Etude du mouvement d`un point dans un cylindre creux, avec

Etude du mouvement d'un point dans un cylindre creux, avec et sans frottement.
Du point le plus bas Mo d'un cylindre creux, de rayon R et d'axe horizontal, est lancé une particule de
masse m avec une vitesse horizontale vo perpendiculaire à la génératrice passant par Mo.
Cette particule M, qui se déplace dans le plan de section droite du cylindre de centre O, est repérée à
chaque instant par l'angle  = (OMo, OM). On désigne par g le module du champ de pesanteur supposé
uniforme.
A. Le point M glisse sans frottement à l'intérieur du cylindre.
A.1 Exprimer en fonction de m, R, vo et g, le carré de la vitesse angulaire  2 de M en fonction de
d d d d 
son élongation angulaire . Remarque :  


.
dt d dt d
A.2 Déterminer de même la réaction N() du cylindre sur la particule M.
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A.3 Calculer l'amplitude m des oscillations pour vo  gR et pour vo 
gR .
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A.4 Pour quelles valeurs de la vitesse initiale vo ( exprimées en fonction de g et de R ), la particule
M sera-t-elle animée d'un mouvement révolutif dans le même sens?
B. Le point M glisse avec frottement solide à l'intérieur du cylindre avec un coefficient de frottement f=
T/N, où T et N sont les modules des composantes tangentielle et normale de la réaction du cylindre sur M.
B.1 Etablir l'équation différentielle du second ordre en (t), qui fait intervenir les seules données f,
g et R.
DS3. 00/01.