Complément mathématique Nombres complexes 1 Introduction

Complément mathématique
Nombres complexes
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Introduction
Les nombres complexes ont été introduits (en extension des nombres réels)
pour donner une solution aux équations du type
x2 + x + 1 = 0,
dont le discriminant ∆ = −3 est négatif. Pour ce faire, on définit :
1. Nombre imaginaire pur :
√
i := + −1,
(1)
de sorte que l’équation précédente a comme solutions
√
1
x± = (1 ± i 3).
2
(2)
2. Nombre complexe :
x± que l’on vient d’écrire est un exemple de nombre complexe. En
général, un nombre complexe est de la forme
z = a + ib,
a, b ∈ R
(3)
a est appelé ‘partie réelle‘ de z, b sa ‘partie imaginaire’,
a = Re(z),
Exemple :
b = Im(z)
(4)
√
Im(x+ ) = + 3
Re(x+ ) = 1,
3. Plan complexe :
L’ensemble des nombres complexes est désigné C
C := {z = a + ib|(a, b) ∈ R2 }.
(5)
On voit que l’on peut identifier C avec le plan R2 . On parle ainsi de
‘plan complexe‘ pour C et un nombre complexe est représenté par un
vecteur dans le plan R2 .
1
2
Opérations sur les nombres complexes
1. Conjugaison complexe :
Le conjugué complexe de z = a + ib est, par définition :
z ∗ = a − ib,
Re(z ∗ ) = Re(z),
Im(z ∗ ) = −Im(z).
(6)
2. Somme :
Soit z1 = a1 +ib1 , z2 = a2 +ib2 . La somme des deux nombres complexes,
z1 , z2 est définie par
z = z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ),
(7)
C’est donc la somme des deux vecteurs représentant z1 et z2 . On peut
récrire cette définition sous la forme
Re(z1 +z2 ) = Re(z1 )+Re(z2 ),
Im(z1 +z2 ) = Im(z1 )+Im(z2 ). (8)
On note en particulier :
1
Re(z) = (z + z ∗ ),
2
1
i
Re(z) = (z − z ∗ ) = − (z − z ∗ ).
2i
2
(9)
(10)
3. Produit :
Soit z1 = a1 +ib1 , z2 = a2 +ib2 . Le produit des deux nombres complexes,
z1 , z2 est définie par
z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a1 b1 ),
(11)
c. à d. :
Re(z1 z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) − Im(z1 )Im(z2 ),
(12)
Im(z1 z2 ) = Re(z1 )Im(z2 ) + Im(z1 )Re(z2 ).
(13)
Notons que le produit de z avec lui même est complexe, mais que le
produit de z avec son conjugué complexe, z ∗ , est réel :
zz ∗ = a2 + b2 = z ∗ z.
Ceci définit le module de (la longueur du vecteur) z :
√
√
√
|z| = a2 + b2 = zz ∗ = z ∗ z.
2
(14)
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Représentation polaire
On peut toujours écrire
z = |z|(cos θ + i sin θ),
θ ∈ [0, 2π]
(15)
comme pour tout vecteur du plan R2 (avec vecteurs de base (1, 0), (0, i)).
On peut montrer la relation suivante :
eiθ = cos θ + i sin θ,
(16)
de sorte que le nombre complexe z s’écrit encore (relation d’Euler) :
z = |z|eiθ .
(17)
θ est appelé (angle de) phase du nombre complexe z.
Notons que le facteur de phase eiθ est un nombre complexe de module unitaire :
√
|eiθ | = eiθ e−iθ = 1
(18)
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