TD Électromagnétisme

TPC2
TD Électromagnétisme
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Théorème de Gauss
Exercice no 1 : Généralités sur le flux d’un champ et le théorème de Gauss.
1 – Soit une charge q située à l’intérieur d’une sphère de rayon R. Le flux du champ électrostatique à
travers cette sphère est-il modifié par le déplacement de la charge q ?
2 – a – Le champ électrostatique est nul sur une surface fermée (S). Que peut-on dire de son flux à
travers (S) ?
b – Le flux à travers une surface (S) fermée est nul. Le champ électrostatique est-il forcément nul
sur la surface ?
3 – Soit une distribution volumique de charge ρ continue et uniforme dans tout l’espace.
a – Que peut-on dire du champ électrostatique en un point M quelconque de l’espace ?
b – Le théorème de Gauss est-il valide dans ce cas ?
4 – L’interaction coulombienne est une fonction en 1/r2 où r est la distance entre les deux particules
chargées. On a établi le théorème de Gauss dans cette situation. Resterait-il valable si l’interaction
était en 1/rn avec n 6= 2 ? Justifier la réponse.
Exercice no 2 : Flux à travers un disque ou un plan.
1 – Calculer le flux envoyé par la charge +q positive (placée en P ) à travers le disque de centre O, de
rayon R et d’axe (Oz) auquel appartient P .
2 – En déduire le flux envoyé par une charge +q à travers un plan infini, cette charge étant en dehors
du plan.
Exercice no 3 : Cylindre et fil coaxiaux.
On considère la distribution D constituée par la réunion d’un fil infini z 0 z chargé avec la densité linéique
uniforme λ > 0, et d’un cylindre infini de rayon R, d’axe z 0 z, chargé avec la densité surfacique σ > 0.
Exprimer le champ électrostatique régnant en tout point de l’espace.
Exercice no 4 : Densité volumique uniforme entre deux plans.
On considère deux plans infinis x = −a et x = a entre lesquels l’espace comporte une densité volumique
de charge ρ uniforme, positive et cte. Pour x < −a et x > a il règne le vide.
~ = E(x)~ex .
1 – Montrer qu’en tout point de l’espace, le champ électrostatique s’écrit E
2 – Exprimer E(x) pour les différentes régions de l’espace et tracer le grapheE(x).
3 – Déterminer pour chaque région le potentiel V (x) en adoptant V (0) = 0. Tracer V (x).
4 – On suppose que a → 0 et que le produit ρa reste fini. Déterminer une densité surfacique de charge
limite et retrouver pour E(x) un résultat classique.
Exercice no 5 : Distribution cylindrique de charge.
~ = E(r)~ur a pour expression E
~ = (Ar)~ur si r < a et E
~ = (B/r)~ur si
Un champ à symétrie cylindrique E
r > a.
1 – Déterminer la distribution de charge ρ(r) qui crée ce champ.
2 – Déterminer le potentiel électrostatique associé.
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Exercice no 6 : Champ dans une cavité sphérique.
On considère une sphère pleine de rayon R et portant une densité de charge volumique ρ. On creuse une
~ à l’intérieur de la cavité.
cavité sphérique de rayon r < R à l’intérieur de la sphère. Déterminer le champ E
On notera O1 et O2 les centres des deux sphères.
Exercice no 7 : Champ dans une cavité sphérique.
La Terre, sphère de rayon R, de masse M , a sa masse volumique qui varie en fonction de la distance r au
r2
centre selon la loi : ρ(r) = ρ0 (1 − k 2 ) avec r = OP . Exprimer le champ de gravitation en tout point P
R
extérieur ou intérieur au globe terrestre en fonction de G, M , R, r et k.
Exercice no 8 : Capacité d’un condensateur cylindrique.
On considère deux cylindres coaxiaux d’axe (Oz) et de rayon a < b. Le cylindre intérieur porte une charge
surfacique de densité uniforme σ1 et le cylindre extérieur porte une charge surfacique de densité uniforme
σ2 . Entre les deux cylindres, il y a de l’air ayant les mêmes propriétés électrostatiques que le vide.
On néglige les effets de bord en supposant que la longueur L des deux cylindres est grande devant leur
rayon. On admettra que cette hypothèse implique que les charges portées par les deux cylindres sont
opposées : Q1 = −Q2 .
1 – Déterminer une relation entre les densités surfaciques de charge.
2 – Calculer le champ dans l’espace situé entre les deux cylindres.
3 – Le cylindre intérieur est au potentiel V1 , le cylindre extérieur étant au potentiel V2 . Calculer la
q1
, où q1 est la charge portée par un mètre du cylindre
capacité linéique du cylindre : C =
V1 − V2
intérieur.
Exercice no 9 : Nuage électronique et énergie d’ionisation.
Un système de charges crée le potentiel à symétrie sphérique :
V (r) =
q
r
2r
(1 + )exp(− ) (q > 0).
4πε0 r
a
a
1 – Calculer Q(r), charge comprise dans la sphère de rayon r.
2 – Caractériser la distribution de charges ρ(r) correspondant à ce potentiel.
3 – Définir, puis exprimer l’énergie de liaison de ce système.
Exercice no 10 : Nuage électronique et énergie d’ionisation.
~
~
À partir de l’analogie entre les champs newtoniens électrostatique E(r)
et gravitationnel G(r),
I I montrer
~ ndS =
que le théorème de Gauss se transpose au calcul du champ de gravitation sous l’écriture
G~
cte.Mintérieur . Que vaut la constante ?
En déduire qu’un astre ayant une répartition de masse à symétrie sphérique crée (hors de ses limites) un
champ de gravitation identique à celui de sa masse totale, ponctuelle, placée en son centre.
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Exercice no 11 : Cylindre σ = σ0 cosθ.
−−→
On se propose d’étudier une répartition surfacique de charge σ = σ0 cosθ (avec θ = (~ex , OM )) sur un
cylindre de longueur infinie, de rayon R et d’axe (Oz).
1 – Pour étudier une telle distribution, nous allons d’abord montrer son équivalence avec la distribution
suivante : deux cylindres infinis de rayon R, d’axes (O1 z) et (O2 z), uniformément chargés en volume,
l’un avec la densité volumique −ρ, l’autre avec la densité ρ, ont leurs axes parallèles et distants de
a (a << R).
Montrer que cette distribution est équivalente à une distribution surfacique de type σ = σ0 cosθ
lorsque a tend vers 0, à condition de faire tendre ρ vers l’infini et de poser σ0 = ρa, cte finie.
2 – Calculer le champ et le potentiel à l’extérieur d’un cylindre infini, de rayon R, uniformément chargé
en volume avec la densité ρ. Calculer de même le champ et le potentiel à l’intérieur du cylindre. Les
potentiels seront calculés à une cte additive près.
3 – En déduire que le champ créé à l’intérieur de la distribution (σ = σ0 cosθ) est uniforme.
4 – En calculant d’abord le potentiel, déterminer le champ électrique total régnant à l’extérieur du
cylindre (σ = σ0 cosθ), en coordonnées polaires, et son orientation par rapport à la direction radiale.
Au lieu de nous étonner et de nous plaindre du malheur et de la brièveté de la vie,
nous devrions nous étonner et nous féliciter de notre bonheur et de sa durée.
Voltaire.
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