Développements limités Majorations Tayloriennes

Développements limités Majorations Tayloriennes
1 OBJECTIFS
On étudie le comportement au "voisinage de 0" d'une fonction ( voir
activité annexe).
Pour cela on va remplacer la fonction par une fonction polynôme la
meilleure possible.
2 MAJORATIONS TAYLORIENNES
1ère approche: Dérivabilité en a.
f est définie sur I contenant a. f est dérivable en a R si et seulement
si :
A
hafhaf
h
)()(
lim0
ou
A
ax afxf
ax 
)()(
lim
.
Conséquence
)()()( hhAhafhaf
avec
A
hafhaf
h )()( )(
ou
)()()( xxAxafaxf
Pour x voisin de 0
bAxaxf  )(
avec b = f(a). Localement on peut
remplacer f par une fonction affine.
Exemples usuels:
xx  )1ln(
pour x voisin de 0
heh1
pour h voisin de 0
tt sin
pour t voisin de 0
2
11 t t
pour t voisin de 0.
mais dès que la variable s'éloigne de 0, l'approximation devient fausse
d'où l'idée de chercher à améliorer le procédé et d'avoir une idée sur
l'erreur commise.
2ème approche: Théorème des accroissements finis
fonction à dérivée première bornée :
Si f est dérivable sur I et f ' est bornée sur I. ( pour tout x de ;
f '(x) < M)
alors si x  I et a I on a
f x f a M x a( ) ( )  
fonction à dérivée seconde bornée :
Si f est deux fois dérivable sur I et f '' est bornée sur I .(Pour tout
x de I
f x M''( ) 
)
alors si x  I et a  I
f x f a x a f a M x a ( ) ( ) ( ) '( ) ( )     2
2
Retour sur les exemples usuels
2
1
)('';
1
)(');ln()( x xf
x
xfxxf 

sur [0,9;1,1] :
25,1)('';
9,01
)(''
1,1122  xfxf
;
07,0061,0
2)( 2
ax
M
xx  )1ln(
avec une erreur inférieure à 7%

3ème approche pour aller plus loin: fonction à dérivée d'ordre n+1 bornée
f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n + 1,
f t d
dt f t f t d
dt f t
nn
n
'( ) ( ); ...; ( ) ( )
( ) 11
sur I
et
fn( )1
est bornée sur I (pour tout x de I
f x M
n 1( )
)
alors
f x f a x a f a x a f a x a f a x a
nf a M x a n
nnn
( ) ( ) ( ) '( ) ( )
!''( ) ( ) !( ) ... ( ) !( ) ( )!
( ) ( )
2 3 31
2 3 1
appelée inégalité de Taylor ou majoration Taylorienne.
3 DEVELOPPEMENTS LIMITES
3.1 fonction exponentielle
f x e f x e f x e
x x n x
' ) ; '( ) ; ( )
( )
sur [1; 1]
L'exponentielle est croissante, on a
3
11  eee x
donc
f x f xf xf e x ( ) ( ) '( ) ''( )   0 0 206
23
.
On peut écrire
6
2
1
2
2
x
e
x
x
xex
avec
0
6
lim 0
x
e
x
d'où
)(
2
12
2xx
x
xex
avec
0)(lim0
x x
ou
)(
2
12
2xx
x
xex
développement limité d'ordre 2.
On démontre de même que pour tout n
)(
!
...
2
12xx
n
xx
xe n
n
x
3.2 Développements limités usuels (voir formulaire)
et t t
nt t
tnn
     11! 2
2
!... !( )
avec
0)(lim0
t t
ln( ) ... ( ) ( )t t t t tnt t
nnn
2 3 1
2 3 1
avec
0)(lim0
t t
sin ! ! ... ( ) ( )! ( )t t t t tpt t
ppp
3 5 2 1 2 1
3 5 12 1
avec
0)(lim0
t t
cos ! ! ... ( ) ( )! ( )tt t t pt t
ppp
      12 4 12
2 4 2 2
avec
0)(lim0
t t
)()1(...1
112ttttt tnnn
avec
0)(lim0
t t
( ) ( )
!... ().....( ) !( )1 1 1! 1 21 1
2
         t t t n
nt t t
n n
avec
0)(lim0
t t

3.3 Propriétés algébriques
Def : La partie régulière du développement limité est :
P x f xf xfx
nf
nn
( ) ( ) '( ) !''( ) ... !( )
( )
    0 0 20 0
2
Calcul: Si les fonctions f et g admettent à l'ordre n, au point 0, des
développements limités dont les parties régulières sont P et Q alors :
1. f + g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie
régulière est P + Q
2. f  g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie
régulière est le polynôme déduit de P  Q en supprimant tous les
termes de degré strictement supérieur à n.
Autres propriétés :
1. Si f admet à l'ordre n, au point 0, un développement limité de partie
régulière P,
)()()( xxxPxf n
alors on a
)()()( xxaxPaxfn
et
)()()( xxxPxf nkkk
2. f admet un développement limité à l'ordre n, au point 0,
)(...)( 2
210 xxxaxaxaaxf nn n
a) Si f est dérivable sur un intervalle contenant 0, alors
)(...2)(' 11
21 xxxnaxaaxf nn n
b) Si f est continue sur un intervalle contenant 0, alors
)(
1
...
2
)0()( 1
12
10 xx
n
x
a
x
axaFxF n
n
n
4 APPLICATIONS