∑ ∑ ∑

Mécanique Classique Lagrangienne et Hamiltonienne
Avant d’entrer dans l’étude de la mécanique quantique, il paraît nécessaire d’acquérir quelques notions
supplémentaires de mécanique classique. En effet, la mécanique classique disons traditionnelle repose sur la
notion de Force, trop directement reliée à la notion de trajectoire, qui n’a plus vraiment de sens en mécanique
quantique. Cependant, il est possible de reformuler la mécanique classique sans utiliser le principe
fondamental de la dynamique. Par ailleurs, ces notions permettront de comprendre quelques idées clefs dans
le raisonnement qui a conduit à l’établissement du formalisme quantique.
I Formalisme Lagrangien et principe de moindre action
11 Coordonnées généralisées
r
En mécanique classique, le mouvement d’une particule est défini connaissant sa trajectoire r ( t ) .
En se donnant un repère de référence, cette trajectoire est décrite par trois fonctions x(t), y(t) et z(t).
On appelle coordonnées généralisées les six fonctions ( x ( t ), y(t), z(t), x& (t), y& (t), z& (t)) .
Pour un système à plusieurs particules, les coordonnées généralisées, notés ( x i , x& i ) contiennent toutes les
coordonnées généralisées des différentes particules.
La théorie de la mécanique classique permet de prédire l’évolution des coordonnées généralisées en
fonction du temps connaissant ces coordonnées à un instant donné.
Tout système mécanique est caractérisé par une fonction L( x i , x& i , t ) appelée Lagrangien du système.
12 Principe de moindre action :
Entre deux instants t1 et t2 quelques, le système évolue de façon à minimiser la grandeur S appelée
action donnée par :
t2
S( t1 , t 2 ) =
∫ L(x (t), x& (t), t) dt
i
i
t1
(analogie forte avec l’optique géométrique, où la trajectoire des rayons lumineux peut se déterminer par le
principe de Fermat, en minimisant le chemin optique).
Ce principe de moindre action conduit à des conséquences sur le Lagrangien du système. En effet,
celui ci doit satisfaire aux équations de Lagrange :
Pour chaque xi,
∂L d  ∂L
− 
∂ x i dt  ∂ x& i

 = 0

Conséquence : si L( x i , x& i , t ) = L( x i , x& i ) , c’est à dire si L n’est pas une fonction explicite du temps, alors la
quantité H définie par : H =
∑
i
∂L
∑  ∂x
En effet dL =
i
dL
=
dt
∂L
∑  ∂x
i
x& i +
i
dL
=
dt
dx i +
i
 ∂L
∂L
dx& i  +
dt par définition des dérivées partielles soit :
∂x& i
∂t

∂L 
&x& i  (puisque ∂L / ∂t = 0). Par ailleurs, d’après les équations de Lagrange :
∂x& i 
∂L
∑  ∂x
i
∂L
x& i − L est une constante du mouvement (i.e. dH / dt =0).
∂x& i
i
x& i +
∂L 
&x& i  =
∂x& i 
 d  ∂L 
∑  dt  ∂ x&  x& + ∂x&
∂L
i
i
i
i
 d
&x& i  =
 dt

 ∂L
∑  ∂ x&
i
i

x& i  soit dH / dt =0.

13 Forme générale du Lagrangien d’un système conservatif
Lorsque toutes les forces appliquées au système dérivent d’une énergie potentielle V ( x i , t ) , c’est à dire
r
→
peuvent se mettre sous la forme : F = − grad V
(ce qui n’est évidemment pas le cas de toutes les forces, on verra par la suite le cas de la force magnétique
par exemple), le Lagrangien d’un système est donné par :
L( x i , x& i , t ) =
1
2
∑ m x&
i
2
i
− V( x i , t )
i
Remarquons qu’en absence de potentiel (V=0), c’est à dire pour une particule libre, le Lagrangien, qui décrit
l’état du système n’est ni fonction de la position des particules (toutes les positions sont indépendantes), ni
du temps (tous les instants sont indifférents), ni de la direction du mouvement de la particule (toutes les
directions sont indépendantes), ce qui correspond bien à l’image que l’on se fait d’une particule libre.
Par ailleurs, cette formulation du Lagrangien permet de retrouver le principe fondamental de la
dynamique, puisque :
∂L d  ∂L
− 
∂ x i dt  ∂ x& i

∂V
 = 0 implique m i &x& i = −
∂x i

Enfin, si V ( x i , t ) = V( x i ) , L ne dépend pas explicitement du temps. Comme on l’a vu précédemment,
on a dans ce cas, la grandeur H, définie par H =
∑
i
Or H =
∑
i
1
m i x& i −
2
2
∑
i
1
m i x& i + V( x i ) =
2
2
∑ m x&
i
2
i
∂L
x& i − L indépendante du temps.
∂x& i
+ V( x i ) , c’est à dire ce que l’on a l’habitude
i
d’appeler l’énergie totale du système.
II Lagrangien d’une particule chargée dans un champ électromagnétique
La force magnétique est non seulement un exemple important de force non conservative, mais également un
élément important du couplage lumière matière qui est un des phénomènes étudié dans le cadre de ce cours.
Dans ce paragraphe, nous montrerons comment généraliser le formalisme Lagrangien même pour une force
non conservative.
21 Description du champ électromagnétique par le potentiel et le potentiel vecteur.
Dans un milieu diélectrique linéaire isotrope et homogène, le champ électromagnétique se détermine à partir
des Equations de Maxwell :
r
r
→ r
→ r
r
r
r
ρ
∂B
∂E
rot E = −
, div E =
, div B = 0 , rot B = µ 0 ( j + ε 0 ε r
)
ε0ε r
∂t
∂t
r
r → r r
Puisque div B = 0 on peut écrire B = rot A , A étant le potentiel vecteur.
r
r
r
→
→ r
r ∂A
∂ B →  r ∂ A 
, rot  E +
=
0
,
on
peut
donc
écrire
:
+
=
−
grad
V.
Puisque rot E = −
E
∂t 
∂t
∂t

r
→
r
r r
r → r r
∂A
On peut donc remplacer le couple E, B par le couple V, A donné par : B = rot A , E = − grad V −
∂t
r
Et dans ce cas les équations de Maxwell permettent de déterminer les équations d’évolution de V, A .
r
r r
Malheureusement, le couple V, A donnant le même E, B n’est pas unique. En effet, pour toute fonction χ
r
arbitraire, le nouveau couple V ' , A' défini par :
→
r r
r r
∂χ
A ' = A + grad χ V ' = V −
donne lieu au même champ E, B . En effet,
∂t
r
r
r
→
→
→ ∂χ
→ ∂χ
→
→ r
→ r
→ →
→ r
r
∂ A'
∂A
∂A r
rot A' = rot A + rot grad χ = rot A = B et − grad V'−
= − grad V + grad
−
− grad
= − grad V −
=E
∂t
∂t
∂t
∂t
∂t
Pour lever cette indétermination, on se donne une condition supplémentaire arbitraire appelée condition de
jauge. Le choix de cette condition repose uniquement sur des considérations mathématiques : il s’agit pour
un problème donné de choisir la condition de jauge qui simplifie au maximum les calculs (on reviendra sur
ce point dans la suite du cours). Evidemment, les résultats physiques obtenus (champs etc) sont indépendants
en électromagnétisme classique comme quantique du choix de la condition de jauge. Les conditions de jauge
les plus courantes sont :
r
La jauge de Lorentz : div A +
r
1 ∂V
=
0
ou
la
jauge
de
Coulomb
:
div
A
=0
c 2 ∂t
22 Mouvement d’une particule chargée dans un champ électromagnétique
Si on considère une particule de charge q se évoluant dans un champ électromagnétique, on peut
rr
1
2
r
r
r r r
montrer que son Lagrangien est donné par : L( r , r& , t ) = m &r 2 − q V( r , t) + q r& ⋅ A( r , t)
On peut le vérifier aisément en calculant les équations du mouvement soit à partir des équations de
Lagrange, soit à partir du principe fondamental de la dynamique. Evidemment le résultat est le même.
III Fonction de Hamilton, Lien avec l’action
31 Impulsion généralisée
Le formalisme de Hamilton repose sur une description un peu différente du formalisme Lagrangien. Alors
que le Lagrangien était précédemment considéré comme une fonction des coordonnées généralisées et du
temps, dans le formalisme Hamiltonien, on remplace la vitesse par l’impulsion généralisée définie par :
pi =
∂L
∂x& i
Si toutes les forces dérivent d’une énergie potentielle, on a :
L( x i , x& i , t ) =
1
2
∑ m x&
i
2
i
− V( x i , t ) et donc, comme nous en avons l’habitude : p i = m x& i .
i
Pour une particule chargée dans un champ électromagnétique, on a :
rr
r
r r r
1 r
L( r , r& , t ) = m &r 2 − q V( r , t) + q r& ⋅ A( r , t) et donc p i = m x& i + q A x
2
32 Fonction de Hamilton (Hamiltonien)
Elle est définie par H =
∑
i
∂L
x& i − L , soit H ( x i , p i , t ) =
∂x& i
Pour un système à force conservative, H =
∑ p x& − L(x , x& , t) . Nous avons déjà vu que :
i
pi 2
∑ 2m
i
i
i
i
i
+ V( x i , t )
i
Si V ( x i , t ) = V( x i ) , alors d H / dt = 0.
Dans le cas général cependant, il faut trouver une façon de définir H indépendant de L et de la vitesse. C’est
le rôle des équations de Hamilton Jacobi.
Par définition H ( x i , p i , t ) =
p i x& i − L( x i , x& i , t ) donc dH =
(pi dx& i + x& i dp i ) − dL
Or dL =
∑
∑
i
i
∂ L d pi
∂L
∂L
(
dx i + p i dx& i ) +
dt et d’après les équations de Lagrange
=
, soit :
∂x i
∂t
∂ xi
dt
i
dH =
∑
∑ (x& dp −
i
i
i
d pi
∂L
dx i ) −
dt . Par identification avec dH =
dt
∂t
on en déduit que :
∑ ( ∂x
∂H
i
dx i +
i
∂H
∂H
dp i ) +
dt
∂p i
∂t
∂H
∂H
∂H
∂L
= −p& i ,
= x& i et
=−
∂x i
∂p i
∂t
∂t
33 Lien avec l’action S
Dans cette section, nous allons tout d’abord définir l’action de manière un peu différente : il s’agira d’une
fonction caractéristique d’une trajectoire réelle donnée, fonction des coordonnées du point d’arrivée et du
r
temps : S( rf , t ) =
t
∫ L(x , x& , t' ) dt'
i
i
t0
Considérons une trajectoire donnée, la variation d’action induite par une variation de temps (dt) et des forces
agissant sur le système, induira une variation d’action donnée par :
dS =
∑
i
∂S
∂S
dx if + dt
∂x if
∂t
Nous allons chercher à déterminer ces dérivées partielles. Pour cela, considérons simplement dans un
premier temps une variation de trajectoire induite par une variation des forces agissant sur le système, sans
changer l’instant d’arrivée (dt = 0).
r
dS( rf , t ) =
t
∫∑
t0
Donc
i
∂L
∂L
dx i +
dx& i dt' =
∂x i
∂x& i
t
∫∑
t0
i

∂L
d ∂L
dx i +
dx i dt' + 
∂x i
dt ∂x& i

∂S
dS
= p if . Enfin, nous savons par définition que
=L=
∂x if
dt
∂S
=L−
∂t
∑
i
∂S
p i x& if = −H , Donc
= −H
∂t
∑
i
∑ p x&
i if
i
t

∂L
dx i  =
∂x& i

t0
+
∑
i
∂S
, et donc
∂t
∂L
dx if =
∂x& i
∑ p dx
i
i
if