Complément mathématique Nombres complexes 1 Introduction

Compl´ement math´ematique
Nombres complexes
1 Introduction
Les nombres complexes ont ´et´e introduits (en extension des nombres r´eels)
pour donner une solution aux ´equations du type
x2+x+ 1 = 0,
dont le discriminant ∆ = −3 est n´egatif. Pour ce faire, on d´efinit :
1. Nombre imaginaire pur :
i:= +√−1,(1)
de sorte que l’´equation pr´ec´edente a comme solutions
x±=1
2(1 ±i√3).(2)
2. Nombre complexe :
x±que l’on vient d’´ecrire est un exemple de nombre complexe. En
g´en´eral, un nombre complexe est de la forme
z=a+ib, a, b ∈R(3)
aest appel´e ‘partie r´eelle‘ de z,bsa ‘partie imaginaire’,
a=Re(z), b =Im(z) (4)
Exemple :
Re(x+) = 1, Im(x+) = +√3
3. Plan complexe :
L’ensemble des nombres complexes est d´esign´e C
C:= {z=a+ib|(a, b)∈R2}.(5)
On voit que l’on peut identifier Cavec le plan R2. On parle ainsi de
‘plan complexe‘ pour Cet un nombre complexe est repr´esent´e par un
vecteur dans le plan R2.
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2 Op´erations sur les nombres complexes
1. Conjugaison complexe :
Le conjugu´e complexe de z=a+ib est, par d´efinition :
z∗=a−ib, Re(z∗) = Re(z), Im(z∗) = −Im(z).(6)
2. Somme :
Soit z1=a1+ib1,z2=a2+ib2. La somme des deux nombres complexes,
z1, z2est d´efinie par
z=z1+z2= (a1+a2) + i(b1+b2),(7)
C’est donc la somme des deux vecteurs repr´esentant z1et z2. On peut
r´ecrire cette d´efinition sous la forme
Re(z1+z2) = Re(z1)+Re(z2), Im(z1+z2) = Im(z1)+Im(z2).(8)
On note en particulier :
Re(z) = 1
2(z+z∗),(9)
Re(z) = 1
2i(z−z∗) = −i 2(z−z∗).(10)
3. Produit :
Soit z1=a1+ib1,z2=a2+ib2. Le produit des deux nombres complexes,
z1, z2est d´efinie par
z1z2= (a1+ib1)(a2+ib2) = (a1a2−b1b2) + i(a1b2+a1b1),(11)
c. `a d. :
Re(z1z2) = Re(z1)Re(z2)−Im(z1)Im(z2),(12)
Im(z1z2) = Re(z1)Im(z2) + Im(z1)Re(z2).(13)
Notons que le produit de zavec lui mˆeme est complexe, mais que le
produit de zavec son conjugu´e complexe, z∗, est r´eel :
zz∗=a2+b2=z∗z.
Ceci d´efinit le module de (la longueur du vecteur) z:
|z|=√a2+b2=√zz∗=√z∗z. (14)
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3 Repr´esentation polaire
On peut toujours ´ecrire
z=|z|(cos θ+isin θ), θ ∈[0,2π] (15)
comme pour tout vecteur du plan R2(avec vecteurs de base (1,0),(0, i)).
On peut montrer la relation suivante :
eiθ = cos θ+isin θ, (16)
de sorte que le nombre complexe zs’´ecrit encore (relation d’Euler) :
z=|z|eiθ .(17)
θest appel´e (angle de) phase du nombre complexe z.
Notons que le facteur de phase eiθ est un nombre complexe de module uni-
taire :
|eiθ |=√eiθ e−iθ = 1 (18)
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