de rappels sur les polynômes

Polynômes à une indéterminée à coefficients dans IK
Rappels de Première année
Table des matières
1 L’algèbre IK[X]2
1.1 Définition....................................... 2
1.2 Lois internes dans IK[X].............................. 2
1.2.1 Addition de polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.2 Multiplication de polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.3 Multiplication d’un polynôme par un scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Composition dans IK[X].............................. 3
1.4 Degréd’unpolynôme ................................ 4
1.5 Dérivation dans IK[X]................................ 4
2 Divisibilité dans IK[X]5
2.1 Division euclidienne dans IK[X].......................... 5
2.2 Polynômes irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Racines d’un polynôme 6
3.1 Fonctionpolynômiale ................................ 6
3.2 Racined’unpolynôme................................ 6
3.3 Polynômes scindés sur IK .............................. 7
3.4 Polynômes irréductibles de CI[X].......................... 8
3.5 Polynômes irréductibles de IR[X].......................... 9
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1 L’algèbre IK[X]
1.1 Définition
Définition 1 : On appelle polynôme à une indéterminée à coefficients dans IK, toute
suite (an)n∈IN d’éléments de IK presque nulle, c’est à dire nulle à partir d’un certain rang :
∃N∈IN, ∀n > N, an= 0IK
Pour nfixé, anest appelé le nième coefficient du polynôme.
Par définition donc, un polynôme Pest nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls. De
même, deux polynômes P= (an)n∈IN et Q= (bn)n∈IN sont égaux ssi (an)n∈IN = (bn)n∈IN c’est à
dire plus simplement ∀n∈IN, an=bn.
Notation : L’ensemble des polynômes à une indéterminée à coefficients dans IK est noté IK[X].
On note par Xle polynôme (0,1,0,0,0,· · ·)ie défini par la suite :
a0= 0, a1= 1,∀n≥2, an= 0
1.2 Lois internes dans IK[X]
1.2.1 Addition de polynômes
Définition 2 : Soient P= (an)n∈IN et Q= (bn)n∈IN deux polynômes de IK[X].
On définit par P+Q, le polynôme (an+bn)n∈IN .
On définit ainsi une loi de composition interne de IK[X].
Propriété 1 :(IK[X],+) est un groupe abélien.
1.2.2 Multiplication de polynôme
Attention, cette multiplication n’est pas du tout celle des suites.
Définition 3 : Soient P= (an)n∈IN et Q= (bn)n∈IN deux polynômes de IK[X].
On pose P·Q= (cn)n∈IN où
cn=
n
X
i=0
aibn−i
On démontre que P·Qest un polynôme dont les coeffs sont :
(a0b0, a0b1+a1b0, a0b2+a1b1+a2b0,· · · ,
n
X
i=0
aibn−i,· · ·)
Ainsi, on a défini une deuxième loi interne appelée multiplication des polynômes.
Propriété 2 :(IK[X],+,·)est un anneau commutatif.
Remarques :
1) L’élément neutre pour ·est le polynôme (1,0,0,· · ·)plus communément noté 1.
2) On montre que l’application :
Θ : IK −→ IK[X]
λ7−→ (λ, 0,0,· · ·)
est un morphisme d’anneau injectif.
Ainsi Θ(IK)est isomorphe à IK : c’est pourquoi, on fait souvent la confusion entre le scalaire
λet le polynôme (λ, 0,0,· · ·)appelé plus communément le polynôme constant λ.
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1.2.3 Multiplication d’un polynôme par un scalaire
Définition 4 : Soit λ∈IK et P= (an)n∈IN ∈IK[X].
On définit λ·P= (λ an)n∈IN .
λ·Pest un polynôme.
On définit ainsi une loi externe appelée multiplication par un scalaire.
Propriété 3 :(IK[X],+,·,·)est une IK-algèbre commutative, c’est à dire un IK espace vec-
toriel et un anneau commutatif.
Propriété 4 :
Θ : IK −→ IK[X]
λ7−→ (λ, 0,0,· · ·)
est un morphisme de IK-algèbres injectif.
Notation définitive pour un polynôme :
On note X= (0,1,0,· · ·)appelée l’indéterminée.
On pose X0= (1,0,0,· · ·) = 1 et pour tout n∈IN, Xn+1 =Xn·X.
Une récurrence immédiate montre que :
∀n∈IN∗, Xn= (0,0,0,· · · ,1
(n+1)ième coeff ,0,0,0,· · ·)
Soit P= (an)n∈IN un polynôme.
Il existe N∈IN, ∀n > N, an= 0.
Alors
P= (a0, a1, a2,· · · , ai,· · · , aN,0,0,· · ·)
=a0(1,0,0,· · ·) + a1(0,1,0,· · ·) + · · · +ai(0,0,0,0,· · · ,1
(i+1)ième coeff ,0,· · ·) + · · ·
+aN(0,0,0,0,· · · ,1
(N+1)ième coeff ,0,· · ·)
=a0X0+a1X+a2X2+· · · +aiXi+· · · +aNXN
=
N
P
i=0
aiXi
Nous adopterons désormais cette notation pour un polynôme.
1.3 Composition dans IK[X]
Définition 5 : Soient P=
N
P
i=0
aiXi∈IK[X]et un autre polynôme de IK[X].
On définit le polynôme composé noté P◦Qou P(Q)par :
P(Q) = a0+a1Q+a2Q2+· · · +aNQN
Applications courantes :
1) On prend Q=X+a, a ∈IK. Ainsi P(Q) = P(X+a) =
N
P
i=0
ai(X+a)i.
2) On prend Q=−X. Ainsi P(Q) = P(−X) =
N
P
i=0
ai(−X)i=
N
P
i=0
ai(−1)iXi.
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1.4 Degré d’un polynôme
Définition 6 : Soit P∈IK[X],(an)n∈IN la suite de ses coefficients.
1) Si P6= 0, on appelle degré de P, qu’on note deg P le plus grand entier ntel que an6= 0.
L’élément adegPest appelé coefficient dominant de P.
On dit que Pest unitaire (ou normalisé) lorsque P6= 0 et adegP= 1.
2) Si P= 0, on pose deg(0) = −∞.
Propriété 5 : Soient (P, Q)∈IK[X]2et λ∈IK∗.
1) deg(P+Q)≤Sup(degP,degQ). (on convient que ∀n∈IN, −∞ ≤ n).
Si degP6=degQ, alors deg(P+Q)=Sup(degP,degQ).
2) deg(P Q)=degP+degQ.
3) deg(λ P )=degP.
Corollaire 1 :
1) Les polynômes inversibles (pour la multiplication interne) dans IK[X]sont les polynômes de
degré 0 ie les éléments de IK∗.
2) (P Q = 0 ⇐⇒ P= 0 ou Q= 0) : On dit que IK[X]est intègre.
Corollaire 2 : Soit n∈IN.
On note IKn[X] = {P∈IK[X]/deqP≤n}.
IKn[X]est un IK-e.v.
1.5 Dérivation dans IK[X]
Définition 7 : Pour tout polynôme P=
degP
P
i=0
aiXi∈IK[X], on appelle polynôme dérivé de
P, qu’on note P0le polynôme défini par :
P0=
degP
X
i=0
i aiXi−1
On note P(0) =P, P (1) =P0,∀k≥1, P (k)=P(k−1)0.
Propriété 6 :
1) ∀P∈IK[X],
degP0=degP−1si degP≥1
−∞ si degP≤0
2) ∀n∈IN, degP≤n⇐⇒ P(n+1) = 0.
3)
D:IK[X]−→ IK[X]
P7−→ P0est un endomorphisme.
4) ∀(P, Q)∈IK[X]2,(P Q)0=P0Q+P Q0.
5) ∀(P, Q)∈IK[X]2,(P◦Q)0=Q0(P0◦Q).
6) Formule de Leibniz :
∀(P, Q)∈IK[X]2,∀k∈IN, (P Q)(k)=
k
X
i=0
Ci
kP(i)Q(k−i)
En bref, il semble que les calculs sur les dérivées des polynômes sont identiques à ceux des
fonctions dérivables, alors que la dérivée a été définie différemment.
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2 Divisibilité dans IK[X]
Définition 8 : Soient (A, P )∈IK[X]2.
1) On dit que Aest un diviseur de Pou que Adivise Pou que Pest un multiple de Asi :
∃Q∈IK[X], P =A Q
On note A\P.
2) On dit que Aet Psont associés si : ∃λ∈IK, P =λA.
Propriété 7 :
1) ∀A∈IK[X], A\A, A\0,(0\A⇐⇒ A= 0).
2) ∀(A, B)∈IK[X]2,(A\Bet B\A)⇐⇒ (Aet Bsont des polynômes associés).
3) ∀(A, B, C)∈IK[X]3,
A\Bet B\C=⇒A\C
A\B=⇒A\BC
A\Bet A\C=⇒A\B+C
A\B=⇒ ∀n∈IN∗, An\Bn
2.1 Division euclidienne dans IK[X]
Théorème : Soient (A, B)∈IK[X]2tels que B6= 0.
Il existe un unique couple (Q, P )∈IK[X]2tel que :
A=B Q +R
degR < degB
Le polynôme Q(resp : R) est appelé quotient (resp : reste) de la division euclidienne de Apar
B.
Algorithme de la division euclidienne :
Soient (A, B)∈IK[X]2tels que B6= 0.
Si degA < degBalors Q= 0, R =A.
Sinon, on diminue le degré de Aen faisant l’opération A−Q0Bavec Q0=an
bpXn−poù
n= degA, p = degB.
- si deg(A−Q0B)<degBalors Q=Q0et R=A−Q0B.
- sinon on recommence l’opération avec (A−Q0B, B).
2.2 Polynômes irréductibles
Définition 9 : Un polynôme Pde IK[X]est dit irréductible sur IK si :
–degP≥1
– Et Pn’admet comme diviseur dans IK[X]que les polynômes constants non nuls et les
polynômes associés à P.
Remarques :
1) Les polynômes irréductibles de IK[X]ont un rôle analogue aux nombres premiers dans ZZ.
2) La notion d’irréductibilité dépend de IK :
Exemple : X2+ 1 est irréductible sur IR mais pas sur CI.
3) Par contre, Pirréductible sur CI =⇒Pirréductible sur IR.
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