Mardi 20 janvier 2009 T°S1 DEVOIR de Mathématiques (2h

Mardi 20 janvier 2009 T°S
1
DEVOIR de Mathématiques (2h)
(Calculatrice autorisée)
Exercice 1 (9 points)
On considère les suites (u
n
) et (v
n
) définies sur N par u
0
= 3 et pour tout n de N :
2
1nn n
vu
u
+
=
+
et
n
n
u
v7 =
1°) Calculer v
0
, u
1
, v
1
, u
2
et v
2
.
Comparer les valeurs approchées de u
2
et v
2
.
2°) En utilisant une démonstration par récurrence, démontrer que, pour tout n de
N, u
n
et v
n
sont tous deux strictement positifs.
3°) Démontrer que, pour tout n de N, on a :
2
1
11
)(
41
nn
n
nn
vu
u
vu −=−
+
++
.
En déduire que pour tout n de N on a : u
n
– v
n
≥ 0.
4°) Démontrer que la suite (u
n
) est décroissante puis que la suite (v
n
) est
croissante.
5°) a) Justifier que pour tout n de N on a : u
n
≥
3
7
.
b) Démontrer que pour tout n de N on a :
2
11
)(
nnnn
vukvu −≤−
++
avec k =
28
3
c) En déduire, par récurrence, que pour tout n de N on a :
12 −
≤−
n
kvu
nn
.
6°) a) En déduire que les suites (u
n
) et (v
n
) sont adjacentes.
b) Résoudre l’équation
x
x7 = dans ]0 ; +∞[ et en déduire la limite des suites
(u
n
) et (v
n
).
Exercice 2 (8 points)
Une balle de 0,5 kg est lancée verticalement en l’air avec une vitesse initiale de
15m.s
-1
.
Sur la balle agissent deux forces, celle due à la gravité et celle due à la
résistance de l’air, égale à 1/10 de sa vitesse.
On admet que la vitesse v vérifie l’équation différentielle :
(E) : 0,5v’ = – 0,1v – 5.
Partie A
1°) a) Résoudre l’équation différentielle (E) dans [0 ; +∞[.
b) Justifier que v(0) = 15, en déduire que v(t) = –50 + 65e
–0,2t
.
c) Résoudre l’inéquation : v(t) ≥ 0 sur [0 ; +∞[.
2°) Soit h la fonction qui exprime la hauteur de la balle en fonction du temps, on
a donc : h’ = v.
a) Déterminer les primitives de v sur [0 ; +∞[.
b) Justifier que h(0) = 0, en déduire l’expression de h.
Partie B
Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par : f(t) = 325(1 – e
–0,2t
) – 50t.
1°) Etudier les variations de f (on pourra utiliser le résultat du A-1-c)
2°) Démontrer que l’équation f(t) = 0 admet une unique solution sur ]0 ; +∞[
dont on donnera une valeur approchée α à 10
-1
près.
3°) En déduire une valeur approchée de la hauteur maximale atteinte par la balle
et du temps t
1
que met la balle pour revenir au sol depuis son point le plus haut.
Exercice 3 (3 points)
Des jetons portant une lettre parmi A, B, C, D, E, F sont dans un sac.
On tire au hasard un jeton, la probabilité d’obtenir la lettre E est le double de
celle d’obtenir la lettre A. De plus, on a les probabilités suivantes :
P({B}) = P({D}) = 1/10, P({C}) = 3/10, P({F}) = 2/25.
1°) Déterminer la probabilité d’obtenir une lettre du mot BAC en tirant un jeton.
2°) Un score est associé à chaque lettre (voir tableau à gauche)
Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X correspondant au
nombre de points associés à la lettre tirée, et calculer l’espérance mathématique
de la variable aléatoire X.
Lettre A B C D E F
Points 1 3 3 2 1 4