Distributions de charges, symétries et invariances - ifips

Polytech - S3
2010 - 2011
Electromagnétisme
TD 1 : Distributions de charges, symétries et
invariances
Exercice 1 : Distributions linéiques
Déterminez les plans de symétrie, de symétrie inversion, les invariances et la charge totale
Q portée par les distributions de charge linéiques suivantes. On vérifiera l’homogénéité
des expressions obtenues :
1.0.1 Un segment de longueur L porté par l’axe Oz et situé entre z = −L/2 et z = +L/2.
On considèrera le cas où la densité linéique de charge λ est uniforme et le cas où
λ = az. Analysez le cas L → ∞.
1.0.2 Un anneau circulaire de rayon R, de centre O et d’axe Oz. On considèrera le cas
où la densité linéique de charge λ est uniforme et le cas où λ = λ0 sin θ.
Exercice 2 : Distributions surfaciques
2.1
Rectangle uniformément chargé
Un rectangle de longueur a et de largeur b porte une densité surfacique de charge σ. On
considèrera la situation où la distribution de charges est uniforme et celle où σ = σ0 x/a
2.1.1 Quelle est la dimension de σ ?
2.1.2 Quelles sont les symétries et invariances de la distribution de charges ?
2.1.3 Donner la charge élémentaire d’un élément de surface dS. En déduire la charge
totale Q du rectangle.
2.2
Disque uniformément chargé
Un disque de centre O rayon R porte une densité de charge surfacique σ uniforme.
2.2.1 Quels sont les plans de symétrie et les invariances de la distribution de charge.
2.2.2 Donner l’expression de la charge totale Q portée par le disque.
1
2.3
Sphère uniformément chargée en surface
Une bulle de savon peut être modélisée par une sphère de rayon R chargée uniformément
en surface, de densité de charge σ.
2.3.1 Quel est le système de coordonnées adapté à ce problème ? Écrire l’élément de
surface dS infinitésimal.
2.3.2 Calculer la charge totale Q. Vérifier l’homogénéité du résultat.
2.3.3 Décrire les symétries et invariances du système.
2.3.4 Placée dans un champ électrique uniforme, la densité surfacique de charges devient σ = σ0 cos θ. Comment les résultats précédents sont-ils modifiés ? Dessiner la
sphère, les charges et le champ électrique loin de la sphère.
2.4
Cylindre uniformément chargée en surface
L’ADN peut être modélisé par un cylindre de rayon a = 10Å et de longueur L variable
pouvant atteindre le cm. Chaque paire de base est associée à un atome de phosphate
portant une charge élémentaire négative. La répartition des charges le long du cylindre
forme une double hélice dont le pas de 34 Å comporte 10 paires de bases.
2.4.1 Le cylindre d’axe Oz est centré en O. Etudiez les symétries et invariances de la
distribution de charges dans le cas du cylindre fini et infini.
2.4.2 On approxime la distribution de charges ponctuelles par une distribution de charges
uniforme σ à la surface du cylindre. Calculer σ. Donner l’expression de la charge
totale Q portée par le cylindre de longueur finie.
2.4.3 Donnez l’expression de la charge élémentaire dq contenue dans une portion dz du
cylindre. Dans quel cas peut-on approximer la distribution de charge surfacique
par une distribution linéique de densité uniforme λ ? Donner l’expression de λ en
fonction de σ et a. Calculer λ.
Exercice 3 : Distributions volumiques
3.1
Cylindre
L’ADN est maintenant assimilé à un cylindre chargé en volume, de longueur L, d’axe
Oz, de rayon a et portant la densité volumique de charge ρ uniforme ou dépendant de la
distance r à l’axe du cylindre : ρ(r) = ρ0 r2 /a2 .
3.1.1 Quelle est la dimension de ρ0 ? Calculer la charge totale Q dans les deux cas.
3.1.2 Quelle est la charge linéique λ dans les deux cas ?
2
3.2
Modèle de Bohr
Dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène, la distribution volumique des électrons
autour du noyau peut être assimilée à une densité de charge radiale de la forme ρ(r) =
Kre−r/a .
3.2.1 Donner l’expression de la charge totale Q associée à cette distribution.
3.2.2 Quelle est la dimension de a ? Quel est son ordre de grandeur ?
3.3
Distribution plane
Le demi espace z > 0 est chargé avec la densité volumique de charges ρ(z) = ρ0 e−z/a
où a est une constante. On cherche à approximer cette distribution volumique par une
distribution surfacique de charges caractérisée par une densité de charges σ. On considère
un cylindre fictif perpendiculaire au plan xOy. L’intersection du cylindre et du plan xOy
est un disque de surface S.
3.3.1 Calculer la charge Q contenue dans le cylindre fictif. En déduire la densité de
charge surfacique équivalente σ.
3.3.2 Quelle est l’épaisseur de la couche portant la charge volumique ρ0 uniforme et
ayant la même charge surfacique
3.3.3 Quels sont les plans de symétrie et les invariances de la distribution de charge ?
3