Mouvements de projectiles

Mouvements de projectiles
I. Eléments de cinématique.
1. Vecteur vitesse.
Soit un mobile animé d’un mouvement quelconque. Soit M la position du mobile à l’instant
t et soit M’ la position du mobile à l’instant t’.
MM ' peut s’écrire MM '  OM '  OM .
Définition : On appelle vecteur position du mobile le vecteur OM
Soit O l’origine du repère. Le vecteur

Définition : On appelle vecteur vitesse du mobile le vecteur v 
lim
t 0
Le vecteur vitesse du mobile peut s’écrire :
Soit
OM '  OM

v  lim
t
t 0

MM '
.
t
MM '

v  lim
t
t 0
OM

v  lim
t
t 0
OM représente le vecteur variation du vecteur position.
Ou encore :
v
d OM
.
dt
D’où les coordonnées du vecteur vitesse :
Le vecteur position a pour expression :
OM  xi  y j  z k .
Le vecteur vitesse du mobile peut s’écrire :
v
d ( xi  y j  z k )
dt

 dx  dy  dz 
v i
j k
dt
dt
dt
      
v  x .i  y . j  z .k
2. Vecteur accélération.

 dv
Le vecteur accélération à pour expression : a 
dt
d (v x i  v y j  v z k )
 a
dt

 dv  dv y  dv z 
a xi 
j
k
dt
dt
dt
 d 2x  d 2 y  d 2z 
a 2 i  2 j 2 k
dt
dt
dt










a  x .i  y . j  z .k
II. Mouvement d’un projectile dans un champ de pesanteur uniforme.
Soit un objet S lancé avec une vitesse initiale v O dans un champ de pesanteur supposé localement uniforme.
1. Vecteur accélération.
Système étudié : l’objet S,
Référentiel : terrestre considéré comme Galiléen (La durée du mouvement est faible par rapport à la durée d’un
jour).
Forces extérieures exercées sur S :la force de pesanteur ou poids
Application de la deuxième loi de Newton :
F
ext

 m.aG
aG  g

P  m.aG

m.g  m.aG

P.
2. Equations horaires du mouvement.
a- Conditions initiales : Supposons qu’à l’instant t= 0, le
mobile est lancé de l’origine du repère O avec une
vitesse
v 0 faisant un angle  avec l’axe Ox.
 x0  0


Le vecteur position initiale : OG0  0  OG0  y 0  0
z  0
 0

g
v0 x  v0 cos 

Le vecteur vitesse initiale : v 0 v 0 y  0

v0 z  v0 sin 
b- Coordonnées du vecteur vitesse :
a x  0

Les coordonnées du vecteur accélération sont a G a y  0

a z   g
Le vecteur accélération est la dérivée du vecteur vitesse.
D’où
dv x

a x  dt  0

dv y

a G a y 
0
dt

dv z

a z  dt   g


v x  A

par intégration on obtient : vG v y  B

v z   g .t  C
Ou A, B et C sont des constantes que l’on peut déterminer à partir des conditions initiales : à t0 = 0
v0 x  v0 cos 

v0 v0 y  0

v0 z  v0 sin 
 A  v0 cos 

 B  0
C  v sin 
0

 D’où les coordonnées de v G :
vG  v 0
v x  v0 cos α

vG v y  0

v z   g.t  v0 sin α
Remarque :
Le mouvement est uniforme selon l’axe 0x et uniformément varié selon l’axe Oz.
Coordonnées du vecteur position :
Le vecteur vitesse est la dérivée du vecteur position.
dx


v x  dt  v0 cos α
 x  v0 cos α.t  A'


dy
d OG

0
vG 
d’où : vG v y 
par intégration on obtient : OG  y  B '
dt
dt


1
dz

 z   .g.t 2  v0 sin α.t  C '
2

v z  dt   g.t  v0 sin α

A’, B’ et C’ sont des constantes que l’on peut déterminer à partir des conditions initiales à t0 = 0 le point G est en O

 x0  0
 A'  x0  0
 x0  0  v0 cos α.0  A'




OG0  0  OG0  y 0  0  OG0  y 0  0  B'
 B'  y 0  0

C '  z  0
z  0
1
 z 0  0   .g.0 2  v0 sin α.0  C '
0

 0
2


 x  v0 cos α.t

OG y  0

1
 z   .g.t 2  v0 sin α.t
2

D’où les coordonnées du vecteur position :
Remarque :
Quelque soit t, y = 0 donc le mouvement de G s’effectue dans le plan verticale (O,
 
i , k ) contenant v 0 .
2. Equation cartésienne de la trajectoire.
On désire exprimer z en fonction de x.
x

 x  v0 cos α.t
t  v cos 


0
 

1
2
 z   1 .g.( x ) 2  v sin α.( x )
 z   2 .g.t  v0 sin α.t
0

2
v0 cos 
v0 cos 
On en déduit l’équation de la trajectoire du centre d’inertie :
z
g
.x 2  tan  .x
2
2.v cos 
2
0
La trajectoire est un arc de parabole.
a- La flèche.
La flèche est l’altitude h la plus élevée atteinte par le
projectile.
La vitesse est tangente à la trajectoire, au sommet S,
est horizontale donc
vS
v SZ  0
Avec vSZ = -g.ts + v0sin = 0 on en déduit : t S

vO . sin 
g
2
v02 . sin 2  v02 . sin 2 
 v0 sin  
1  v0 sin  
  v0 sin  
  z S  

 z S   g 
2  g 
2g
g
 g 
D’où l’expression de la flèche :
h = zS

v02 . sin 2 
2g
Remarque.
La flèche de la trajectoire dépend uniquement de la vitesse initiale.
b- La portée.
Le projectile atteint le sol en un point P, la distance OP est la portée de la trajectoire.
Au point P, zP = 0, en utilisant l’équation cartésienne de la trajectoire on peut écrire :
zP  0  
g
.x P2  tan  .x P
2
2.v cos 
2
0

0  x P (
g
.x P  tan  )
2.v cos 2 
2
0
d’où deux solutions :
x = 0 ,qui correspond à l’abscisse du point de départ O,
2.v02 cos 2  . tan 
ou : x P 
g
soit la portée :
OP  x P 
2.v02 . sin  . cos  v02 sin 2

g
g
Remarque.
La portée dépend uniquement des deux composantes de la vitesse initiale.