ALGÈBRE IV - DEVOIR 2 UPPA - ANNÉE 2009-2010

Eh·,·i
α E
α
1−X2
α≥0
hu, α(u)i ≥ 0,∀u∈E.
αk
α
α β αk=βk
α=β
α α
α∗α∗
hα∗(u), vi=hu, α(v)i.
P X P (X) = a0Xn+
a1Xn−1+· · ·+an−1α P P (α)=0 a0αn+
a1αn−1+· · · +an−1idE= 0
pα(t)pα(X) = Xn+a1Xn−1+· · · +
an−1P α
α
α∗◦α= idEα α−1=α∗
α
α2= idE.
α1−X2
pα(X) 1−X2pα(X) 1−X2α
1−X2α2= idEα
λ α
u6= 0 λ α(u) = λu
0≤ hu, α(u)i=hu, λui=λhu, ui=λkuk2,
λ≥0
(e1, . . . , en)

α α(ei) = λieiλi≥0
i u E ai∈R
u=x1e1+· · · +xnen
hu, α(u)i=hX
i=1,...,n
xiei, α 
X
j=1,...,n
xjej
i=
=X
i,j=1,...,n
xixjhei, α(ej)i=
=X
i,j=1,...,n
xixjajλjhei, eji=
=X
i,j=1,...,n
xixjajλjδi,j =
=X
j=1,...,n
λjx2
j,
≥0λi≥0i
λ1<· · · < λsα Vλi
λini= dim(Vλi)
α E =Vλ1⊕ · · · ⊕ Vλs
n1+· · · +ns=n Vλi⊥Vλj
i6=j
v∈Vλiαk(v) = λk
iv
Uiλk
iαkVλi
dim(Ui)≥ni
λk
1<· · · < λk
sλi≥0i αk
λk
1, . . . , λk
sUi⊥Uji6=j
Ui∩Uj={0}i6=j n ≤dim(U1) + · · · +
dim(Us) dim(Ui)≥nin1+· · · +ns=n
dim(Ui) = nii αk
λk
1, . . . , λk
sVλ1, . . . , Vλn
u αku
Vλii u α
λ1<· · · < λsα Vλi
λiE=Vλ1⊕ · · · ⊕ Vλs
αk=βku Vλi
i αk(u) = λk
iu βk(u) = λk iu u
βkλk
i
u β
λiβ α β Vλi
E=Vλ1⊕ · · · ⊕ Vλsα β