un quaternion est pur si, et seulement si, son carré est une matrice scalaire de la forme λI4 où λ est un réel
négatif.
4. Soit φ un isomorphisme d'algèbre de H dans lui-même. Démontrer qu'il transforme tout quaternion pur en un quaternion pur de même norme, et que la restriction de φ à L est un endomorphisme orthogonal (c'est-à-dire qui conserve la
norme).
5. Soient M et N deux quaternions purs. On veut démontrer que si M et N ont même norme, alors il existe P élément de
H, non nul, tel que M = P−1NP .
3
a. Commencer par le cas où M et N sont proportionnelles.
b. On suppose maintenant que M et N ne sont pas proportionnelles.
Vérifier que si M et N ont même norme, on a :
2
M(MN) − (MN)N = M (M − N) .
En déduire une matrice non nulle P telle que MP = PN .
c. Montrer qu'alors, si on écrit P = αI 4 + Q avec α réel et Q dans L, Q est orthogonal à M et à N.
En déduire que tout isomorphisme d'algèbre φ de H dans lui-même est de la forme :
φ(M) = P−1MP ,
où P est un élément non nul de H (on pourra observer qu'un tel isomorphisme est déterminé par l'image de A et de B,
et commencer par chercher les isomorphismes qui laissent A invariante).
6.
-------------------------------
4