Electrodynamique relativiste 1 Lagrangien d`une particule chargée

ECOLE POLYTECHNIQUE −Promotion X2015
Laurent Sanchez-Palencia ([email protected])
web: http://www.uquantmat.fr/teachX-PHY431.html
RELATIVITÉ ET PRINCIPES VARIATIONNELS (PHY431)
Petite Classe 6 (13 décembre 2016)
Electrodynamique relativiste
L’électrodynamique, qui décrit la dynamique couplée de particules chargées et de champs électro-
magnétiques, est à l’origine de la relativité restreinte. C’est en effet pour assurer l’invariance des
équations de Maxwell que Lorentz a introduit les transformations éponymes. L’objectif de cette
PC est d’une part de formuler deux formes alternatives du lagrangien d’une particule chargée
dans un champ électromagnétique et d’autre part d’établir les lois de transformation du champ.
1 Lagrangien d’une particule chargée dans un champ électromagnétique
1. On considère un champ électromagnétique (~ E,~ B)de carrés sommables.
(a) Montrer qu’il existe un potentiel scalaire Φ(~r, t)et un potentiel vecteur ~ A(~r, t)tels
~
E=−∂t~
A − ~ ∇Φet ~ B=~ ∇ × ~ A.
On pourra travailler dans l’espace de Fourier.
(b) Montrer que les potentiels Φ(~r, t)et ~ A(~r, t)sont déterminés à un choix de jauge près
que l’on explicitera.
2. On considère une particule classique chargée dans un champ électromagnétique.
(a) Montrer qu’un lagrangien acceptable est
L(~r, ~v, t) = m
2~v2−qΦ(~r, t) + q~v ·~
A(~r, t).
On pourra utiliser la relation ~ ∇(~ f·~g) = ~ f×(~ ∇ × ~g) + ~g ×(~ ∇ × ~ f) + ( ~ f·~ ∇)~g + (~g ·~ ∇)~ f.
(b) Discuter l’effet de l’indétermination de jauge.
3. On considère à présent une particule relativiste.
(a) Montrer qu’un lagrangien acceptable est
L(~r, ~v, t) = −mc2p1−~v2/c2−qΦ(~r, t) + q~v ·~
A(~r, t).
(b) Déterminer l’énergie Eet l’impulsion ~p de la particule.
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2 Lagrangien relativiste en formulation covariante
1. Montrer que l’équation du mouvement de la particule s’écrit
mdUµ/dτ =qFµν Uν,
où les Uµsont les composantes contravariantes de la quadri-vitesse et les Fµν =∂µAν−
∂νAµcelles du tenseur de Faraday.
2. On introduit la quantité à quatre composantes A≡(Φ,~
A)R. On montrera un peu plus
loin qu’il s’agit d’un quadri-vecteur, appelé quadri-vecteur potentiel éléctromagnétique.
(a) A l’aide du lagrangien de la partie précédente, écrire l’action Ssous la forme d’une
intégrale sur le temps propre τ.
(b) Justifier que ce lagrangien n’est pas acceptable.
3. Afin de lever cet écueil, on propose le lagrangien
L(X, U, τ) = m
2UµUµ+qAµUµ.
(a) Montrer que ce lagrangien est quant à lui acceptable.
(b) En déduire que l’on peut faire un choix de jauge tel que Aest un quadri-vecteur.
(c) Ecrire l’indétermination de jauge sous forme covariante. Commenter son impact sur le
lagrangien défini ici.
(d) Déterminer la quadri-impulsion P. En déduire l’énergie et l’impulsion de la particule.
Commenter.
(e) Déterminer le hamiltonien généralisé. Commenter.
3 Lois de transformation du champ électromagnétique
1. On considère deux référentiels inertiels (R)et (R′).
(a) Déterminer les lois de transformation du champ électromagnétique en distinguant les
composantes parallèle et orthogonale des champs. Aurait-on pu considérer les champs
électrique et magnétique comme les composantes spatiales de quadri-vecteurs ?
(b) On suppose que les champs électrique et magnétique sont homogènes et orthogonaux
dans le référentiel (R). Sans restriction de généralité, on peut donc considérer le cas ~ E=
E~eyet ~ B=B~ez. Déterminer dans quelles conditions on peut trouver un référentiel (R′)
se déplaçant dans la direction xtel que le champ électrique ou le champ magnétique
s’annule. Déterminer dans chaque cas le champ qui subsiste.
2. On considère un fil conducteur infini de densités linéiques de charges positives +λ0et
de charges négatives −λ0en l’absence de courant. Lorsqu’une différence de potentiel est
appliquée aux bornes du conducteur, seules les charges négatives (les électrons) sont mises
en mouvement. On notera ~v =−v~exleur vitesse.
(a) Déterminer les champs électriques et magnétiques créés par les charges positives d’une
part et négatives d’autre part dans leurs référentiels propres respectifs (R)et (R′).
(b) En déduire les champs électriques et magnétiques totaux dans les référentiels (R)d’une
part et (R′)d’autre part.
(c) Interpréter ces résultats en calculant ces champs directement dans chacun des référen-
tiels (R)et (R′).
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