ENDOMORPHISMES DONT LE POLYNÔME MINIMAL EST DE DEGRÉ n1PSI* 10-11
ENDOMORPHISMES DONT LE POLYNÔME MINIMAL EST DE DEGRÉ n1
Notations et rappels :
On considère un espace vectoriel E, de dimension finie n¾3, sur le corps K=Rou C.
L(E)désigne la K-algèbre des endomorphismes de E.
Si u,v∈ L (E),uvse note u v et l’identité de E est notée IdE.
Pour u∈ L (E)et P =
m
X
k=0
akXkK[X], P(u)désigne l’endomorphisme
m
X
k=0
akukoù les upsont définis par les relations
u0=IdEet pN,up=u u p1. On «rappelle» que si P,Q K[X], les endomorphismes P(u)et Q(u)commutent.
Si uest un endomorphisme de E, le polynôme minimal de usera noté πuet le polynôme caractéristique se notera χu;
on rappelle que πuest le polynôme normalisé de degré minimal annulateur de u, c’est le générateur unitaire de l’idéal des
polynômes annulateurs de u, et que
λK,χu(λ) = det(uλIdE)
Un endomorphisme uest dit nilpotent s’il existe pNtel que up=0. On rappelle que pour un tel endomorphisme,
en dimension n, le polynôme caractéristique vaut (1)nXn.
On admettra ici le théorème suivant (cf. DS n°3 et feuille d’exercices n°2...) :
Théorème de Bezout
Deux polynômes P et Q de K[X]sont premiers entre eux si et seulement si il existe
deux polynômes A et B tels que AP +BQ =1.
1ère partie : Résultats préliminaires
A - Le théorème de décomposition des noyaux
1. Soit u∈ L (E), et P,Q deux polynômes de K[X]premiers entre eux. En utilisant le théorème de Bezout, montrer que
KerPQ(u) = KerP(u)KerQ(u)
2. Soient A,B,C K[X]. On suppose que A est premier avec B et que A est premier avec C.
En utilisant le théorème de Bezout, montrer que A est premier avec BC.
3. Déduire des deux questions précédentes le théorème de décomposition des noyaux :
Soient P1,...,Prrpolynômes de K[X], premiers entre eux deux à deux, et P =
r
Y
i=1
Pi.
Soit u∈ L (E). Alors :
KerP(u) =
r
M
i=1
KerPi(u).
B - Calcul de la dimension d’un sous-espace vectoriel de E
Soit u∈ L (E),λune valeur propre de uet pNson ordre de multiplicité ; on sait qu’il existe Q K[X]tel que
χu= (Xλ)pQ et Q(λ)6=0.
On pose Fλ=Ker(uλIdE)p(Fλs’appelle le sous-espace vectoriel caractéristique associé à λ).
1. Montrer que E =FλKerQ(u)et que les sous-espaces vectoriels Fλet KerQ(u)sont stables par u.
2. On désigne par v(respectivement w) l’endomorphisme de Fλ(respectivement KerQ(u)) induit par u.
a) Que peut-on dire de l’endomorphisme vλIdFλde Fλ?
b) Calculer χven fonction de λet de d=dimFλ, puis montrer que
χu= (1)d(Xλ)dχw
avec la convention χw=1 si KerQ(u) = {0E}.
c) Montrer que χw(λ)6=0 et en conclure que p=d.
C - Un résultat sur le polynôme minimal
Soit uun endomorphisme de E.
Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/329 août 2010
ENDOMORPHISMES DONT LE POLYNÔME MINIMAL EST DE DEGRÉ n1PSI* 10-11
1. Soit xE\ {0E}. Montrer qu’il existe un unique polynôme unitaire (=normalisé) de degré minimal noté πx,uK[X]
tel que πx,u(u)(x) = 0E, puis justifier que πx,udivise πu.
2. On pose πu=Pα1
1...Pαr
r(α1,...,αr)(N)ret les Pisont irréductibles et deux à deux distincts.
Soit i[[1,r]] . Montrer que KerPαi1
i(u) KerPαi
i(u)(on pourra raisonner par l’absurde).
En déduire qu’il existe xiKerPαi
i(u), non nul, tel que πxi,u=Pαi
i.
3. On pose alors e=x1+···+xr. Déduire du théorème de décomposition des noyaux que πe,u=πu.
2ème partie : Étude de C={u∈ L (E), deg(πu) = n1}
A- Le cas d’un endomorphisme nilpotent
Soit v∈ L (E); on suppose que vn1=0 et vn26=0.
1. Montrer que, pour tout kN,
KervkKervk+1
et que
Kervk=Kervk+1=Kervk+1=Kervk+2.
2. En déduire
{0E} Kerv Kerv2 ... Kervn2 Kervn1=E.
3. Montrer alors que, pour tout k[[1,n2]],
kdim(Kervk)k+1
4. Supposons que, pour p[[1,n2]] on ait : dim(Kervp) = pet dim(Kervp+1) = p+2 ; montrer que dim(Kervp)¾dim(Kervp1)+2
et en déduire une contradiction. (on pourra considérer un supplémentaire Fde Kervpdans Kervp+1et utiliser v (F)).
5. En déduire que, pour tout q[[1,n2]] , dim(Kervq) = q+1.
6. Montrer que Kervn’est pas inclus dans Imv. (on pourra raisonner par l’absurde et considérer l’endomorphisme g
induit par v sur Imv).
7. Soient x0Kerv\Imvet yE\Kervn2.
a) Quelle est la dimension du sous-espace vectoriel H =Vect({y,v(y),...,vn2(y)})?
b) Vérifier que H et Kx0sont supplémentaires dans E et que H est stable par v.
c) Vérifier que (y,v(y),...,vn2(y),x0)est une base de E et écrire la matrice J de vdans cette base.
B- Cas général
1. Soient R =Xn1
n2
X
k=0
akXkK[X]et αKune racine de R. Soient B= (e1,...,en)une base de E et u
l’endomorphisme de E dont la matrice M relativement à Best
M=
0 0 ... 0 a00
1 0 ... 0 a10
0.......
.
..
.
..
.
.
.
.
....1 0 an30
0 ... 0 1 an20
0 0 ... 0 0 α
(1)
a) Pour k[[1,n1]] , exprimer uk(e1)en fonction des éléments de la base B.
b) Calculer R(u)(e1)puis R(u)(ek)pour k[[2,n1]], et enfin R(u)(en); en déduire que R est un polynôme
annulateur de u.
c) Montrer que le degré du polynôme minimal πude uest supérieur ou égal à n1 et en déduire que R coïncide
avec πupuis que u∈ C . (on pourra raisonner par l’absurde).
d) Déterminer χuen fonction de R et α.
2. Soit u∈ C .
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ENDOMORPHISMES DONT LE POLYNÔME MINIMAL EST DE DEGRÉ n1PSI* 10-11
a) Montrer qu’il existe αKtel que χu= (1)n(Xα)πuet que πu(α) = 0.
Dans la suite, kdésigne l’ordre de multiplicité de la valeur propre αde u. On sait, puisque χu= (1)n(Xα)πu,
qu’il existe Q K[X]tel que
πu= (Xα)k1Q et Q(α)6=0.
b) Montrer que
E=Ker(uαIdE)kKerQ(u) = Ker(uαIdE)k1KerQ(u)
et en déduire que
Ker(uαIdE)k2 Ker(uαIdE)k1=Ker(uαIdE)k
c) On désigne par vl’endomorphisme de Ker(uαIdE)kinduit par uαIdE.
i. Vérifier que vk1=0 et vk26=0.
ii. En déduire qu’il existe un vecteur propre x0de u, associé à la valeur propre α, et un sous-espace vectoriel
H1de Ker(uαIdE)k, stable par u, tels que
Ker(uαIdE)k=Kx0H1
d) Montrer que la somme H =H1+KerQ(u)est directe et que le sous-espace vectoriel H est un supplémentaire de
Kx0dans E, qui est stable par u.
e) On désigne par wl’endomorphisme induit par usur H.
i. Montrer que χu= (αX)χw, puis en déduire πw(α).
ii. Montrer que πwest un polynôme annulateur de u, puis que deg(πw) = n1.
f) En utilisant la question C.3 de la première partie, montrer que H possède une base de la forme
(e,w(e),...,wn2(e)) avec eH, et écrire la matrice de wdans cette base.
g) Construire alors une base B1de E dans laquelle la matrice de uest de la forme (1).
3. Soit A Mn(K),πAson polynôme minimal. Montrer que deg(πA) = n1 si et seulement si il existe une matrice
PGLn(K)et a0,...,an2,αéléments de Kavec αn1=
n2
X
k=0
akαktels que P1AP soit de la forme (1).
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