Distributions de charges, symétries et invariances - ifips

Polytech - S3 2010 - 2011
Electromagnétisme
TD 1 : Distributions de charges, symétries et
invariances
Exercice 1 : Distributions linéiques
Déterminez les plans de symétrie, de symétrie inversion, les invariances et la charge totale
Qportée par les distributions de charge linéiques suivantes. On vérifiera l’homogénéité
des expressions obtenues :
1.0.1 Un segment de longueur Lporté par l’axe Oz et situé entre z=−L/2et z= +L/2.
On considèrera le cas où la densité linéique de charge λest uniforme et le cas où
λ=az. Analysez le cas L→ ∞.
1.0.2 Un anneau circulaire de rayon R, de centre O et d’axe Oz. On considèrera le cas
où la densité linéique de charge λest uniforme et le cas où λ=λ0sin θ.
Exercice 2 : Distributions surfaciques
2.1 Rectangle uniformément chargé
Un rectangle de longueur aet de largeur bporte une densité surfacique de charge σ. On
considèrera la situation où la distribution de charges est uniforme et celle où σ=σ0x/a
2.1.1 Quelle est la dimension de σ?
2.1.2 Quelles sont les symétries et invariances de la distribution de charges ?
2.1.3 Donner la charge élémentaire d’un élément de surface dS. En déduire la charge
totale Qdu rectangle.
2.2 Disque uniformément chargé
Un disque de centre O rayon Rporte une densité de charge surfacique σuniforme.
2.2.1 Quels sont les plans de symétrie et les invariances de la distribution de charge.
2.2.2 Donner l’expression de la charge totale Qportée par le disque.
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2.3 Sphère uniformément chargée en surface
Une bulle de savon peut être modélisée par une sphère de rayon Rchargée uniformément
en surface, de densité de charge σ.
2.3.1 Quel est le système de coordonnées adapté à ce problème ? Écrire l’élément de
surface dSinfinitésimal.
2.3.2 Calculer la charge totale Q. Vérifier l’homogénéité du résultat.
2.3.3 Décrire les symétries et invariances du système.
2.3.4 Placée dans un champ électrique uniforme, la densité surfacique de charges de-
vient σ=σ0cos θ. Comment les résultats précédents sont-ils modifiés ? Dessiner la
sphère, les charges et le champ électrique loin de la sphère.
2.4 Cylindre uniformément chargée en surface
L’ADN peut être modélisé par un cylindre de rayon a= 10˚ Aet de longueur L variable
pouvant atteindre le cm. Chaque paire de base est associée à un atome de phosphate
portant une charge élémentaire négative. La répartition des charges le long du cylindre
forme une double hélice dont le pas de 34 ˚ Acomporte 10 paires de bases.
2.4.1 Le cylindre d’axe Oz est centré en O. Etudiez les symétries et invariances de la
distribution de charges dans le cas du cylindre fini et infini.
2.4.2 On approxime la distribution de charges ponctuelles par une distribution de charges
uniforme σà la surface du cylindre. Calculer σ. Donner l’expression de la charge
totale Qportée par le cylindre de longueur finie.
2.4.3 Donnez l’expression de la charge élémentaire dqcontenue dans une portion dzdu
cylindre. Dans quel cas peut-on approximer la distribution de charge surfacique
par une distribution linéique de densité uniforme λ? Donner l’expression de λen
fonction de σet a. Calculer λ.
Exercice 3 : Distributions volumiques
3.1 Cylindre
L’ADN est maintenant assimilé à un cylindre chargé en volume, de longueur L, d’axe
Oz, de rayon aet portant la densité volumique de charge ρuniforme ou dépendant de la
distance rà l’axe du cylindre : ρ(r) = ρ0r2/a2.
3.1.1 Quelle est la dimension de ρ0? Calculer la charge totale Qdans les deux cas.
3.1.2 Quelle est la charge linéique λdans les deux cas ?
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3.2 Modèle de Bohr
Dans le modèle de Bohr de l’atome d’hydrogène, la distribution volumique des électrons
autour du noyau peut être assimilée à une densité de charge radiale de la forme ρ(r) =
Kre−r/a.
3.2.1 Donner l’expression de la charge totale Qassociée à cette distribution.
3.2.2 Quelle est la dimension de a? Quel est son ordre de grandeur ?
3.3 Distribution plane
Le demi espace z > 0est chargé avec la densité volumique de charges ρ(z) = ρ0e−z/a
où aest une constante. On cherche à approximer cette distribution volumique par une
distribution surfacique de charges caractérisée par une densité de charges σ. On considère
un cylindre fictif perpendiculaire au plan xOy. L’intersection du cylindre et du plan xOy
est un disque de surface S.
3.3.1 Calculer la charge Qcontenue dans le cylindre fictif. En déduire la densité de
charge surfacique équivalente σ.
3.3.2 Quelle est l’épaisseur de la couche portant la charge volumique ρ0uniforme et
ayant la même charge surfacique
3.3.3 Quels sont les plans de symétrie et les invariances de la distribution de charge ?
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