du 23 au 27 janvier

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COLLES
P T S I M A T H S - I1A - Semaine N° 13 : du 23 au 27 janvier 2017
Définitions et théorèmes à connaître :
Chap 12– Entiers naturels - dénombrement.
Rudiments d’arithmétique
Multiples et diviseurs d’un entier naturel, PGCD et PPCM de deux entiers naturels non nuls.
Nombre premier. Crible d’Eratosthène.
• Propriétés fondamentales de N : Toute partie non vide de N a un plus petit élément.
Toute partie non vide et majorée de N a un plus grand élément.
• Décomposition d’un entier en produits de nombres premiers :
Tout entier n ≥ 2 se décompose de façon unique sous la forme n = p1α1 × p2α2 × .... × pN α N
Avec p1 , p2 ,...., pN nombres premiers, p1 < p2 < .... < pN , et α1 , α 2 ,..., α N entiers naturels non nuls.
• Théorème de la division euclidienne :
∀a ∈ N, ∀b ∈ N∗ , ∃!( q, r ) ∈ N 2 vérifiant a = bq + r et 0 ≤ r < b .
n −1
• a et b réels, n ∈ N∗ , a n − b n = ( a − b ) ∑ a k .b n −1− k .
k =0
Cardinal d’un ensemble.
Ensemble fini, cardinal d’un ensemble.
•
Cardinal d’une réunion disjointe : si A et B sonts disjoints, card ( A ∪ B ) = card ( A ) + card ( B ) .
Cardinal d’une réunion quelconque : card ( A ∪ B ) = card ( A) + card ( B ) − card ( A ∩ B ) .
( )
Cardinal d’un complémentaire : card A = card ( E ) − card ( A) .
Cardinal d’un produit cartésien : card ( A × B ) = card ( A) .card ( B ) .
Combinatoire
p-listes, permutations, arrangements, combinaisons.
•
Def : E étant un ensemble à n éléments, on appelle p-liste de E toute suite x1 , x2 ,..., x p où chaque xk est élément de E.
(
)
p
•
Le nombre de p-listes d’éléments de E dans F est : n . (tirage ordonné avec remise)
Def : E étant un ensemble à n éléments, on appelle arrangement de p éléments de E toute p-liste d'éléments distincts de E.
n!
Si p ≤ n , d’arrangements à p éléments de E est : Apn =
.
(tirage ordonné sans remise)
( n − p )!
•
Def : E étant un ensemble à n éléments, on appelle permutation de E tout n-arrangement d’éléments de E.
Le nombre de permutations de E est : n !
•
Def : E étant un ensemble à n éléments, on appelle p-combinaison de E toute partie à p éléments de E.
n
n!
Si p ≤ n , le nombre de p-combinaison de E est :   =
..
(tirage non ordonné sans remise)
p
  p !( n − p ) !
•
Convention : 0! = 1
Coefficients binomiaux
 n   n − 1  n − 1 
• Relation de Pascal :   = 
+

 p   p   p − 1
puis triangle de Pascal.
n
n
= ∑  .a p .b n − p .
p =0  p 
n
n
• Le nombre total de parties de E ( ensemble à n éléments ) est : ∑   = 2 n .
p =0  p 
• Formule du binôme de Newton : a et b réels,
(a + b)
n
n −1
• Factorisation de a n − b n par a − b :. n ∈ N∗ , a n − b n = ( a − b ) ∑ a k .b n −1− k
k =0
Chap 13 – Fonctions de R dans R - limites et continuité.
Limite finie d’une fonction en un point a, limite à droite, limite à gauche, limite infinie, limite à l’infini.
Unicité ( si elle existe ) de la limite en a.
f = lim
f = f ( a)
Si a ∈ Df , alors lim f existe si lim
+
−
a
a
a
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Si a ∉ Df , alors lim f existe si lim
f = lim
f
+
−
a
a
a
Limite d’une somme, d’un produit interne, d’un produit externe, d’un quotient. Limite d’une composée.
Si f admet une limite finie en a, alors f est bornée sur un voisinage de a.
lim ( f ( x ) ) = 0 et g bornée sur un voisinage de a, alors lim ( f ( x ) × g ( x ) ) = 0 .
x →a
x→a
Conservation des inégalités larges par passage à la limite.
Si il existe un voisinage V de a sur lequel f ≥ g alors lim ( f ( x ) ) ≥ lim ( g ( x ) ) (si elles existent) .
x →a
x→a
Le passage à la limite transforme une inégalité stricte en inégalité large !!!
Théorème des gendarmes.
Si il existe un voisinage V de a sur lequel f ≤ g ≤ h et si lim ( f ( x ) ) = lim ( h ( x ) ) = b
x →a
x→a
alors lim ( g ( x ) ) = b .
x →a
Théorème de limite par majoration/minoration.
Si il existe un voisinage V de a sur lequel f ≤ g et si lim ( f ( x ) ) = +∞
alors lim ( g ( x ) ) = +∞ .
Si il existe un voisinage V de a sur lequel f ≤ g et si lim ( g ( x ) ) = −∞
alors lim ( f ( x ) ) = −∞ .
x→a
x →a
x →a
x→a
Théorème de la limite monotone. ( a < b ).
Soit f fonction monotone sur ]a, b[ . Alors lim+ ( f ( x ) ) et lim− ( f ( x ) ) existent (finies ou infinies).
x→a
x →b
Asymptotes, branches infinies.
Etude des cas où lim ( f ( x ) ) = ±∞ , lim ( f ( x ) ) = y0 et lim ( f ( x ) ) = ±∞ .
x → x0
x →±∞
x →±∞
Fonction continue en un point. Continuité à gauche, continuité à droite.
Cas a ∉ Df : Fonction prolongeable par continuité en a, fonction prolongeable par continuité à droite (resp à gauche) en a.
Somme, produit, quotient, composée de fonctions continues
Propriété séquentielle : soit f définie sur un intervalle I, et ( xn ) une suite d’éléments de I.
Si lim ( xn ) = a et f continue en a, alors lim ( f ( xn ) ) = f ( a )
Théorème des valeurs intermédiaires – version 1
si f est continue sur [ a, b] et f ( a ) . f ( b ) ≤ 0 alors il existe c ∈ [ a, b ] tq f ( c ) = 0 .
Théorème des valeurs intermédiaires – version 2
f fonction continue sur un intervalle I. Soit ( a, b ) ∈ I 2 , a < b :
si γ est compris entre f ( a ) et f ( b ) , alors il existe c ∈ [ a, b ] tq f ( c ) = γ .
( Càd : f prends toutes les valeurs intermédiaires entre f ( a ) et f ( b ) )
L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.
L’image d’un segment par une fonction continue est un segment.
Alors f est bornée et atteint ses bornes : f ([ a, b ]) = [ m, M ] =  f (α ) , f ( β )  .
Théorème de la bijection
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors :
f ( I ) est un intervalle.
f est une bijection de I sur f ( I )
f −1 est strictement monotone sur f ( I ) ( même sens que f )
f −1 est continue sur f ( I )
Connaître les limites de référence (cf fiche)
Savoir-faire :
Déterminer la décomposition en produit de nombres premiers d’un entier.
Trouver le PGCD de deux entiers avec l’algorithme d’Euclide.
Savoir appliquer les différentes méthodes de calculs de limites.
Savoir étudier les branches infinies.
Savoir résoudre des problèmes simples de dénombrement..
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Démonstrations et exos à comprendre et savoir refaire :
 n   n − 1  n − 1 
• Relation de Pascal :   = 
+

 p   p   p − 1
méthode calcul
• Formule du binôme de Newton : a et b réels,
(a + b)
n
et
méthode dénombrement.
n
n
= ∑  .a p .b n − p .
p =0  p 
n −1
• a et b réels, n ∈ N∗ , a n − b n = ( a − b ) ∑ a k .b n −1− k .
k =0
• Théorème des valeurs intermédiaires – version 2
f fonction continue sur un intervalle I, a et b éléments de I, a < b :
si γ est compris entre f ( a ) et f ( b ) , alors il existe c ∈ [ a, b ] tq f ( c ) = γ .
 sin x
si x > 0

Exo cours : montrer que la fonction f : x ֏ 
est continue sur R .
x
 x ² − 3 x + 1 si x ≤ 0
(distinguer l’étude sur les intervalles et l’étude au point de jonction)
Savoir écrire avec les quantificateurs puis illustrer avec un dessin :
(un cas donné systématiquement pour chaque colle, attention aux quantificateurs !!!!!)
(écriture avec les voisinages, puis écriture définitive, et illustration à l’aide d’un dessin)
lim f = b
lim f = +∞
lim f = b
lim f = −∞
a
a
−∞
+∞