Mouvements de projectiles

Mouvements de projectiles
I. Eléments de cinématique.
1. Vecteur vitesse.
Soit un mobile animé d’un mouvement quelconque. Soit M la position du mobile à l’instant
t et soit M’ la position du mobile à l’instant t’.
Soit O l’origine du repère. Le vecteur
'MM
peut s’écrire
OMOMMM  ''
.
Définition : On appelle vecteur position du mobile le vecteur
OM
Définition : On appelle vecteur vitesse du mobile le vecteur
t
MM
v
t
'
lim
0
.
Le vecteur vitesse du mobile peut s’écrire :
t
MM
vt
'
lim
0
Soit
tOMOM
vt
'
lim
0
t
OM
vt
lim
0
OM
représente le vecteur variation du vecteur position.
Ou encore :
dt
OMd
v
.
D’où les coordonnées du vecteur vitesse :
Le vecteur position a pour expression :
kzjyixOM 
.
Le vecteur vitesse du mobile peut s’écrire :
dt kzjyixd
v)( 
2. Vecteur accélération.
Le vecteur accélération à pour expression :
dt
vd
a
dt
kvjvivd
azyx )( 
II. Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.
Soit un objet S lancé avec une vitesse initiale
O
v
dans un champ de pesanteur supposé localement uniforme.
1. Vecteur accélération.
Système étudié : l’objet S,
Référentiel : terrestre considéré comme Galiléen (La durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un
jour).
Forces extérieures exercées sur S :la force de pesanteur ou poids
P
.
Application de la deuxième loi de Newton :
Gext amF .
G
amP .
G
amgm .. 
k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
v
kzjyixv 
...  
k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
az
y
x
k
dt zd
j
dt yd
i
dt xd
a
2
2
2
2
2
2
kzjyixa 
...  
gaG

2. Equations horaires du mouvement.
a- Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t= 0, le
mobile est lancé de l’origine du repère O avec une
vitesse
0
v
faisant un angle  avec l’axe Ox.
Le vecteur position initiale :
0
0
OG
0
0
0
0
0
0
0z
y
x
OG
Le vecteur vitesse initiale :
sin
0
cos
00
0
00
0
vv
v
vv
v
z
y
x
b- Coordonnées du vecteur vitesse :
Les coordonnées du vecteur accélération sont
ga
a
a
a
z
y
x
G0
0
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
D’où
g
dt
dv
a
dt
dv
a
dt
dv
a
a
z
z
y
y
x
x
G0
0
 par intégration on obtient :
Ctgv
Bv
Av
v
z
y
x
G
.
Ou A, B et C sont des constantes que l’on peut déterminer à partir des conditions initiales : à t0 = 0
0
vvG
sin
0
cos
00
0
00
0
vv
v
vv
v
z
y
x
sin
0
cos
0
0
vC
B
vA
 D’où les coordonnées de
G
v
:
Remarque :
Le mouvement est uniforme selon l’axe 0x et uniformément varié selon l’axe Oz.
Coordonnées du vecteur position :
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
dt
OGd
vG
d’où :
αvg.t
dt
dz
v
dt
dy
v
αv
dt
dx
v
v
z
y
x
G
sin
0
cos
0
0
par intégration on obtient :
'.sin.
2
1
'
'.cos
0
2
0
Ctαvg.tz
By
Atαvx
OG
A’, B’ et C’ sont des constantes que l’on peut déterminer à partir des conditions initiales à t0 = 0 le point G est en O
0
0
OG
0
0
0
0
0
0
0z
y
x
OG
'0.sin0.
2
1
0
'0
'0.cos0
0
2
0
0
00
0
Cαvg.z
By
Aαvx
OG
0'
0'
0'
0
0
0
zC
yB
xA
g
αvg.tv
v
αvv
v
z
y
x
G
sin
0
cos
0
0

D’où les coordonnées du vecteur position :
Remarque :
Quelque soit t, y = 0 donc le mouvement de G s’effectue dans le plan verticale (O,
i
,
k
) contenant
0
v
.
2. Equation cartésienne de la trajectoire.
On désire exprimer z en fonction de x.
tαvg.tz
tαvx
.sin.
2
1
.cos
0
2
0
)
cos
.(sin)
cos
(.
2
1
cos
0
0
2
0
0
vx
αv
vx
g.z
vx
t
On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie :
La trajectoire est un arc de parabole.
a- La flèche.
La flèche est l’altitude h la plus élevée atteinte par le
projectile.
La vitesse est tangente à la trajectoire, au sommet S,
S
v
est horizontale donc
0vSZ 
Avec vSZ = -g.ts + v0sin = 0 on en déduit :
g
v
tO
S
sin.
 g
v
v
g
v
gzS
sin
sin
sin
2
10
0
2
0
g
v
g
v
zS
22
0
22
0sin.
2
sin. 
D’où l’expression de la flèche :
Remarque.
La flèche de la trajectoire dépend uniquement de la vitesse initiale.
b- La portée.
Le projectile atteint le sol en un point P, la distance OP est la portée de la trajectoire.
Au point P, zP = 0, en utilisant l’équation cartésienne de la trajectoire on peut écrire :
PPP xx
vg
z.tan.
cos.2
02
22
0
)tan.
cos.2
(0 22
0
 PP x
vg
x
d’où deux solutions :
x = 0 ,qui correspond à l’abscisse du point de départ O,
ou :
g
v
xP
tan.cos.2 22
0
soit la portée :
Remarque.
La portée dépend uniquement des deux composantes de la vitesse initiale.
tαvg.tz
y
tαvx
OG
.sin.
2
1
0
.cos
0
2
0
xx
vg
z.tan.
cos.2 2
22
0
h =
g
v
zS2
sin. 22
0
g
v
g
v
xOP P
2sincos.sin..2 2
0
2
0