Développements limités Majorations Tayloriennes

Développements limités Majorations Tayloriennes
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OBJECTIFS
On étudie le comportement au "voisinage de 0" d'une fonction ( voir
activité annexe).
Pour cela on va remplacer la fonction par une fonction polynôme la
meilleure possible.
MAJORATIONS
1ère approche:
TAYLORIENNES
Dérivabilité en a.
f est définie sur I contenant a. f est dérivable en a R si
si :
f ( a  h)  f ( a)
f ( x)  f ( a)
lim
 A ou lim
A .
h
x a
h 0
x  a
Conséquence
ou
f ( a  h)  f ( a)  Ah  h ( h) avec  ( h) 
f ( x  a)  f ( a)  Ax  x  ( x )
et seulement
f ( a  h)  f ( a)
A
h
Pour x voisin de 0 f ( x  a)  Ax  b avec b = f(a). Localement on peut
remplacer f par une fonction affine.
Exemples usuels: ln( 1  x )  x pour x voisin de 0
eh  1  h pour h voisin de 0
sin t  t pour t voisin de 0
t
pour t voisin de 0.
1 t  1
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mais dès que la variable s'éloigne de 0, l'approximation devient fausse
d'où l'idée de chercher à améliorer le procédé et d'avoir une idée sur
l'erreur commise.
2ème approche:
Théorème des accroissements finis
fonction à dérivée première bornée :
Si f est dérivable sur I et f ' est bornée sur I. ( pour tout x de ;
f '(x) < M)
alors si x  I et a I on a f ( x )  f ( a)  M x  a
fonction à dérivée seconde bornée :
Si f est deux fois dérivable sur I et f '' est bornée sur I .(Pour tout
x de I f ''( x )  M )
alors si x  I et a  I
f ( x )  f ( a)  ( x  a) f '( a)  M
Retour sur les exemples usuels
1
1
f ( x )  ln( x ); f ' ( x )  ;f ' ' ( x )  
x
x2
( x  a) 2
2
sur [0,9;1,1]
M
:
1
1,12
 f ' ' ( x) 
1
0,92
; f ' ' ( x )  1,25 ;
( x  a) 2
 0,061  0,07
2
ln( 1  x )  x avec une erreur inférieure à 7%
3ème approche pour aller plus loin: fonction à dérivée d'ordre n+1 bornée
f admet des dérivées jusqu'à l'ordre n + 1, f '( t ) 
d
d n 1
f ( t ); ...; f ( n 1) ( t ) 
f (t)
dt
dt n
sur I
et f ( n 1) est bornée sur I (pour tout x de I
f n1 ( x )  M )
alors
n 1
xa
( x  a)2
( x  a ) 3 ( 3)
( x  a) n ( n)
f ( x )  f ( a )  ( x  a ) f '( a ) 
f ' ' ( a) 
f ( a )...
f ( a)  M
2!
3!
n!
( n  1)!
appelée inégalité de Taylor ou majoration Taylorienne.
3
DEVELOPPEMENTS LIMITES
3.1 fonction exponentielle
f ' x)  ex ;
f '( x )  e x ;
f ( n) ( x )  e x
sur [1; 1]
L'exponentielle est croissante, on a e1  ex  e1  3 donc
x3
x2
f ( x )  f ( 0)  xf '( 0) 
f ' '( 0)  e
.
2
6
ex  1  x 
On peut écrire
x
x2
2
2
e
x
6
avec
lim e
x 0
x
6
ex  1  x 
 0 d'où
x2
 x 2 ( x) avec
2
lim  ( x )  0
x 0
x2
 x 2 ( x) développement limité d'ordre 2.
2
x2
xn
On démontre de même que pour tout n ex  1  x 
...
 x n  ( x)
2
n!
ou
3.2
ex  1  x 
Développements limités usuels (voir formulaire)
et  1 
t t2
tn

 ... 
 t n(t)
1! 2 !
n!
lim  ( t )  0
avec
t0
ln( t )  t 
t2 t3
tn

 ...  ( 1) n1
 t n(t)
2
3
n
sin t  t 
t3 t5
t 2 p 1

 ...  ( 1) p
 t 2 p 1 ( t )
3! 5 !
( 2 p  1)!
cos t  1 
t2 t4
t2p

 ...  ( 1) p
 t 2 p(t)
2! 4!
( 2 p )!
lim  ( t )  0
avec
t0
avec
avec
lim  ( t )  0
t0
lim  ( t )  0
t0
1
lim  ( t )  0
avec
 1  t  t 2 ... ( 1) n t n  t n  ( t )
t0
1 t

 (  1) 2
 (  1).....(  n  1) n n
(1  t )  1  t 
t  ... 
t  t (t )
1!
lim  ( t )  0
t0
2!
n!
avec
3.3 Propriétés algébriques
Def : La partie régulière du développement limité est :
P( x )  f ( 0)  xf '( 0) 
x2
x n ( n)
f ''( 0)  ... 
f ( 0)
2!
n!
Calcul: Si les fonctions f et g admettent à l'ordre n, au point 0, des
développements limités dont les parties régulières sont P et Q alors :
1. f + g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie
régulière est P + Q
2. f  g admet un développement limité à l'ordre n dont la partie
régulière est le polynôme déduit de P  Q en supprimant tous les
termes de degré strictement supérieur à n.
Autres propriétés :
1. Si f admet à l'ordre n, au point 0, un développement limité de partie
régulière P, f ( x )  P ( x )  x n  ( x ) alors on a f ( ax )  P ( ax )  x n  ( x )
k
k
f (x )  P (x )  x
nk
 (x)
2. f admet un développement limité à l'ordre n, au point 0,
f ( x )  a0  a1x  a2x 2 ... an x n  x n  ( x )
a) Si f est dérivable sur un intervalle contenant 0, alors
f ' ( x )  a1  2a2x ... na n x n 1  x n 1 ( x )
b) Si f est continue sur un intervalle contenant 0, alors
F ( x)  F ( 0)  a0x  a1
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APPLICATIONS
x2
x n 1
... an
 x n 1 ( x)
2
n 1
et