R ρ ρ > 0 u

Faculté des Sciences
Département de Physique
15 Septembre 2013
RATTRAPAGE : Physique 2 – STH
(Durée 1h)
Exercice 1:
R
Un cylindre de rayon R et de longueur infinie est uniformément chargé
en volume de densité ρ > 0 (Figure 1).
I – a) Déterminer le vecteur champ électrique ainsi que le potentiel en tout
point de l’espace. On prendra V = 0 pour r = R.
b) En déduire en tout point de l’espace le vecteur champ électrique créé
par un cylindre de rayon R0, de longueur infinie, uniformément chargé en
ρ
ur
r
volume de densité - ρ < 0.
Figure 1
R
II - a) En utilisant le principe de superposition, déduire le champ électrique
créé par un cylindre creux de rayon intérieur R0 et extérieur R au point r tel
ρ
que R0 < r < R, de longueur infinie et uniformément chargé en volume de
R0
ur
densité ρ > 0. (figure 2)
b) Trouver la différence de potentielle V(R) - V(R0) entre les surfaces
intérieur et extérieur de ce cylindre.
Figure 2
Exercice 2 :
On considère le circuit électrique de la figure ci-contre.
On donne :
R1 = 2 Ω, R2 = 15 Ω, R3 = 10 Ω
I = 2 A, VA – VB = 9 V
Déterminer la valeur de la résistance R4
I1
E
D
R1
B
R2
I
F
I2
C
E
R4
R3
I3
I4
A
r
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Physique 2 – STH
CORRIGE RATTRAPAGE :
Exercice 1:
I – a) Symétrie cylindrique de la distribution de la charge  Pour toute surface fermée en forme de cylindre
de rayon r de longueur L, le champ électrique est radial et uniforme E = E(r).ur
q int
.r 2 .L
Pour : r < R :    E.dS 

 E.2.r.L 
0
0
E(r ) 

.r
20
E( r ) 
dV = - E(r).dr  V(r )  
C1 

.r.u r
20
 2
.r  C1
40
avec V(R )  

.R 2  C1  0 
40


.R 2 et donc V(r ) 
.(R 2  r 2 )
40
40
q
.R 2 .L
Pour r > R :    E.dS  int  E.2.r.L 
0
0
2
2
E(r ) 
.R 1
.
2 0 r
dV = - E(r).dr 
E( r ) 
.R 1
. .u r
2 0 r
.R 2
V(r )  
. ln(r )  C 2
20
.R 2
C2 
ln(R )
2 0
.R 2
. ln(R )  C 2  0 
avec V (R )  
20
R 2  R 
. ln 
et donc V ( r ) 
2 0
r
b) Pour un cylindre de rayon R0 et de densité - les expressions du champ s’écrivent :
Pour : r < R0 : E(r )  

.r.u r
20
.R 0 2 1
. .u r
Pour r > R0 : E( r )  
2 0 r
II - a) En utilisant le principe de superposition : dans la région R0 < r < R le champ est la résultante de deux
vecteurs en sens opposés :
E(r ) 
.R 02 1

  R 02 
.r.u r 
. .u r 
r
ur
20
20 r
20 
r 
b) dV = - E(r).dr
R
R
R  
  dV   
r 0
R0
R 0 2 
r
0
2
.dr


R

  r 2
  R 2  R 02
 R 
2

 V(R )  V(R 0 )  
 R 0 . ln r   
 R 0 2 . ln 0 



20  2
20 
2
 R 
 R

0
Exercice 2 :
R1 = 2 Ω, R2 = 15 Ω, R3 = 10 Ω
I = 2 A, VA – VB = 9 V
I
F
VA –VF = R4.I4  R4 = 24 
I2
C
E
R4
VA –VF = E = (VA –VB) + (VB –VF) = 9 + R1.I1= 12 V
B
R2
I1 = I2 + I3 = 1.5 A
I = I1 + I4  I4 = 0.5 A
D
R1
VA –VB = R3.I3  I3 = 9/10 = 0.9 A
VA –VB = R2.I2  I2 = 9/15 = 0.6 A
I1
E
R3
I3
I4
A