cours - Alain Camanes

Notations.
I, J R
I= [inf(I),sup(I)] R
f, g I R
a I
F(I, R)
Notations.
F(I, R)
Addition : f+g:I→R, x 7→ f(x) + g(x)
Multiplication interne : f×g:I→R, x 7→ f(x)×g(x)
Multiplication externe : λ·f:I→R, x 7→ λ×f(x)
Théorème 1 (Structure d’algèbre)
(F(I, R),+,×,·)R
Notations.
Valeur absolue : |f|:I→R+;x7→ |f(x)|
Partie positive : f+:I→R+;x7→ max{f(x),0}
Partie négative : f−:I→R+;x7→ max{−f(x),0}
Maximum : max{f, g}:I→R;x7→ max{f(x), g(x)}
Minimum : min{f, g}:I→R;x7→ min{f(x), g(x)}
Exercice 1. max{f, g}f, g
Propriétés 1
(i)f=f+−f−
(ii)|f|=f++f−
Définition 1 (Relation d’ordre)
f g f 6g x ∈I f(x)6g(x)
Exercice 2.
Définition 2 (Majorée, Minorée, Bornée)
f f(I)
Notation.
Fb(I, R)
Théorème 2 (Structure d’algèbre)
(Fb(I, R),+,×,·)R

Définition 3 (Maximum, Minimum, Extremum)
(i)f(a)f I f(a)
f(I)
(ii)f(a)f(a)
(iii)f(a)f ε f(a)
f|]a−ε,a+ε[∩I
f I max
If= max x∈If(x)
min
If
Définition 4 (Borne supérieure / inférieure)
f(I)
f I sup
I
finf
If
Exercice 3. f:R+→R, x 7→ e−xf
Définition 5 (Monotonie)
(i)f I x, y ∈I[x6y⇒f(x)6f(y)]
(ii)f I x, y ∈I[x<y ⇒f(x)< f (y)]
(iii)f I x, y ∈I[x6y⇒f(x)>f(y)]
(iv)f I x, y ∈I[x<y ⇒f(x)> f (y)]
(v)f f
Exercice 4. fRI
I
Théorème 3 (Composition & Monotonie)
f∈F(I, R)g∈F(J, R)f(I)⊂J
(i)f g g ◦f
(ii)f g g ◦f
(iii)f g g ◦f
Définition 6 (Limite)
a∈I ` ∈Rf ` a V `
W a
∀x∈I, [x∈W∩I⇒f(x)∈V].
Exercice 5.
1. a∈R`∈R

2. x7→ x x 7→ x2x7→ p|x|x0
Théorème 4 (Unicité de la limite)
fRa∈Ilim
x→af(x) = lim af
Propriété 2 (Translations)
(i)a∈I, ` ∈Rlim
x→af(x) = `lim x→a(f(x)−`)=0
(ii)a∈I∩R, ` ∈Rlim
x→af(x) = `lim
x→0f(x+a) = `
Définition 7 (Limite à droite, à gauche)
a∈I∩R, ` ∈R
(i)f a lim
x→a+f(x)f|I∩]a,+∞[
a
(ii)f a lim
x→a−f(x)f|I∩]−∞,a[
a
Exercice 6.
Définition 8 (Prolongement de la notion de limite)
a∈R, ` ∈Rc > 0f]a−c, a[∪]a, a +c[f
` a a
`
Définition 9 (Continuité)
a∈I f ` a ` =f(a)f a
Définition 10 (Continuité à gauche, à droite)
a∈I
(i)f a lim
a+f=f(a)
(ii)f a lim
a−f=f(a)
Théorème 5 (Prolongement par continuité)
a∈R,D⊂Rf∈F(D,R)h > 0 [a−h, a +h]\{a} ⊂ D
(i)a∈Df a
a
(ii)a6∈ Df ` ∈Ra `
a ` ∈Re f a
e
f:D∪ {a} → R
x6=a7→ f(x)
a7→ `
e
f f a
Exercice 7.
1. a∈Rf:x7→ x3−a3
x−a
2. f:R?→R, x 7→ sin x
xf

Propriété 3 (Limite & Bornée)
a∈I a
Propriété 4 (Limite & Signe)
a∈I, ` ∈Rlim
x→af(x) = `
(i)` > 0V a x ∈V∩I f(x)>0
(ii)` < 0V a x ∈V∩I f(x)<0
Propriété 5 (Fonctions de limite nulle)
λ∈Ra∈I
(i)a
(ii) lim
x→af(x) = 0 g a lim x→af(x)g(x) = 0
Propriété 6
a∈I, `, m ∈Rλ, µ ∈Rlim
af=`lim ag=m
(i)λ` +µm lim
a(λf +µg) = λ` +µm
(ii)`m lim
a(fg) = `m
Exercice 8.
Propriété 7
a∈Ilim
af= +∞
(i)g a lim
a(f+g)=+∞
(ii)g a lim
afg = +∞
Exercice 9. lim
af=−∞
Propriété 8
(i) lim
af=`∈Rlim ag=m∈R?f
galim
a
f
g=` m
(ii)f, g a g(a)6= 0 g a f
g
a
Propriété 9
a∈I α ∈RV a I
(i)x∈V f(x)6αlim
aflim af6α
(ii)x∈V f(x)6g(x) lim
aflim aglim af6lim ag

Théorème 6 (Théorème d’encadrement)
a∈I V a I
(i)x∈V, |f(x)|6g(x) lim
ag= 0 lim af0
(ii)x∈V, h(x)6f(x)6g(x) lim
ah= lim aglim af
lim
af= lim ag= lim ah
Théorème 7 (Théorème de composition des limites)
g∈F(J, R)g(J)⊂I a ∈J, ` ∈I, m ∈Rlim
ag=`
lim
`f=mlim
af◦g m
Théorème 8 (Caractérisation séquentielle de la continuité)
a∈I f ` ∈Ra(un)
Ilim
nun=a(f(un))n∈N`
Exercice 10. x7→ cos 1
x0
Théorème 9 (Théorème de la limite monotone)
a, b ∈R, a < b, I =]a, b[f∈F(I, R)
(i)flim
bfsup
I
f
(ii)flim
bf= +∞
(iii)flim
afinf
If
(iv)flim
af=−∞
Exercice 11. f
Corollaire 10
I
(un)u0∈I n un+1 =f(un)
1. (un)∀n∈N, un∈Df
2. u
a) x7→ f(x)−x u
b) f u u1−u0
c) f(u2n) (u2n+1)
3. u
4. `=f(`)
Exercice 12. u0= 0 n∈Nun+1 =
ln(3 + un)