Suites

Suites
Tle S
c) ! ;
d) cos " #.
2- a) Vérifier que pour tout p dans N,
,
Sens de variation
Exercice n° Composée d’une suite et d’une
fonction [H TleS 49p.84]
Exercice n° [H TleS 15p.218]
θ est une nombre tel que 0 ≤ θ ≤ .
u est la suite définie par u0 = 2 cos(θ) et pour tout
entier naturel n, un + 1 = !2 .
1- Calculer u1 et u2 en fonction de θ (on rappelle
que pour tout réel x, cos (2x) = cos2(x) − 1.
$
Exercice n° [πxel TleS 14-15p.235]
Etudier le sens de variation de chacune des suites :
a) sin ;
b) cos ;
2
;
d) ! .
c) 1 2- v est la suite définie sur N par vn = 2 cos" # .
a) Calculer v0.
b) Démontrer que pour tout entier naturel n,
% !2 % .
3- On admet que les suites u et v sont égales.
Démontrer que la suite u est convergente. Quelle
est sa limite ?
,
.
En déduire une autre méthode pour démontrer
que : ) .
Exercice n° [πxel TleS 115p.244]
On considère la suite u définie par u1 = 1 et, pour
tout entier naturel non nul n,
.
! ² 1
1- Avec un tableur, déterminer les 25 premiers
termes de la suite.
2- Représenter graphiquement ce nuage de points.
3- Conjecturer l’expression de un en fonction de n.
4- Démontrer la conjecture.
Exercice n° [H TleS 3 p.79]
Exercice n° [πxel TleS 16p.235]
Soit la suite (un) définie sur N* par .
!
Montrer que la suite (un) est décroissante.
Raisonnement par récurrence
Exercice n° [H TleS 3p.217]
Démontrer par récurrence que pour tout entier
naturel non nul n :
12 1
1² 2² 3² ² .
6
Limites de suites
Exercice n° [H TleS 4 p.79]
Exercice n° [πxel TleS 36-43p.236]
Etude de suites
Exercice n° [H TleS 3p.217]
n désigne un entier naturel non nul et :
1
.
) *
++ 1
,-
Déterminer les limites des suites définies sur N*.
;
u est la suite définie pour tout n ≥ 2 par :
1
1
.
1 √2
√ 1
1- Observer les variations et la convergence
éventuelle de la suite u à l’aide d’un tableur.
2- Justifier que la suite u est croissante.
3- a) Après avoir vérifié que, pour tout p ≥ 2,
,
!+ !+ 1 √, !, démontrer que :
v est la suite définie sur N* par vn = 2 .
1- A partir de quel rang a-t-on :
a) vn ∈]1,99 ; 2,01[ ?
b) vn ∈]1,999 ; 2,001[ ?
2- Démontrer, avec la définition, que la suite v
converge vers 2.
b) Etudier la monotonie de la suite définie sur N* par :
1
1
1 .
2
a) √ ;
,, 1- Démontrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 :
) .
1
1
/.
2!+ 1
b) En écrivant l’inégalité (1) successivement pour p
= 2 ; 3 ; … n, puis en additionnant membre à
membre ces (n − 1) égalités, établir que :
1
1
1
1.
√ √1 . 01 2
√2
√ 1
En déduire que pour tout n ≥ 2, un > 22√ √13.
4- Déterminer alors la limite de la suite u.
!+ !+ 1 .
Exercice n° [πxel TleS 112p.244]
Pour chacune des propositions suivantes, dire si
elle est vraie ou fausse. Justifier en donnant un
contre-exemple ou en démontrant à l’aide du
cours.
1- Si une suite (un) est décroissante et ne converge
pas, alors elle n’est pas minorée.
2- Si une suite (un) n’est pas minorée, alors elle est
strictement décroissante.
3- Si une suite (un) diverge et n’est pas bornée,
alors elle tend vers +∞ ou −∞.
4- Si une suite (un) tend vers +∞, alors elle est
croissante.
Tableur
Exercice n° [repères TleS 2008]
Suites
Tle S
Suites adjacentes
Exercice n°1 [Indice TleS 56p.157]
Etudier dans chacun des cas suivants si les suites
(un) et (vn) sont adjacentes. Dans l’affirmative,
indiquer leur limite commune.
1- et % ;
2- 1 et % 1 sin
3- 3 et % 3 4
;
.
Exercice n°4 [Indice TleS 95p.161]
Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou
fausse et proposer une démonstration pour la
réponse indiquée.
Deux suites (xn) et (yn) sont définies pour n > 0 par
les relations :
5 et
8 .
Alors :
1- Les suites (xn) et (yn) sont toutes deux
croissantes.
<
=
2- 5 et 8 .
>
3- Les suites (xn) et (yn) ne sont pas majorées.
4- (xn) et (yn) sont adjacentes.
Exercice n°2 [Indice TleS 58p.157]
Exercice n°5 [H TleS 29p.220]
Soient (xn) et (yn) les suites, définies pour tout
entier naturel n par x0 = 1 et y0 = 2 et les relations
de récurrence :
6 7
6 7
5 et 8 .
1- Soit (wn) la suite définie par wn = yn − xn .
Montrer que (wn) est une suite géométrique
convergente et déterminer sa limite.
2- Etudier le sens de variation de chacune des
suites (xn) et (yn).
3- Montrer que les suites (xn) et (yn) converge vers
la même limite L.
4- Calculer yn + xn et en déduire la valeur de L.
u et v sont les suites définies pour tout entier n ≥ 1
par : 1 et % .
Exercice n°3 [H TleS 28p.219]
u et v sont les suites définies pour tout entier n ≥ 1
par : 5 et % 5,01 .
a) En utilisant le fait que un = f(n) et vn = g(n),
étudier le sens de variation de u et v.
b) Démontrer que pour tout n ≥ 1, un ≤ vn .
c) Pourtant, les suites u et v ne sont pas
adjacentes. Pourquoi ?
!
!
1- Si (un) est décroissante, (vn) croissante et si, pour
tout n entier naturel, un ≥ vn, alors (un) et (vn)
convergent vers la même limite.
2- Si, pour tout n entier naturel, on a un ≥ vn et
limA B % 0, alors (un) est décroissante et
(vn) croissante.
3- Si (un) et (vn) sont telles que limA B % 0, alors limA B limA B % .
!
!
Info :
n ! se lit « factorielle n ». Par définition :
• 0!=1;
• Pour tout entier n ≥ 1, n ! = n × (n - 1) × … × 2 × 1.
Par exemple, 5 ! = 5 × 4 × 3
× 2 × 1 = 120.
a) Démontrer que les suites u et v sont adjacentes.
b) En déduire que u et v convergent vers une même
limite.
c) Donner des valeurs approchées de u10 et v10.
d) En déduire un encadrement de la limite
commune de ces deux suites.
Nota : cette limite commune des suites u et v est le
nombre e.
Exercice n°6 Vrai ou faux [πxel TleS 61p.238]
On considère deux suites (un) et (vn) définies sur N.
Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle
est vraie ou fausse. Justifier par un contre-exemple
ou par une démonstration à l’aide du cours.
Un défi
Exercice n°7[πxel TleS 82p.240]
Soient (un) et (vn) deux suites, définies sur N,
strictement positives et telles que pour tout entier
naturel n,
un + 1 × vn ≥ un × vn + 1 .
On suppose, de plus, que la suite (un) converge vers
0.
La suite (vn) est-elle convergente ?
d