Complément mathématique Nombres complexes 1 Introduction Les nombres complexes ont été introduits (en extension des nombres réels) pour donner une solution aux équations du type x2 + x + 1 = 0, dont le discriminant ∆ = −3 est négatif. Pour ce faire, on définit : 1. Nombre imaginaire pur : √ i := + −1, (1) de sorte que l’équation précédente a comme solutions √ 1 x± = (1 ± i 3). 2 (2) 2. Nombre complexe : x± que l’on vient d’écrire est un exemple de nombre complexe. En général, un nombre complexe est de la forme z = a + ib, a, b ∈ R (3) a est appelé ‘partie réelle‘ de z, b sa ‘partie imaginaire’, a = Re(z), Exemple : b = Im(z) (4) √ Im(x+ ) = + 3 Re(x+ ) = 1, 3. Plan complexe : L’ensemble des nombres complexes est désigné C C := {z = a + ib|(a, b) ∈ R2 }. (5) On voit que l’on peut identifier C avec le plan R2 . On parle ainsi de ‘plan complexe‘ pour C et un nombre complexe est représenté par un vecteur dans le plan R2 . 1 2 Opérations sur les nombres complexes 1. Conjugaison complexe : Le conjugué complexe de z = a + ib est, par définition : z ∗ = a − ib, Re(z ∗ ) = Re(z), Im(z ∗ ) = −Im(z). (6) 2. Somme : Soit z1 = a1 +ib1 , z2 = a2 +ib2 . La somme des deux nombres complexes, z1 , z2 est définie par z = z1 + z2 = (a1 + a2 ) + i(b1 + b2 ), (7) C’est donc la somme des deux vecteurs représentant z1 et z2 . On peut récrire cette définition sous la forme Re(z1 +z2 ) = Re(z1 )+Re(z2 ), Im(z1 +z2 ) = Im(z1 )+Im(z2 ). (8) On note en particulier : 1 Re(z) = (z + z ∗ ), 2 1 i Re(z) = (z − z ∗ ) = − (z − z ∗ ). 2i 2 (9) (10) 3. Produit : Soit z1 = a1 +ib1 , z2 = a2 +ib2 . Le produit des deux nombres complexes, z1 , z2 est définie par z1 z2 = (a1 + ib1 )(a2 + ib2 ) = (a1 a2 − b1 b2 ) + i(a1 b2 + a1 b1 ), (11) c. à d. : Re(z1 z2 ) = Re(z1 )Re(z2 ) − Im(z1 )Im(z2 ), (12) Im(z1 z2 ) = Re(z1 )Im(z2 ) + Im(z1 )Re(z2 ). (13) Notons que le produit de z avec lui même est complexe, mais que le produit de z avec son conjugué complexe, z ∗ , est réel : zz ∗ = a2 + b2 = z ∗ z. Ceci définit le module de (la longueur du vecteur) z : √ √ √ |z| = a2 + b2 = zz ∗ = z ∗ z. 2 (14) 3 Représentation polaire On peut toujours écrire z = |z|(cos θ + i sin θ), θ ∈ [0, 2π] (15) comme pour tout vecteur du plan R2 (avec vecteurs de base (1, 0), (0, i)). On peut montrer la relation suivante : eiθ = cos θ + i sin θ, (16) de sorte que le nombre complexe z s’écrit encore (relation d’Euler) : z = |z|eiθ . (17) θ est appelé (angle de) phase du nombre complexe z. Notons que le facteur de phase eiθ est un nombre complexe de module unitaire : √ |eiθ | = eiθ e−iθ = 1 (18) 3