Le principe de moindre action

Le principe de moindre action
Le principe de moindre action
F. Hérau
Laboratoire de Mathématiques
Université de Reims
Fete de la science novembre 2008
Le principe de moindre action
Définition
Principe de moindre action :
en physique, hypothèse selon
laquelle la dynamique d’une
quantité (position, vitesse
accélération...) entre deux
instants se déduit d’une
unique grandeur appelée
action dont on suppose
qu’elle atteint son minimum.
"la nature est fainéante"
"principe d’économie naturelle".
Le principe de moindre action
La ligne droite
Route des alizés 4500 milles :
route de vents réguliers soufflant
toute l’année dans la zone
intertropicale du nord-est au
sud-ouest dans l’hémisphère nord
Route loxodromique 3584 milles :
c’est la ligne droite sur un
planisphère, mais ce n’est pas la
route la plus courte. elle coupe les
méridiens sous un angle constant.
Route orthodromique 3540 milles :
c’est la ligne de plus courte
distance entre deux points de la
surface de la Terre.
entre A et B le plus court chemin
est la ligne droite....
... s’il n’y a pas de vent ... si le
terrain est plat ... etc...
Route du Rhum 2002
Le principe de moindre action
Un peu d’histoire ...
Les formulations changent mais le principe reste identique.
1655 Fermat : "la trajectoire minimise une durée ou une
longueur"
1744 Maupertuis : "principe de moindre action pour la
mecanique" .
"Si sage si digne de l’être suprême" (considérations
métaphysiques).
1756 Lagrange : Expression mathématique (Lagrangien).
1788 : puis preuve du principe à partir de la dynamique de
Newton et de la conservation de l’énergie (plus de
considérations métaphysiques...)
Le principe de moindre action
...
Un principe fécond.
1827 Hamilton : développement de la mécanique
hamiltonnienne (suivi par Jacobi 1840).
1920 : le principe guide De Broglie dans sa théorie des quanta.
1916 : réecriture des équations de la relativité générale par
Hilbert.
1942 : Feynmann propose une nouvelle formulation du principe
en mécanique quantique et retrouve l’équation de Schrödinger.
Le principe de moindre action
...
Joseph-Louis Lagrange
1736-1813
Sir William Rowan Hamilton
1805-1865
Adrien-Marie Legendre 1752-1833
Le principe de moindre action
...
David Hilbert 1862-1943
Richard Feynman 1918-1988
Le principe de moindre action
Un peu de mécanique classique
Le principe dit que l’action est minimisée le long de la trajectoire
effectivement suivie.
Le Lagrangien au temps t d’une particule classique de masse m,
position x(t) et vitesse v = ẋ(t) est défini par
L(t, x, v ) = Ec − Ep =
1
mv 2 − V (x)
2
et l’action pour aller de la position x1 au temps t1 à la position x2 au
temps t2 est donnée par
Z
t2
A(x(t); t1 , x1 , t2 , x2 ) =
L(t, x(t), v (t))dt.
t1
minimiser l’action entre t1 et t2 revient à trouver
la trajectoire qui minimise l’énergie cinétique
et maximise l’énergie potentielle.
Le principe de moindre action
Elements de preuve : Particule classique
Considérons une trajectoire x(t) et une trajectoire proche x(t) + δx(t)
de mêmes extrémités.
Alors la variation de l’action est donnée par
Z t2 ∂L
∂L
δx +
δv dt,
δA =
∂x
∂v
t1
et par intégration par parties en utilisant que δv =
Z
t2
δA =
t1
∂L
d ∂L
−
∂x
dt ∂v
d
dt δx
on obtient
δxdt.
Le principe dit que A doit être extrémal, donc δA = 0 quel que soit la
petite perturbation δx, ce qui implique
∂L
d ∂L
−
=0
∂x
dt ∂v
qui s’écrit ici
m~a = m
d
∂V
~
v =−
=F
dt
∂x
On retrouve l’équation fondamentale de la mécanique.
Le principe de moindre action
Equation d’Euler-Lagrange et Lagrangien
c’est l’équation précédente :
∂L
∂x
−
d ∂L
dt ∂v
=0
permet de déterminer la dynamique du mouvement étant donné un
Lagrangien
Comment construire un Lagrangien ?
c’est une question difficile.
Le lagrangien est non unique.
La résolution de l’équation d’Euler-Lagrange est difficile
(équation ordre 2)
s’il n’y a pas d’origine des temps privilégiée alors L = L(x, v ) ne
dépend pas du temps (système isolé).
Il est construit à partir de considérations de symétrie (invariance
par translation pour la mécanique classique par exemple, par
rotation...)
Considérations physiques (pour les constantes)
Le principe de moindre action
Lagrangien et énergie
De manière abstraite, on peut considérer un Lagrangien L (et donc
des trajectoire réalisées) et chercher quelles sont les quantités
conservées le long des trajectoires.
Considérons une trajectoire x(t) satisfaisant l’équation
d’Euler-Lagrange (pour un Lagrangien homogène) On a alors
∂L
∂L
d ∂L dv ∂L
d
∂L
d
L(x, v ) = ẋ
+ v̇
=v
+
=
v
dt
∂x
∂v
dt ∂v
dt ∂v
dt
∂v
où on a utilisé l’équation d’Euler-Lagrange et la dérivée d’un produit.
On a donc obtenu
∂L
d
v
− L = 0.
dt
∂v
La quantité
∂L
−L
∂v
est donc une quantité conservée on l’appelle énergie
(c’est une "intégrale première du mouvement")
E(x, v ) = v
Le principe de moindre action
Energie, quantité de mouvement et Hamiltonien
Dans le cadre classique précédent, pour L = 21 mv 2 − V (x) on
retrouve l’énergie totale de la particule.
1
1
E = vmv − ( mv 2 − V (x)) = mv 2 + V (x)
2
2
On introduit alors le moment conjugué de v , noté p :
p(x, v ) =
∂L
(x, v )
∂v
ici cela donne p = mv , c’est la quantité de mouvement. Sous la
condition L00v (x, v ) 6= 0 on écrit l’énergie comme fonction de x et de p
et on l’appelle Hamiltonien
H(x, p) =
p2
+ V (x)
2m
Le principe de moindre action
Equations canoniques
La relation liant Lagrangien et Hamiltonien est
H(x, p) = pv − L(x, v )
( si p =
∂L
)
∂v
de manière générale
H(x, p) = maxv (pv − L(x, v ))
le Hamiltonien H est la transformée de Legendre du Lagrangien L.
On peut réecrire les équations du mouvement dans les variables
(x, p) : ce sont les équations canoniques
ẋ(t)
ṗ(t)
= ∂H
∂p (t, x, p)
= − ∂H
∂x (t, x, p)
ce système d’équation d’ordre 1 est plus facile à résoudre que
l’équation d’Euler Lagrange (ici d’ordre 2 )
Le principe de moindre action
élément de preuve...
On a d’une part
dH =
∂H
∂H
∂H
dt +
dx +
dp
∂t
∂x
∂p
d’autre part puisque H(x, p) = pv − L(x, v )
∂L
∂L
∂L
dt +
dx +
dv
∂t
∂x
∂v
∂L
∂L
= vdp −
dt +
dx
∂t
∂x
dH = pdv + vdp −
par définition du moment conjugué on obtient ainsi en identifiant
dx def
∂H
=v=
,
dt
∂p
Dans le cas où H =
1 2
2m p
−
∂H
∂L
d ∂L def dp
=
=
=
∂x
∂x
dt ∂v
dt
+ V (x), on obtient
dx
= p/m et
dt
dp
= −∇V (x).
dt
Le principe de moindre action
Un autre xemple : principe de Fermat
En dimension 3 (x ∈ R3 ).
"Pour aller de A à B, la lumière met le temps minimal".
"La lumière Parcourt la longueur minimale"
On définit Le Lagrangien
q
L(x, v ) = kẋk = v12 + v22 + v32 .
(on a ds = kv k dt longueur infinitésimale)
L’action est alors
Z
def
L(x1 , x2 ) = A(x(t), t1 , x1 t2 , x2 ) =
t2
Z
x2
kẋk dt = ”
t1
ds”
x1
l’équations d’Euler Lagrange est alors
0=
∂L
d ∂L
=
= v̇ /kv k
∂x
dt ∂v
d’ou v̇ = 0 et donc v = cte (dans R3 ). ie le plus court chemin c’est la
ligne droite.
Le principe de moindre action
Géodésiques
La recherche des courbes de longueur
minimale (par exemple sur une sphere) est
importante : elles sont appelées
géodésiques, et sont construites sur le
même modèle que précédemment.
Cela définit même une distance pour la
géométrie considérée : d(x1 , x2 ) = L(x1 , x2 ).
penser à l’exemple du début : ligne
orthodromique pour la route du Rhum.
En mécanique semi-classique par exemple, certaines fonctions
2
propres d’opérateurs sont proches de fonctions du type e−d(x0 ,x) /h
2
où x0 est un minimum de V et P = −h ∆ + V (x).
Le principe de moindre action
Analyse microlocale, mécanique semi-classique
De manière générale, la mécanique hamiltonnienne est très présente
(sous-jacente) dans la branche des EDP (Equations aux Dérivées
Partielles) appelée analyse microlocale.
La mécanique semi-classique (i.e. dans laquelle il y a un petit
paramètre par exemple la constante de Planck h) est une branche de
la mécanique quantique dans laquelle le comportement des
particules (quantiques) est très similaires (mais différent :-) a celui
des particules classiques.
Ces branches des mathématiques sont très représentées à Reims.
Le principe de moindre action
d’autres Lagrangiens...
p
Relativité L = −mcτ = −mc 2 1 − v 2 /c 2 où τ est le temps
propre du trajet (longueur de la trajectoire pour la métrique de
l’espace)
Physique quantique :
ih
h
−h
¯ − 1
L(φ, ∂φ) = (φ̄φ̇ − φ̇φ)
∇φ̄
∇φ − V (x)φ̄φ
2
2m
i
i
Théorie quantique des champs QED, Dirac...
Intégrale de chemin - Feynman 1942
Z
K (x2 , t2 , x1 , t1 ) = Dx(t)eiA(x(t))/h
où A est l’action classique, et où on a utilisé la mesure formelle
Dx(t) = lim
N
m N/2 N−1
Y
dxk .
2πihε
k =1
On retrouve la formule de Schrödinger en considérant l’équation
de Euler-Lagrange associée.
Le principe de moindre action
bibliographie
[1] Histoire du principe de moindre action, F. Martin Robine, Vuibert 2006.
[2] Principe variationnels et dynamique, J.-L.Basdevant, Vuibert 2005.
[3] Photons et atomes, introduction a la QED, C. Cohen-Tannoudji, J. Dupond-Roc et G.
Grynberg, Intereditions 1998.
[4] The principle of least action in quantum mechanics, R. Feynman, thèse de l’université de
princeton 1942
[5] Calculus of variations, I.M. Gelfand et S.V. Fomin, prentice-Hall, 1963.