TD Électromagnétisme

TPC2 TD Électromagnétisme
Théorème de Gauss
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Exercice no1 : Généralités sur le flux d’un champ et le théorème de Gauss.
1 – Soit une charge qsituée à l’intérieur d’une sphère de rayon R. Le flux du champ électrostatique à
travers cette sphère est-il modifié par le déplacement de la charge q?
2 – a – Le champ électrostatique est nul sur une surface fermée (S). Que peut-on dire de son flux à
travers (S)?
b – Le flux à travers une surface (S)fermée est nul. Le champ électrostatique est-il forcément nul
sur la surface ?
3 – Soit une distribution volumique de charge ρcontinue et uniforme dans tout l’espace.
a – Que peut-on dire du champ électrostatique en un point Mquelconque de l’espace ?
b – Le théorème de Gauss est-il valide dans ce cas ?
4 – L’interaction coulombienne est une fonction en 1/r2où rest la distance entre les deux particules
chargées. On a établi le théorème de Gauss dans cette situation. Resterait-il valable si l’interaction
était en 1/rnavec n6= 2 ? Justifier la réponse.
Exercice no2 : Flux à travers un disque ou un plan.
1 – Calculer le flux envoyé par la charge +qpositive (placée en P) à travers le disque de centre O, de
rayon Ret d’axe (Oz)auquel appartient P.
2 – En déduire le flux envoyé par une charge +qà travers un plan infini, cette charge étant en dehors
du plan.
Exercice no3 : Cylindre et fil coaxiaux.
On considère la distribution Dconstituée par la réunion d’un fil infini z0zchargé avec la densité linéique
uniforme λ > 0, et d’un cylindre infini de rayon R, d’axe z0z, chargé avec la densité surfacique σ > 0.
Exprimer le champ électrostatique régnant en tout point de l’espace.
Exercice no4 : Densité volumique uniforme entre deux plans.
On considère deux plans infinis x=−aet x=aentre lesquels l’espace comporte une densité volumique
de charge ρuniforme, positive et cte. Pour x < −aet x>ail règne le vide.
1 – Montrer qu’en tout point de l’espace, le champ électrostatique s’écrit ~ E=E(x)~ex.
2 – Exprimer E(x)pour les différentes régions de l’espace et tracer le grapheE(x).
3 – Déterminer pour chaque région le potentiel V(x) en adoptant V(0) = 0. Tracer V(x).
4 – On suppose que a→0et que le produit ρa reste fini. Déterminer une densité surfacique de charge
limite et retrouver pour E(x)un résultat classique.
Exercice no5 : Distribution cylindrique de charge.
Un champ à symétrie cylindrique ~ E=E(r)~ura pour expression ~ E= (Ar)~ursi r < a et ~ E= (B/r)~ursi
r > a.
1 – Déterminer la distribution de charge ρ(r)qui crée ce champ.
2 – Déterminer le potentiel électrostatique associé.
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Exercice no6 : Champ dans une cavité sphérique.
On considère une sphère pleine de rayon Ret portant une densité de charge volumique ρ. On creuse une
cavité sphérique de rayon r < R à l’intérieur de la sphère. Déterminer le champ ~ Eà l’intérieur de la cavité.
On notera O1et O2les centres des deux sphères.
Exercice no7 : Champ dans une cavité sphérique.
La Terre, sphère de rayon R, de masse M, a sa masse volumique qui varie en fonction de la distance rau
centre selon la loi : ρ(r) = ρ0(1 −kr2
R2)avec r=OP . Exprimer le champ de gravitation en tout point P
extérieur ou intérieur au globe terrestre en fonction de G,M,R,ret k.
Exercice no8 : Capacité d’un condensateur cylindrique.
On considère deux cylindres coaxiaux d’axe (Oz)et de rayon a<b. Le cylindre intérieur porte une charge
surfacique de densité uniforme σ1et le cylindre extérieur porte une charge surfacique de densité uniforme
σ2. Entre les deux cylindres, il y a de l’air ayant les mêmes propriétés électrostatiques que le vide.
On néglige les effets de bord en supposant que la longueur Ldes deux cylindres est grande devant leur
rayon. On admettra que cette hypothèse implique que les charges portées par les deux cylindres sont
opposées : Q1=−Q2.
1 – Déterminer une relation entre les densités surfaciques de charge.
2 – Calculer le champ dans l’espace situé entre les deux cylindres.
3 – Le cylindre intérieur est au potentiel V1, le cylindre extérieur étant au potentiel V2. Calculer la
capacité linéique du cylindre : C=q1
V1−V2
, où q1est la charge portée par un mètre du cylindre
intérieur.
Exercice no9 : Nuage électronique et énergie d’ionisation.
Un système de charges crée le potentiel à symétrie sphérique :
V(r) = q
4πε0r(1 + r a)exp(−2r a) (q > 0).
1 – Calculer Q(r), charge comprise dans la sphère de rayon r.
2 – Caractériser la distribution de charges ρ(r)correspondant à ce potentiel.
3 – Définir, puis exprimer l’énergie de liaison de ce système.
Exercice no10 : Nuage électronique et énergie d’ionisation.
À partir de l’analogie entre les champs newtoniens électrostatique ~ E(r)et gravitationnel ~ G(r), montrer
que le théorème de Gauss se transpose au calcul du champ de gravitation sous l’écriture I I ~ G~ndS =
cte.Mintérieur . Que vaut la constante ?
En déduire qu’un astre ayant une répartition de masse à symétrie sphérique crée (hors de ses limites) un
champ de gravitation identique à celui de sa masse totale, ponctuelle, placée en son centre.
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Exercice no11 : Cylindre σ=σ0cosθ.
On se propose d’étudier une répartition surfacique de charge σ=σ0cosθ (avec θ= (~ex,−−→ OM)) sur un
cylindre de longueur infinie, de rayon Ret d’axe (Oz).
1 – Pour étudier une telle distribution, nous allons d’abord montrer son équivalence avec la distribution
suivante : deux cylindres infinis de rayon R, d’axes (O1z)et (O2z), uniformément chargés en volume,
l’un avec la densité volumique −ρ, l’autre avec la densité ρ, ont leurs axes parallèles et distants de
a(a << R).
Montrer que cette distribution est équivalente à une distribution surfacique de type σ=σ0cosθ
lorsque atend vers 0, à condition de faire tendre ρvers l’infini et de poser σ0=ρa, cte finie.
2 – Calculer le champ et le potentiel à l’extérieur d’un cylindre infini, de rayon R, uniformément chargé
en volume avec la densité ρ. Calculer de même le champ et le potentiel à l’intérieur du cylindre. Les
potentiels seront calculés à une cte additive près.
3 – En déduire que le champ créé à l’intérieur de la distribution (σ=σ0cosθ) est uniforme.
4 – En calculant d’abord le potentiel, déterminer le champ électrique total régnant à l’extérieur du
cylindre (σ=σ0cosθ), en coordonnées polaires, et son orientation par rapport à la direction radiale.
Au lieu de nous étonner et de nous plaindre du malheur et de la brièveté de la vie,
nous devrions nous étonner et nous féliciter de notre bonheur et de sa durée.
Voltaire.
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