Suites

Suites T
le
S
Sens de variation
Exercice n° [H TleS 15p.218]
Etudier la monotonie de la suite définie sur N* par :
Exercice n° [πxel TleS 14-15p.235]
Etudier le sens de variation de chacune des suites :
a)  ; b)  ;
c) 
; d) 
  .
Exercice n° [πxel TleS 16p.235]
Soit la suite (u
n
) définie sur N* par  .
Montrer que la suite (u
n
) est décroissante.
Limites de suites
Exercice n° [H TleS 4 p.79]
v est la suite définie sur N* par v
n
=  .
1- A partir de quel rang a-t-on :
a) v
n
∈ ]1,99 ; 2,01[ ? b) v
n
∈ ]1,999 ; 2,001[ ?
2- Démontrer, avec la définition, que la suite v
converge vers 2.
Exercice n° [πxel TleS 36-43p.236]
Déterminer les limites des suites définies sur N*.
a)  ; b)  ;
c)  ; d)  .
Exercice n° Composée d’une suite et d’une
fonction [H TleS 49p.84]
θ est une nombre tel que 0 ≤ θ ≤ .
u est la suite définie par u
0
= 2 cos(θ) et pour tout
entier naturel n, u
n + 1
=  .
1- Calculer u
1
et u
2
en fonction de θ (on rappelle
que pour tout réel x, cos (2x) = cos
2
(x) − 1.
2- v est la suite définie sur N par v
n
= 2 cos  .
a) Calculer v
0
.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n,
.
3- On admet que les suites u et v sont égales.
Démontrer que la suite u est convergente. Quelle
est sa limite ?
Raisonnement par récurrence
Exercice n° [H TleS 3p.217]
Démontrer par récurrence que pour tout entier
naturel non nul n :
Etude de suites
Exercice n° [H TleS 3p.217]
n désigne un entier naturel non nul et :
1- Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 :
2- a) Vérifier que pour tout p dans N,
.
En déduire une autre méthode pour démontrer
que :  .
Exercice n° [πxel TleS 115p.244]
On considère la suite u définie par u
1
= 1 et, pour
tout entier naturel non nul n,
1- Avec un tableur, déterminer les 25 premiers
termes de la suite.
2- Représenter graphiquement ce nuage de points.
3- Conjecturer l’expression de u
n
en fonction de n.
4- Démontrer la conjecture.
Exercice n° [H TleS 3 p.79]
u est la suite définie pour tout n ≥ 2 par :
1- Observer les variations et la convergence
éventuelle de la suite u à l’aide d’un tableur.
2- Justifier que la suite u est croissante.
3- a) Après avoir vérifié que, pour tout p ≥ 2,
,
démontrer que :
b) En écrivant l’inégalité (1) successivement pour p
= 2 ; 3 ; … n, puis en additionnant membre à
membre ces (n − 1) égalités, établir que :
En déduire que pour tout n ≥ 2, u
n
> 2 .
4- Déterminer alors la limite de la suite u.
Exercice n° [πxel TleS 112p.244]

Pour chacune des propositions suivantes, dire si
elle est vraie ou fausse. Justifier en donnant un
contre-exemple ou en démontrant à l’aide du
cours.
1- Si une suite (u
n
) est décroissante et ne converge
pas, alors elle n’est pas minorée.
2- Si une suite (u
n
) n’est pas minorée, alors elle est
strictement décroissante.
3- Si une suite (u
n
) diverge et n’est pas bornée,
alors elle tend vers +∞ ou −∞.
4- Si une suite (u
n
) tend vers +∞, alors elle est
croissante.
Tableur
Exercice n° [repères TleS 2008]

Suites T
le
S
Suites adjacentes
Exercice n°1 [Indice TleS 56p.157]
Etudier dans chacun des cas suivants si les suites
(u
n
) et (v
n
) sont adjacentes. Dans l’affirmative,
indiquer leur limite commune.
1-  et  ;
2-  et  ;
3-  et  .
Exercice n°2 [Indice TleS 58p.157]
Soient (x
n
) et (y
n
) les suites, définies pour tout
entier naturel n par x
0
= 1 et y
0
= 2 et les relations
de récurrence :
et  .
1- Soit (w
n
) la suite définie par w
n
= y
n
− x
n
.
Montrer que (w
n
) est une suite géométrique
convergente et déterminer sa limite.
2- Etudier le sens de variation de chacune des
suites (x
n
) et (y
n
).
3- Montrer que les suites (x
n
) et (y
n
) converge vers
la même limite L.
4- Calculer y
n
+ x
n
et en déduire la valeur de L.
Exercice n°3 [H TleS 28p.219]
u et v sont les suites définies pour tout entier n ≥ 1
par :  et  .
a) En utilisant le fait que u
n
= f(n) et v
n
= g(n),
étudier le sens de variation de u et v.
b) Démontrer que pour tout n ≥ 1, u
n
≤ v
n
.
c) Pourtant, les suites u et v ne sont pas
adjacentes. Pourquoi ?
Exercice n°4 [Indice TleS 95p.161]
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou
fausse et proposer une démonstration pour la
réponse indiquée.
Deux suites (x
n
) et (y
n
) sont définies pour n > 0 par
les relations :
et
.
Alors :
1- Les suites (x
n
) et (y
n
) sont toutes deux
croissantes.
2-  et  .
3- Les suites (x
n
) et (y
n
) ne sont pas majorées.
4- (x
n
) et (y
n
) sont adjacentes.
Exercice n°5 [H TleS 29p.220]
u et v sont les suites définies pour tout entier n ≥ 1
par :  et  .
Info :
n ! se lit « factorielle n ». Par définition :
• 0 ! = 1 ;
• Pour tout entier n ≥ 1, n ! = n × (n - 1) × … × 2 × 1.
Par exemple, 5 ! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
a) Démontrer que les suites u et v sont adjacentes.
b) En déduire que u et v convergent vers une même
limite.
c) Donner des valeurs approchées de u
10
et v
10
.
d) En déduire un encadrement de la limite
commune de ces deux suites.
Nota : cette limite commune des suites u et v est le
nombre e.
Exercice n°6 Vrai ou faux [πxel TleS 61p.238]
On considère deux suites (u
n
) et (v
n
) définies sur N.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle
est vraie ou fausse. Justifier par un contre-exemple
ou par une démonstration à l’aide du cours.
1- Si (u
n
) est décroissante, (v
n
) croissante et si, pour
tout n entier naturel, u
n
≥ v
n
, alors (u
n
) et (v
n
)
convergent vers la même limite.
2- Si, pour tout n entier naturel, on a u
n
≥ v
n
et
 , alors (u
n
) est décroissante et
(v
n
) croissante.
3- Si (u
n
) et (v
n
) sont telles que 
, alors  .
Un défi
Exercice n°7 [πxel TleS 82p.240]
Soient (u
n
) et (v
n
) deux suites, définies sur N,
strictement positives et telles que pour tout entier
naturel n,
u
n + 1
× v
n
≥ u
n
× v
n + 1
.
On suppose, de plus, que la suite (u
n
) converge vers
0.
La suite (v
n
) est-elle convergente ?
d